吳文開，徐明強，王樹青，蔣玉峰，王國興

(1.中國海洋大學 工程學院，山東 青島 266100；2.山東交通學院 船舶與港口工程學院，山東 威海 264200)

海洋平臺體積龐大、結構復雜，且長期服役于惡劣的海洋環(huán)境下，結構損傷逐漸累積。為保證結構作業(yè)的安全性與耐久性，對海洋平臺進行健康監(jiān)測是必不可少的[1]。由于具有全局、自動化檢測的能力，基于結構振動特性的損傷檢測技術在結構健康監(jiān)測領域得到了廣泛重視，學者們發(fā)展出了一系列的損傷檢測方法[2]。其基本思想是:損傷會改變結構的物理屬性(例如剛度)，進而影響結構的動力特性，反過來，利用結構的動力特性構建損傷靈敏度指標，即可實現(xiàn)損傷判定[3]。然而，常用的損傷指標，如結構頻率，極易受到海洋環(huán)境因素(如溫度、潮汐、海生物附著等)變化的影響，以致在實際應用中難以準確反映出結構損傷[4]。為了將損傷檢測方法更好地推廣到工程實踐，發(fā)展能夠消除環(huán)境因素影響的損傷檢測技術至關重要。

溫度是影響結構剛度變化的一種典型環(huán)境要素[5]。Askegaard等[6]在對一座三跨鋼筋混凝土人行橋為期3年的監(jiān)測中發(fā)現(xiàn)，季節(jié)性的溫度變化對橋梁頻率的改變達到了10%。Doebling等[7]對美國阿拉莫斯峽谷大橋進行的模態(tài)測試則表明，氣溫日變化引起大橋1階頻率的改變接近5%。然而，F(xiàn)arrar等[8]對I-40橋進行破壞性試驗時發(fā)現(xiàn)，將橋梁一側的工字梁沿橫截面切割1/2，其1階頻率的改變僅為8%。不難看出，環(huán)境因素的變化對結構動力響應的影響較為明顯，在一定程度上會掩蓋結構真實損傷，從而導致?lián)p傷誤判和損傷漏判的發(fā)生。

已有的考慮環(huán)境因素影響的損傷檢測方法主要分為兩大類：一類是建立環(huán)境因素與結構動力響應之間的相關性模型，Peeters等[9]建立了ARX模型，通過測量溫度的變化預測結構頻率，當預測頻率與識別頻率不吻合時認為結構發(fā)生了損傷，然而此類方法要求環(huán)境因素是可測的，但對海洋結構而言，由于其服役環(huán)境相當惡劣，通常不具備可測量條件；第二類方法考慮了環(huán)境因素不可測量或難以測量的情況，此類方法將結構動力響應分解成結構損傷和環(huán)境因素影響兩個部分，僅需要響應信息，是近年來的研究熱點。應用較為廣泛的有主成分分析(principal component analysis，PCA)和協(xié)整分析(cointegration analysis，CA)等。

Yan等[10]考慮了線性或弱非線性環(huán)境因素變化的影響，首次將通過PCA降維處理后得到的殘差作為損傷指標，以一個三跨橋的有限元模型和一個木橋的物理模型試驗對方法的有效性進行了驗證。隨后，Yan等[11]融合了兩種新型聚類策略，將PCA方法進一步推廣到處理環(huán)境因素的非線性影響。吳森等[12]先利用PCA消除一鋼結構平臺動態(tài)響應中的溫度影響，繼而以小波包系數(shù)節(jié)點能量譜計算結構損傷敏感特征來識別結構損傷。常鵬等[13]采用結構響應的小波包能量譜作為特征參數(shù)的輸入，以主成分殘差作為損傷指標，通過一個藏式古建筑兩年的實測數(shù)據(jù)驗證了該方法可以剔除溫度變化的影響。Wang等[14]采用PCA方法消除振型數(shù)據(jù)中的環(huán)境影響，進而構造反映結構真實狀態(tài)的殘差應變能，通過多變量假設檢驗進行損傷判定，對某一海上風機現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析表明，該方法可有效避免誤判問題。

Cross等[15]首先提出采用響應數(shù)據(jù)的協(xié)整殘差作為損傷判定指標，并以一個溫度變化條件下的層合板損傷試驗驗證了該方法的有效性。由于實際信號可能在不同的時間尺度下具有不同的共同趨勢，Worden等[16]先對信號進行多分辨分析，進而求解各時間尺度下分解信號的協(xié)整殘差，在一定程度上提高了協(xié)整方法的損傷檢測靈敏度。梁亞斌等[17]采用EG(engle-granger)兩步協(xié)整求解結構前2階頻率的協(xié)整殘差，通過鋼筋混凝土梁和鋼桁架橋的數(shù)值模擬表明該方法可有效消除溫度影響且具有一定的噪聲魯棒性。刁延松等[18]以測點響應的AR(autoregressive model)模型系數(shù)作為協(xié)整變量，通過一個海洋平臺模型的實驗證明了所提方法可以有效消除溫度變化的影響。Huang等[19]發(fā)展了一種基于卡爾曼濾波和協(xié)整的損傷識別方法，先通過協(xié)整系數(shù)構建卡爾曼濾波的狀態(tài)向量，而后利用遞歸過程在線估計結構狀態(tài)的變化，將該方法應用于天津永和大橋，成功地識別出了兩處結構損傷。

PCA和CA均為多元統(tǒng)計分析的重要內容，兩者頗有類似之處。然而，在健康監(jiān)測領域尚未對兩種方法進行過比較研究。本文以一個海洋平臺模型為例，考慮空氣、海水和海底泥土溫度變化的聯(lián)合影響，以結構的模態(tài)頻率作為樣本數(shù)據(jù)，以X-bar控制圖作為損傷判別標準，分析比較兩種方法在損傷識別效果以及噪聲魯棒性方面的性能差異，為海洋平臺損傷檢測方法的選取提供參考借鑒。

1 主成分分析(PCA)

1.1 基本原理

PCA又稱“Karhunen-Loeve變換”、“本征正交分解”，是一種多元統(tǒng)計分析方法。PCA通過求解樣本數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值問題，以前幾階特征向量構造的主成分代替樣本數(shù)據(jù)，達到了簡化問題和減少計算量的目的。

取結構n階模態(tài)頻率的N個觀測值，對頻率作中心化處理，組成N×n階測量頻率矩陣X，其協(xié)方差矩陣可表示為

(1)

則主成分分析的實質是求解以下特征值問題

CΦ=ΛΦ

(2)

式中：Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)為由n個特征值組成的對角矩陣，且λ1≥λ2≥…≥λn;Φ=[φ1,φ2,…,φn]為與特征值對應的特征向量所組成的特征向量矩陣。

設定能量閾值ε，使得對于前k(k≤n)個特征值，滿足

(3)

則前k個特征向量為主成分向量，可構成投影矩陣

T=[φ1,φ2,…,φk]

(4)

進而得到原頻率矩陣基于低維空間的估計

(5)

定義殘差矩陣

(6)

則第t個觀測值對應的殘差向量為et=[et1,et2,…,etn]，對其求Euclid范數(shù)，可得到描述觀測值與估計值之間偏離程度的主成分殘差

(7)

1.2 X-bar控制圖

(8)

由于主成分分析已消除了環(huán)境因素的影響，因此正態(tài)分布假設下基準數(shù)據(jù)對應的主成分殘差位于區(qū)間[NI-3σ,NI+3σ]內的概率為99.74%。

(9)

此外，測試數(shù)據(jù)和基準數(shù)據(jù)的殘差均值比

(10)

也可以作為損傷判別標準，該比值趨于1，則結構正常，當殘差均值比較大時可以認為結構發(fā)生了損傷。

考慮到樣本數(shù)目的有限性，用于定量描述結構損傷的異常值比例不宜設置過小，本文以異常值比例超過10%，殘差均值比超過1.5作為損傷判別標準。

2 協(xié)整分析

2.1 協(xié)整理論概述

從時間序列分析的角度看，協(xié)整就是將一組具有長期共同趨勢的時間序列，通過線性組合的方式規(guī)整為一個時間序列，這個新的序列在反映了原始序列特征的同時，已經(jīng)消除了共同趨勢。對于結構頻率時間序列(即一系列采集的結構頻率數(shù)據(jù))而言，這種長期的共同趨勢通常是由環(huán)境因素變化引起的。

為了更好地理解協(xié)整的概念，首先需要定義單整過程。如果一個非平穩(wěn)隨機時間序列{yt,t=1,2,…,N}經(jīng)過d次差分后為平穩(wěn)過程，則{yt}為d階單整過程，記為yt～I(d)。現(xiàn)假設一組d階單整的非平穩(wěn)序列yt=[y1t,y2t,…,ynt]T，如果其線性組合

ζt=β1y1t+β2y2t+…+βnynt

(11)

為d-1階單整序列，即為I(d-1)過程，則yt中的各序列存在協(xié)整關系。其中β=[β1,β2,…,βn]T稱為協(xié)整向量。

2.2 平穩(wěn)性檢驗

由2.1節(jié)可知，協(xié)整與時間序列的單整階數(shù)，即平穩(wěn)性密切相關，因此在協(xié)整分析前，需要對時間序列進行平穩(wěn)性判斷，通常用增廣單位根(augmented Dickey-Fuller，ADF)進行檢驗[20]。構造時間序列{yt}的p階自回歸模型AR(p)的誤差修正形式

(12)

式中：Δ為差分算子；ρ和γj為模型系數(shù)；εt為高斯白噪聲序列。

若{yt}是非平穩(wěn)過程，則模型至少有一單位根，對應ρ=0。故可作以下假設檢驗

H0∶ρ=0,H1∶ρ<0

(13)

檢驗統(tǒng)計量為

(14)

若拒絕H0，則{yt}是平穩(wěn)序列，即yt～I(0)。若接受H0，則{yt}是非平穩(wěn)序列，需構造原序列差分{Δyt}的自回歸模型，并根據(jù)式(13)進行假設檢驗。以此類推，如果對于{Δkyi(t)}的自回歸模型拒絕H0，則yt～I(k)。由于實際觀測序列通常不是發(fā)散的，因此多為I(1)或I(2)過程。

2.3 Johansen方法

對于一個n維多元時間序列yt=[y1t,y2t,…,ynt]T，若其各序列同為1階單整，即?yit～I(1)，i=1,2,…,n，t=1,2,…，N，則可通過Johansen方法估計協(xié)整向量β，其實質是對yt的向量自回歸模型(vector auto regression,VAR)的參數(shù)作極大似然估計[21]。

首先構造多元時間序列yt的p階向量自回歸模型VAR(p)

(15)

式中：Πi和Φ為系數(shù)矩陣;εt為多元高斯白噪聲過程，有εt～N(0,Ω);dt為確定性趨勢。通過適當?shù)淖儞Q，可以得到模型的誤差修正形式

(16)

Johansen方法認為，如果n個時間序列之間存在協(xié)整關系，則系數(shù)矩陣Π必不滿秩，設rank(Π)=m，則原序列yt有m個協(xié)整向量，且存在n×m的滿秩矩陣α和β，滿足

Π=αβT

(17)

z0t=αβTz1t+Ψz2t+εt

(18)

忽略常數(shù)系數(shù)(2π)-nN/2，則似然函數(shù)為

(19)

從而得到Ψ的極大似然估計為

(20)

r0t=αβTr1t+εt

(21)

(22)

記m個特征值λ1≥λ2≥…≥λm及對應的特征向量為φ1,φ2,…,φm，通常取最大的特征值對應的特征向量作為協(xié)整向量。

2.4 模型定階

在進行Johansen協(xié)整檢驗之前，需要先確定模型的滯后階數(shù)p，在正態(tài)分布假設下，通?？刹捎肁IC，BIC和HQ信息準則。文獻[22]認為，由BIC準則確定的模型得到的極大似然估計的效果更好，因此本文采用BIC準則進行定階，其表達式為

(23)

2.5 協(xié)整秩檢驗

通過求解式(22)，我們可以找到協(xié)整向量，但是我們并不能保證各變量確實存在協(xié)整關系，為此，Johansen提出了似然比統(tǒng)計量。

(24)

(25)

且觀察式(19)發(fā)現(xiàn)似然函數(shù)有上界

(26)

考慮假設檢驗

H0∶r=m,H1∶r>m

(27)

式中，r為系數(shù)矩陣Π的秩，即為協(xié)整的秩。

引入似然函數(shù)比Q并結合式(22)、式(24)～式(26)，有

(28)

構造負對數(shù)似然比統(tǒng)計量LR

(29)

其漸近分布為

LR? tr{f(Wr)[f(Wr)]-1f(Wr)}

(30)

式中，tr{·}為矩陣的跡，且有

(31)

式中，Wr為n-r維維納過程。LR統(tǒng)計量的臨界值與協(xié)整秩r有關，可以通過數(shù)值模擬得到。檢驗的流程按照假設r=0,1,…,n-1依次進行。當LRm大于臨界值時，拒絕H0，表明協(xié)整關系的個數(shù)大于m，檢驗繼續(xù)，直至不能拒絕H0為止。若此時統(tǒng)計量為LRm*，則說明原時間序列存在m*個協(xié)整關系。

2.6 損傷判定

根據(jù)式(22)求得的結果，取最大的特征值對應的特征向量作為協(xié)整向量，即β=φ1，則第t個樣本對應的協(xié)整殘差為

(32)

為方便與PCA方法作對比，對協(xié)整殘差作中心化處理

ξt=|ζt-μξ|

(33)

式中，μξ為基準數(shù)據(jù)協(xié)整殘差的均值。

對比式(2)和式(22)可以看出：主成分分析的核心算法是求解樣本數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值問題，再取原始數(shù)據(jù)與估計數(shù)據(jù)的殘差作損傷判定指標，而協(xié)整分析的核心算法是求解殘差乘積矩的特征值問題，直接取協(xié)整殘差作為損傷判定指標。因此，兩種方法具有一定的相似性。

3 穩(wěn)定性評價

基于主成分分析和協(xié)整分析的損傷判定方法本質上是一種二元分類器，即將結構響應數(shù)據(jù)分類為“陰性”和“陽性”，其中“陰性”代表正常狀態(tài)，“陽性”代表損傷狀態(tài)。分類器的魯棒性通常可用受試者工作特征曲線(receiver operating characteristic curve，ROC)來衡量。給定某一閾值水平η，分別記錄損傷狀態(tài)下殘差超出閾值范圍的樣本數(shù)目，即真陽性樣本數(shù)目TP；損傷狀態(tài)下位于閾值范圍之內的樣本數(shù)目，即假陰性樣本數(shù)目FN；正常狀態(tài)下殘差超出閾值范圍的樣本數(shù)目，即假陽性樣本數(shù)目FP；正常狀態(tài)下位于閾值范圍之內的樣本數(shù)目，即真陰性樣本數(shù)目TN，最終組成如表1所示的混淆矩陣?；诖?，我們可以計算該閾值水平下陰性樣本被判定為陽性的比例，即假陽性率FPR(η)；以及陽性樣本被判定為陽性的比例，即真陽性率TPR(η)

表1 混淆矩陣Tab.1 Confusion matrix

(34)

(35)

使閾值水平η在從0變化到+∞，我們可以得到體現(xiàn)該分類器性能的ROC。為了便于描述，通常通過計算ROC的面積進行說明。當ROC位于曲線y=x附近，即當其所圍面積約為0.5時，表明該分類器等同于隨機試驗，已不具備判別能力；ROC所圍面積越接近1，表明該分類器魯棒性越好。

然而，直接使用ROC對分類器的性能優(yōu)劣進行評價是不嚴謹?shù)?，不同的測試數(shù)據(jù)將產(chǎn)生不同的ROC，因此通過方差進行度量才能更準確地反映出分類器性能的優(yōu)劣[23]。方差的獲取可通過對多個測試數(shù)據(jù)集取平均實現(xiàn)，常用的有垂直平均法和閾值平均法。

3.1 垂直平均法

垂直平均法通過給定假陽性率FPR的采樣間隔，對多條ROC在對應的假陽性率FPR采樣點處的真陽性率TPR取平均，并記錄相應的標準差。對于某一特定的FPR采樣點，當ROC上不存在對應的真陽性率TPR時，可通過相鄰的兩個假陽性率FPR對應的TPR插值獲取。

3.2 閾值平均法

垂直平均法的優(yōu)點在于其平均值由因變量TPR組成，這簡化了置信區(qū)間的計算。然而，ROC的自變量FPR往往不是人為控制的。而閾值平均法使獨立變量人工可控。該方法根據(jù)產(chǎn)生ROC上的點的閾值進行采樣，然后為每個閾值找到每條ROC的對應點，再分別關于對應ROC點的FPR和TPR取平均。因此，閾值平均法將產(chǎn)生垂直和水平兩個方向的方差。

4 數(shù)值模擬

4.1 海洋平臺模型

本文以一個導管架平臺模型為例，比較主成分分析與協(xié)整分析的性能差異。主要考慮了環(huán)境溫度對結構頻率的影響。結構頻率通過MATLAB軟件求取結構的特征方程獲得。

導管架平臺有限元模型簡圖，如圖1所示。此模型劃分為80個單元，48個節(jié)點。結構的材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3。平臺總質量為550 t，其中上部荷載為250 t，為簡化模擬，將上部載荷簡化為質量單元平均分配到平臺頂層的4個節(jié)點上。平臺頂層和底層尺寸分別為6.097 m×5.284 m和10.112 m×8.764 m。平臺各桿件尺寸，如表2所示。該平臺作業(yè)海域水深22 m，取泥面以下9 m為簡化固定端。

圖1 導管架平臺模型(m)Fig.1 Sketch of the offshore platform structure(m)

表2 平臺各桿件尺寸Tab.2 Member dimensions of the offshore platform

4.2 溫度對結構頻率的影響

溫度對結構頻率的影響是通過改變結構材料的彈性模量實現(xiàn)的。根據(jù)Woon等[24]的研究結果，鋼材彈性模量與環(huán)境溫度之間存在以下線性關系

En(κν)=(1+cv)En(κ0)

(36)

式中，En(κ0)和En(κν)分別為參考環(huán)境溫度κ0和當前環(huán)境溫度κν下單元n的彈性模量。本文取參考環(huán)境溫度κ0為20 ℃，對應的材料彈性模量為206 GPa。變化系數(shù)取為cv=c0(κν-κ0)/En(κ0)，c0=-1.0×108N/m2·°C。環(huán)境溫度與鋼材彈性模量的關系，如圖2所示。

圖2 環(huán)境溫度與鋼材彈性模量的關系Fig.2 Relationship between steel elastic modulus and ambient temperature

4.3 工況分析

海洋平臺結構位于空氣、海水和海底泥土3種介質中，3種介質的傳熱性質差異較大，其溫度變化不盡相同。本文采用了某海洋觀測站實測的溫度變化數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)記錄了該海域每小時的氣溫、水溫和海底以下5 m的泥溫，截取了4 000組溫度變化的數(shù)據(jù)以模擬結構頻率的變化，3種環(huán)境溫度的變化曲線，如圖3所示。其中，1～3 500組溫度用于模擬正常狀態(tài)下結構的頻率變化，作為基準數(shù)據(jù)；3 501～4 000組溫度用于模擬各損傷工況下結構的頻率變化，作為測試數(shù)據(jù)。損傷工況設置，如表3所示，其中工況A為健康工況，用于探究方法是否會發(fā)生損傷誤判，工況B～工況E為損傷工況，分別模擬平臺內水平撐單元、外水平撐單元、立面斜撐單元以及立柱單元的損傷，用于探究方法是否會發(fā)生損傷漏判，結構損傷通過對相應單元進行剛度削減來模擬。圖4給出了結構前3階頻率的模擬結果，其中1～3 500組作為基準數(shù)據(jù)，3 501～6 000組以每500組為一個工況，分別對應工況A～工況E?？梢钥闯?，溫度變化在一定程度上掩蓋了結構損傷導致的結構頻率變化，為了避免損傷誤判和損傷漏判的發(fā)生，有必要消除溫度變化的影響。

圖3 實測溫度變化曲線Fig.3 Measured temperature history series

表3 模擬的海洋平臺損傷工況Tab.3 Simulated damage cases of the offshore platform

圖4 結構前3階頻率Fig.4 First three natural frequencies under temperature changing

提取前3階頻率的3 500組基準數(shù)據(jù)，分別進行主成分分析和協(xié)整分析，所得主成分轉換矩陣T和協(xié)整向量β將用于各損傷工況的判定。其中，主成分分析的能量閾值取為0.95，由表4可知選取的主成分階數(shù)為1。協(xié)整秩檢驗的顯著性水平取為0.01，參見表5。首先假設r=0，根據(jù)式(29)計算得到LR統(tǒng)計量為75.641 0>41.072 2，拒絕原假設。進一步假設r=1，此時統(tǒng)計量為16.075 5<23.157 4，接受原假設，因此頻率數(shù)據(jù)存在一個協(xié)整關系?？梢?，溫度影響這一“共同趨勢”起了主要作用。

表4 主成分階數(shù)的選取Tab.4 Selection number of principle components

表5 協(xié)整秩檢驗Tab.5 Hypothesis test of cointegration rank

為方便比較，將主成分殘差dt與協(xié)整殘差ξt均作最大值歸一化處理。由圖5及表6、表7可以看出：對于工況A，兩種算法的異常值比例均遠小于10%，殘差均值比均小于1.5，其判定結果為結構沒有發(fā)生損傷，與實際情況一致。對于工況B，兩種算法的異常值比例均小于10%，殘差均值比均小于1.5，未能準確識別出損傷，主要原因是單元71為內水平撐，其剛度損失對結構整體剛度的變化幾乎沒有影響，以至于損傷工況B對結構頻率的變化影響甚微，因此導致了兩種算法均出現(xiàn)了漏判。對于工況C～工況E，兩種算法的異常值比例均為100%，殘差均值比遠大于1.5，完全準確地識別出結構損傷。對比來看，工況A下兩種算法的殘差均值比均在1.1附近，差別并不明顯。對于工況C～工況E，協(xié)整分析對應的殘差均值比明顯較高，說明該算法在察覺結構頻率的異常數(shù)據(jù)方面具有更高的靈敏度。

圖5 各損傷工況判定結果Fig.5 The damage detection results of damage case A to damage case E

表6 各工況異常值比例Tab.6 Outliners ratio in each case %

表7 各工況殘差均值比Tab.7 Mean value ratio of residuals

由于工況B～工況E對應不同的桿件類型發(fā)生相同程度的損傷，因此其殘差均值比的大小代表了兩種算法對不同桿件類型損傷的靈敏度。由表7可以看出，對于主成分分析，不同桿件類型的損傷檢測靈敏度從高到低依次為：立面斜撐>立柱>外水平撐>內水平撐；對于協(xié)整分析，不同桿件類型的損傷檢測靈敏度從高到低依次為：立面斜撐>外水平撐>立柱>內水平撐。可見，兩種算法均對立面斜撐的損傷最為靈敏。對比立柱和外水平撐兩種桿件的損傷，若采用主成分分析，則立柱的損傷更容易識別；若采用協(xié)整分析，則外水平撐的損傷更容易識別。因此，實際檢測過程中可根據(jù)目標檢測桿件的不同采用不同的方法。

4.4 算法的噪聲魯棒性

實際頻率識別過程中還不可避免的受到系統(tǒng)和量測噪聲等不確定性因素的干擾，參考梁亞斌等的做法，本文采用以下噪聲模型

(37)

仍以結構前3階頻率作為樣本數(shù)據(jù)，設定某一噪聲水平，通過一次模擬，得到噪聲影響下的一組頻率樣本，通過改變X-bar圖的閾值控制線，得到該頻率樣本下的ROC(PCA和CA各對應一條ROC)。將以上模擬重復1 000次，得到1 000條ROC，對曲線取垂直平均，則可得到某一噪聲水平下的平均ROC。以下取工況A的頻率樣本作為陰性樣本，工況C的頻率樣本作為陽性樣本，測試兩種算法的噪聲魯棒性。其中假陽性率FPR的采樣間隔取為0.002。由圖6和表8可以看出，當噪聲水平為5%時，協(xié)整分析對應的平均ROC面積更接近于1，且其1 000次模擬得到的ROC面積的標準差相對更小，說明其魯棒性更好。但隨著噪聲水平的增加，主成分分析對應的平均ROC面積更接近于1，且其ROC面積的標準差相對更小，因此其魯棒性更好。

圖6 工況C平均ROCFig.6 The averaging ROC curves of case C

表8 工況D平均ROC所圍面積及標準差Tab.8 Standard deviation of the area under ROC

4.5 基準樣本數(shù)目的影響

由于主成分分析的投影矩陣T和協(xié)整分析的協(xié)整向量β是通過基準數(shù)據(jù)得到的，因此基準數(shù)據(jù)的樣本數(shù)目對算法的性能會造成一定的影響。取結構前3階頻率作為樣本數(shù)據(jù)，設定某一噪聲水平，改變基準數(shù)據(jù)的樣本數(shù)目N，求解該基準樣本數(shù)目對應的投影矩陣T和協(xié)整向量β以用于損傷工況的判定。仍取工況A的頻率樣本作為陰性樣本，工況C的頻率樣本作為陽性樣本，以1.2節(jié)定義的上控制線UCL作為閾值控制線，記錄相應的假陽性率FPR。由于假陽性率代表了損傷誤判的概率，因此應盡可能的小?？紤]到噪聲的隨機性，將以上模擬重復1 000次，并對相應的FPR取平均，則可得到FPR隨基準樣本數(shù)目N變化的曲線。由圖8可以看出，對于噪聲水平為10%的情況，當基準樣本數(shù)目為500～1 200時，主成分分析對應的假陽性率大于0.96，誤判較為嚴重，而協(xié)整分析對應的假陽性率小于0.21，誤判率較低。對于噪聲水平為15%的情況，當基準樣本數(shù)目為500～1 500時也有類似的現(xiàn)象。以上說明了在一定的噪聲水平下，當基準樣本數(shù)目較小時，協(xié)整分析可以更加有效地抑制損傷誤判的問題。

圖7 基準頻率的選取(以第1階頻率為例)Fig.7 Baseline natural frequencies selection(the 1st frequency as an example)

圖8 假陽性率隨基準樣本數(shù)目的變化曲線Fig.8 Curves of FPR changing with sample number of baseline natural frequencies

5 結 論

本文以一個海洋平臺模型為例，考慮了空氣、海水和海底泥土溫度變化的影響。以結構的模態(tài)頻率作為樣本數(shù)據(jù)，分別利用主成分分析和協(xié)整分析消除溫度變化影響，提取能夠表達結構真實特性的主成分殘差和協(xié)整殘差，繼而根據(jù)X-bar控制圖并結合結構損傷前后的殘差均值比進行損傷判定。通過改變頻率數(shù)據(jù)的噪聲水平以及基準樣本的數(shù)目，比較分析了兩種方法的性能差異。結果表明：

(1)兩種方法均能有效消除環(huán)境溫度的影響，避免損傷誤判和損傷漏判的發(fā)生。在不考慮噪聲的條件下，各損傷工況對應的協(xié)整殘差均值比更大，說明協(xié)整分析具有更高的損傷檢測靈敏度。

(2)小噪聲水平下(噪聲水平小于5%)，協(xié)整分析對應的平均ROC所圍面積更接近1，且其ROC面積的標準差相對更小，因此其魯棒性更好。隨著噪聲水平的增加，主成分分析的噪聲魯棒性更好。

(3)在一定的噪聲水平下，當基準頻率樣本數(shù)目較小時，主成分分析對應的假陽性率較高，誤判嚴重；協(xié)整分析對應的假陽性率較低，可更加有效地抑制損傷誤判的問題。