周文鑫，周 叮，張建東，劉 朵

(1.南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 211816；2.蘇交科集團(tuán)股份有限公司，南京 211112)

多跨高墩橋梁以其跨越能力大、整體性能好等特點(diǎn)成為我國(guó)西部地區(qū)廣泛修建的橋型之一，其模型如圖1所示。高墩柱橋梁一般采用雙肢薄壁空心墩，空心截面抗彎剛度較大[1],雙肢墩的橫向剛度較小，可使橋墩柔性大幅度提高[2]。箱形截面具有穩(wěn)定性好和剛度大等特點(diǎn)[3]，成為多跨高墩橋梁截面形式的首選。變截面梁可改善結(jié)構(gòu)自重分布，外形美觀，在橋梁結(jié)構(gòu)中被廣泛應(yīng)用[4]，其梁高沿跨徑一般為直線、圓弧形和二次拋物線變化等，其中二次拋物線應(yīng)用最多。

圖1 多跨高墩橋梁模型Fig.1 The model of multi-span high-pier bridge

有關(guān)多跨高墩橋梁的動(dòng)力學(xué)特性研究比較復(fù)雜。首先，主梁截面面積和慣性矩沿跨徑方向不斷變化，其振動(dòng)方程是變系數(shù)的微分方程，難以得到解析解，半解析法成為解決此類問(wèn)題的近似途徑。Lee等[5]用傳遞矩陣法和Frobeniu法得到了Euler-Bernoulli梁自由振動(dòng)的冪級(jí)數(shù)解。Firouz-Abadi等[6]通過(guò)WKB展開(kāi)級(jí)數(shù)法求解軸向變截面Euler-Bernoulli梁自由振動(dòng)的控制方程，得到了自振頻率的近似解。Duan等[7]對(duì)離散奇異卷積方法進(jìn)行改進(jìn)，提高了多步變截面梁自由振動(dòng)近似解的精度。崔燦等[8-9]將一變截面梁劃分為若干個(gè)子梁，由各子梁段間力和位移的連續(xù)條件，研究了變截面梁動(dòng)力特性。閆維明等[10]基于Euler-Bernoulli梁理論改進(jìn)了直接模態(tài)攝動(dòng)方法，形成了完全彈性支承情況下變截面梁振動(dòng)方程的半解析法。半解析法需找出函數(shù)的表達(dá)式，但不是每個(gè)問(wèn)題都可以找到函數(shù)表達(dá)式。其次，對(duì)于多跨橋梁，文獻(xiàn)[11]將主梁沿橋墩分成若干段，分別求得各段主梁自由振動(dòng)精確解后，利用橋墩頂部位移變形協(xié)調(diào)導(dǎo)出頻率方程，振型函數(shù)分段表示，當(dāng)橋墩個(gè)數(shù)較多時(shí)，分析較為復(fù)雜。

本文假定各中跨梁長(zhǎng)是相等的，邊跨梁長(zhǎng)為中跨梁長(zhǎng)的一半，各跨梁高均按相同的二次拋物線變化，基于等效原則和能量法求解梁的等效截面面積和慣性矩。將橋墩簡(jiǎn)化為彈性支承、推導(dǎo)支承剛度與橋墩及支座的參數(shù)關(guān)系。最后，將支承反力看作是梁上的未知外力，求得了主梁豎向振動(dòng)與橫向振動(dòng)時(shí)固有頻率及振型解析解。

1 分析模型

本文將橋墩簡(jiǎn)化為彈性支承，將變截面主梁等效成等截面的Euler-Bernoulli梁，建立了一個(gè)帶有多個(gè)彈性支承的多跨直梁分析模型，如圖2所示。

圖2 多跨彈性支承直梁力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of straight beam with multi-span elastic supports

2 主梁等效計(jì)算

2.1 等效截面面積

對(duì)于高度按二次拋物線變化的梁，如圖3所示。梁截面高度為

圖3 變截面梁Fig.3 Variable cross-section beam

(1)

式中：h1為根部梁高；h2為跨中梁高；l為梁長(zhǎng)。

梁截面示意圖，如圖4所示。梁截面面積為

圖4 梁截面示意圖Fig.4 Beam section diagram

A(x)=btu+dtd+2tw[h(x)-tu-td]

(2)

式中：b為箱形截面上翼板寬度；d為下翼板寬度；tu為上翼板厚度；tw為腹板厚度；td為下翼板厚度；h(x)為截面高度，其值由式(1)可得。

則等效截面面積A為

(3)

2.2 等效慣性矩

如圖4所示，當(dāng)梁豎向振動(dòng)時(shí)，y軸為截面中性軸，截面對(duì)y軸的慣性矩為

Iy(x)=btu(hu-tu/2)2+dtd[h(x)-hu-td/2]2+

2tw[h(x)-tu-td][h(x)/2-hu+(tu-td)/2]2

(4)

式中，hu為形心距，其表達(dá)式為

(5)

式中，h(x)由式(1)可得。

當(dāng)梁橫向振動(dòng)時(shí)，z軸為截面中性軸，截面對(duì)z軸的慣性矩為

(6)

式中，h(x)由式(1)可得。

梁截面等效示意圖如圖5所示，變截面梁任意截面慣性矩為Ix，其等效梁任意截面慣性矩為I。

圖5 等效示意圖Fig.5 Equivalent diagram

兩梁跨中分別作用一集中力，由彎曲應(yīng)變能相等原理建立下列等式

(7)

式中，y為梁的撓度曲線方程，可表示為

(8)

式中：αi為參數(shù)；fi(x)為滿足邊界條件的已知函數(shù)，可參照表1所列4種不同邊界梁選取。

表1 不同邊界梁對(duì)應(yīng)的撓度曲線方程Tab.1 Deflection curve equation of beams with different boundary conditions

若撓度曲線方程只包含一個(gè)參數(shù)，將其代入式(7)化簡(jiǎn)可得梁的等效慣性矩I。

若撓度曲線方程包含兩個(gè)及以上參數(shù)，由兩梁的彎曲應(yīng)變能會(huì)出現(xiàn)誤差Q，即

(9)

為使誤差最小，令

(10)

可得以參數(shù)a1，a2，…，an為未知數(shù)的齊次方程組，若方程組有非零解，其系數(shù)行列式應(yīng)等于零，由行列式搜根法可得梁的等效慣性矩I。

3 橋墩支座集成剛度

3.1 橋墩截面面積及慣性矩

工程中高墩柱通常采用空心截面，其縱橋向一般為變截面，橫橋向?yàn)榈冉孛?，?jì)算模型如圖6所示。

圖6 橋墩計(jì)算模型Fig.6 Calculation mode of piers

橋墩截面面積為

(11)

式中：n為縱橋向放坡系數(shù)；a，b，c，d為空心截面各邊長(zhǎng)尺寸，如圖6(c)所示。

橋墩截面等效面積Se為

(12)

式中，H為橋墩高度。

將式(11)代入式(12)，得

(13)

橋墩截面慣性矩為

(14)

橋墩截面等效慣性矩Ie為

(15)

利用柯特斯公式計(jì)算截面慣性矩，其定義為

(16)

利用式(16)的性質(zhì)，將式(14)代入式(15)，得

(17)

3.2 豎向集成剛度

橋墩豎向剛度為

(18)

式中：Ee為橋墩彈性模量；Se為橋墩截面等效面積；H為橋墩高度。

支座豎向剛度為

(19)

式中：Ec為支座彈性模量；Sc為支座截面面積；D為支座厚度。

單肢橋墩與支座的豎向集成剛度為

(20)

式中，K橋墩(豎)，K支座(豎)由式(18)、式(19)可得。

雙肢墩豎向剛度計(jì)算模型，如圖7所示。每單肢墩與縱梁通過(guò)支座連接，縱梁上作用一豎向力，將支座看成固定鉸，根據(jù)兩單肢墩壓縮變形量相等，可取單肢墩計(jì)算，單肢墩受豎向力F/2，由單肢墩的計(jì)算模式知，雙肢橋墩與支座的豎向集成剛度為

圖7 雙肢墩豎向剛度計(jì)算模型Fig.7 Calculation model of vertical stiffness of two-limbed pier

(21)

3.3 橫向集成剛度

橋墩橫向剛度為

(22)

式中:Ee為橋墩彈性模量；Ie為橋墩截面等效慣性矩；H為橋墩高度。

支座橫向剛度為

(23)

式中：Gc為支座剪切模量；Sc為支座截面面積；D為支座厚度。

單肢橋墩與支座的橫向集成剛度為

(24)

式中，K橋墩(橫)，K支座(橫)由式(22)、式(23)可得。

為雙肢墩橫向剛度計(jì)算模型，如圖8所示。不計(jì)縱梁對(duì)橋墩頂部轉(zhuǎn)角約束，根據(jù)雙肢墩變形為反對(duì)稱，可取單肢墩計(jì)算，單肢墩受水平力F/2，由單肢墩的計(jì)算模式知，雙肢橋墩與支座的橫向集成剛度為

圖8 雙肢墩橫向剛度計(jì)算模型Fig.8 Calculation model of transverse stiffness of two-limbed pier

(25)

4 頻率及振型

不考慮阻尼C的影響，在任意外力作用下，等截面直梁受迫振動(dòng)微分方程[12]為

(26)

式中：y(x,t)為梁的豎向(橫向)位移；x為沿梁軸線的坐標(biāo)；t為時(shí)間；E為彈性模量；I為梁截面等效慣性矩；ρ為梁的體密度；A為梁截面等效面積；p(x,t)為作用于梁上的外力。

當(dāng)彈性支承直梁作自由振動(dòng)時(shí)，支承反力隨時(shí)間的變化頻率等于梁的自振頻率。此時(shí)，將支承反力看作是梁上的未知外力，則有

y(x,t)=Y(x)eiωt,p(x,t)=P(x)eiωt

(27)

假設(shè)共有N個(gè)彈性支承，則支承反力可表示為

(28)

式中：Pi(i=1,2,…，N)為各彈性支承對(duì)梁的作用反力；xi(i=1,2,…,N)為各彈性支承的坐標(biāo)值；δ(x-xi)為Dirac Delta函數(shù)，其定義為

(29)

令ξ=x/l，利用式(29)的性質(zhì)，將式(28)改寫(xiě)為

(30)

將式(27)、式(30)代入式(26)，得

(31)

(32)

對(duì)于第i個(gè)彈性支承，支承點(diǎn)處位移、轉(zhuǎn)角和彎矩均是連續(xù)的，而剪力不連續(xù)，剪力跳躍值即為支承反力值，支承反力與梁位移間的線性關(guān)系為

Pi=-KiY(xi)=-KiY(ξi),i=1,2,…,N

(33)

式中，Ki為第i個(gè)彈性支承(橋墩)的剛度。當(dāng)梁豎向振動(dòng)時(shí)，對(duì)于單肢橋墩，其值由式(20)可得，對(duì)于雙肢橋墩，其值由式(21)可得；當(dāng)梁橫向振動(dòng)時(shí)，對(duì)于單肢橋墩，其值由式(24)可得，對(duì)于雙肢橋墩，其值由式(25)可得。

將位移函數(shù)Y(ξ)代入式(33)，可得關(guān)于Pi的N階齊次線性代數(shù)方程組

(34)

對(duì)于簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件

[sinλ(ξi-ξn)-sinhλ(ξi-ξn)]H(ξi-ξn)

(35)

對(duì)于簡(jiǎn)支-固支邊界條件

[sinλ(ξi-ξn)-sinhλ(ξi-ξn)]H(ξi-ξn)

(36)

對(duì)于固支-固支邊界條件

[sinλ(ξi-ξn)-sinhλ(ξi-ξn)]H(ξi-ξn)

(37)

若式(34)有非零解，其系數(shù)行列式的值應(yīng)等于零，此為頻率方程。由行列式搜根法可得各階固有頻率參數(shù)，將固有頻率參數(shù)代回式(34)，可得各支承反力的相對(duì)值，將其代回相應(yīng)邊界條件下的位移函數(shù)Y(ξ)，即為振型函數(shù)。

傳統(tǒng)分析方法是將多跨梁沿支承處分段，基于自由振動(dòng)方程對(duì)每段梁元進(jìn)行求解，然后利用支承處的連接條件得到整個(gè)梁的特征方程。本文將支承反力看作是作于梁上的未知外力，利用強(qiáng)迫振動(dòng)方程進(jìn)行梁的自由振動(dòng)分析。本文方法與傳統(tǒng)解法只是表達(dá)形式上的不同，兩者分析結(jié)果本質(zhì)是完全一致的，當(dāng)支承個(gè)數(shù)較多時(shí)，本文方法更為簡(jiǎn)單。

5 算例驗(yàn)證

以某多跨高墩橋梁為例，利用Midas Civil 2010軟件建立有限元模型，如圖9所示。采用空間梁?jiǎn)卧M主梁與橋墩，根據(jù)截面特性劃分為960個(gè)單元，采用剛性連接模擬支座、墩底固結(jié)、主梁兩端固支。模型參數(shù)為：梁跨徑50 m+(2×100)m+50 m，箱梁上、下翼板寬度分別為12.5 m和6.5 m，上、下翼板及腹板厚度分別為0.28 m，0.32 m和0.4 m,混凝土密度2 600 kg/m3,彈性模量3.55×104MPa。橋墩采用雙肢薄壁空心墩，墩頂截面尺寸6.5 m×6.5 m,壁厚0.7 m，縱橋向放坡系數(shù)1∶100，彈性模量3.45×104MPa,墩高依次為50 m，80 m和50 m。支座采用板式橡膠支座，截面尺寸3.5 m×3.5 m，支座厚0.5 m，彈性模量495 MPa，剪切模量1.05 MPa。

圖9 有限元模型Fig.9 Finite element model

取根部梁高與中跨梁高的比值h1/h2作為梁截面變化率，表2、表3給出了梁截面變化率h1/h2分別取2，3，4(h1=4 m，h1=6 m，h1=8 m，h2=2 m)時(shí)，主梁豎向振動(dòng)與橫向振動(dòng)時(shí)前四階固有頻率ω和有限元解(finite element analysis，F(xiàn)EA)的比較。由表2可知：理論解和有限元解吻合較好，兩者誤差隨截面變化率的變大略有增加，但最大誤差為3.5%，不超過(guò)5%，驗(yàn)證了本文方法對(duì)分析不同截面變化率下的梁都有較高精度。

表2 豎向振動(dòng)計(jì)算結(jié)果與有限元的比較Tab.2 Comparison of results of vertical vibration with those from FEA

表3 橫向振動(dòng)計(jì)算結(jié)果與有限元的比較Tab.3 Comparison of results of transverse vibration with those from FEA

6 參數(shù)分析

以兩端簡(jiǎn)支的等距兩跨橋?yàn)槔?，分析梁截面變化率h1/h2與橋墩高度H對(duì)主梁頻率參數(shù)λ的影響。梁截面變化率對(duì)主梁豎向振動(dòng)與橫向振動(dòng)頻率參數(shù)的影響，如圖10、圖11所示。由圖10、圖11可知：豎向振動(dòng)時(shí)頻率參數(shù)隨著梁截面變化率的增大而增大，本文假定梁高二次拋物線變化而橫向梁寬不變，故截面變化率對(duì)橫向振動(dòng)頻率參數(shù)影響較小。給出了橋墩高度對(duì)主梁豎向振動(dòng)與橫向振動(dòng)頻率參數(shù)的影響，如圖12、圖13所示。由圖12、圖13可知：頻率參數(shù)隨著橋墩高度的增大而減小，且各階頻率參數(shù)減小的速率不同。

圖10 不同截面變化率下主梁豎向振動(dòng)頻率參數(shù)Fig.10 Vertical vibration frequency parameters of the beam with different cross-section change rates

圖11 不同截面變化率下主梁橫向振動(dòng)頻率參數(shù)Fig.11 Transverse vibration frequency parameters of the beam with different cross-section change rates

圖12 不同橋墩高度下主梁豎向振動(dòng)頻率參數(shù)Fig.12 Vertical vibration frequency parameters of the beam with different pier heights

圖13 不同橋墩高度下主梁橫向振動(dòng)頻率參數(shù)Fig.13 Transverse vibration frequency parameters of the beam with different pier heights

分析梁截面變化率與橋墩高度對(duì)主梁振型的影響。當(dāng)梁截面變化率h1/h2分別取2，3，4，5時(shí)，主梁豎向振動(dòng)時(shí)前二階振型圖，如圖14、圖15所示。由圖14、圖15可知：位移振型值隨著梁截面變化率的增大而減小，與一階振型相比，二階振型變化幅度顯著降低，即高階振型對(duì)梁截面變化敏感性下降。不同梁截面變化率下主梁橫向振動(dòng)時(shí)前二階振型圖，如圖16、圖17所示。由圖16、圖17可知：梁截面變化對(duì)橫向振型幾乎沒(méi)有影響，這是由于本文假定梁截面橫向?qū)挾缺３植蛔?，故截面變化?duì)橫向振型影響較小。當(dāng)橋墩高度H分別取20 m，30 m，40 m和50 m時(shí)，主梁豎向振動(dòng)與橫向振動(dòng)時(shí)前二階振型圖，如圖18～圖21所示。由圖18～圖21可知：豎向位移振型值與橫向位移振型值均隨橋墩高度的增大而增大，二階振型變化幅度低于一階振型，即低階振型對(duì)橋墩高度敏感性較大。

圖14 豎向振動(dòng)第一階振型Fig.14 The first mode shape of vertical vibration

圖15 豎向振動(dòng)第二階振型Fig.15 The second mode shape of vertical vibration

圖16 橫向振動(dòng)第一階振型Fig.16 The first mode shape of transverse vibration

圖17 橫向振動(dòng)第二階振型Fig.17 The second mode shape of transverse vibration

圖18 豎向振動(dòng)第一階振型Fig.18 The first mode shape of vertical vibration

圖19 豎向振動(dòng)第二階振型Fig.19 The second mode shape of vertical vibration

圖20 橫向振動(dòng)第一階振型Fig.20 The first mode shape of transverse vibration

圖21 橫向振動(dòng)第二階振型Fig.21 The second mode shape of transverse vibration

7 結(jié) 論

本文基于Euler-Bernoulli梁理論，將多跨高墩變截面梁橋振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多跨彈性支承直梁的動(dòng)力學(xué)特性研究，得到如下結(jié)論：

(1)計(jì)算梁截面等效面積與等效慣性矩，用等截面梁微分方程求解變截面梁固有頻率及振型，降低了方程求解難度，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，具有分析簡(jiǎn)單直接的特點(diǎn)。

(2)當(dāng)支承個(gè)數(shù)較多時(shí)，將彈性支承反力看作是梁上未知外力，利用強(qiáng)迫振動(dòng)方程進(jìn)行梁的自由振動(dòng)分析，比傳統(tǒng)分析方法簡(jiǎn)單。

(3)梁截面變化率對(duì)主梁豎向振動(dòng)影響較大，對(duì)橫向振動(dòng)影響較小。

(4)主梁固有頻率隨橋墩高度增大而減小，位移振型值隨橋墩高度增大而增大。