劉冰雁 于鴻源 馬心意 房瑩 張頌

（1.軍事科學(xué)院，北京100091）（2.解放軍32032部隊(duì)，北京100094）

引言

航天飛行器在太空軌道間快速開展維護(hù)、補(bǔ)給、移除和再利用等在軌服務(wù)，都需要在所帶燃料支撐能力下依一定順序訪問各目標(biāo)軌道.太空軌道是當(dāng)飛行產(chǎn)生的離心力相當(dāng)于地球地心引力而在一定高度繞地球做圓周運(yùn)動的運(yùn)行軌跡.當(dāng)這些運(yùn)行軌跡均位于同一軌道平面內(nèi)時(shí)，為共面軌道.地球周圍太空按高度分高、中、低軌道，范圍可達(dá)幾萬公里，飛行器在多軌道間機(jī)動，為了節(jié)省燃料通常遵循開普勒定律，多采用雙脈沖、多脈沖的機(jī)動形式.但在緊急情況下，飛行器需要以任務(wù)為重心，在最短時(shí)間內(nèi)執(zhí)行所有在軌服務(wù)，多軌道間的機(jī)動時(shí)間便成了任務(wù)成敗的關(guān)鍵.因此，面對相距較遠(yuǎn)的多條軌道，需結(jié)合飛行器所帶燃料選擇變軌方式，規(guī)劃出用時(shí)最短、科學(xué)合理的機(jī)動方案.

有關(guān)軌道機(jī)動規(guī)劃，Zaborsky［1］、Pontan［2］和謝成清［3］研究了兩軌道間的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)問題，對分析不同方式下的軌道間機(jī)動效果具有借鑒意義.袁建平［4］、李俊峰［5］和孫沖［6］關(guān)于非開普勒軌道機(jī)動方面進(jìn)行了探索研究，對軌道間采取非開普勒徑向機(jī)動方式的提出具有啟示作用.歐陽琦［7，8］、余婧［9］和朱嘯宇［10］針對在軌服務(wù)進(jìn)行了任務(wù)規(guī)劃研究，以燃料消耗最小為出發(fā)點(diǎn)簡化機(jī)動過程，重點(diǎn)研究了任務(wù)分配和資源調(diào)度問題，但較少考慮多軌道間的機(jī)動規(guī)劃問題.

本文將根據(jù)航天飛行器的變軌機(jī)動需求，考慮開普勒的霍曼、高斯以及非開普勒徑向三種典型變軌機(jī)動方式，構(gòu)建共面多軌道間的機(jī)動規(guī)劃模型，針對有限時(shí)間及燃料通過機(jī)動策略尋優(yōu)算法解算，以獲得最短機(jī)動時(shí)間和最優(yōu)機(jī)動方案.

1 軌道間機(jī)動方式分析

太空軌道是空間任務(wù)中的基本要素，是航天飛行器僅受引力作用的穩(wěn)態(tài)飛行路徑.軌道間機(jī)動是靠動力裝置改變飛行軌道的行為，是以初始軌道為起點(diǎn)通過轉(zhuǎn)移軌道抵達(dá)目標(biāo)軌道的過程.共面軌道間機(jī)動方式的選取需要考慮初始軌道與目標(biāo)軌道的共面性、切向速度沖量與轉(zhuǎn)移軌道形態(tài)的約束性及開普勒機(jī)動與非開普勒機(jī)動的相異性.

1.1 共面霍曼變軌機(jī)動

在一定離心力下，航天飛行器只受地球引力和軌道攝動影響，將沿著一定軌道飛行.若想從當(dāng)前軌道跨越到同一軌道平面內(nèi)的另一軌道，就需要飛行器自身動力系統(tǒng)提供外力改變原有飛行速度或方向.以最省燃料為出發(fā)點(diǎn)，遵循開普勒運(yùn)動，只需給予飛行器一個速度增量改變運(yùn)行軌道使其沿轉(zhuǎn)移軌道飛行，當(dāng)此轉(zhuǎn)移軌道正好與目標(biāo)軌道相切即可完成軌道間的機(jī)動，這就是共面霍曼變軌機(jī)動的基本原理.

共面霍曼變軌機(jī)動過程如圖1所示，在半徑為r1的初始軌道C1的任意點(diǎn)P產(chǎn)生第一個速度沖量Δv，改變其原有軌道飛至轉(zhuǎn)移軌道E，E的近拱點(diǎn)為P、遠(yuǎn)拱點(diǎn)為A.經(jīng)過半個轉(zhuǎn)移周期達(dá)到遠(yuǎn)拱點(diǎn)為A，遠(yuǎn)拱點(diǎn)正好與半徑為r2的目標(biāo)軌道C2相切.一般軌道轉(zhuǎn)移問題在考慮近拱點(diǎn)速度沖量vhm改變原來軌位的同時(shí)，還需要考慮到遠(yuǎn)拱點(diǎn)順利進(jìn)入目標(biāo)軌道問題.但我們研究的軌道間機(jī)動任務(wù)中，到達(dá)目標(biāo)軌位附近后不一定采取入軌行為，有可能根據(jù)操控任務(wù)需要采取伴飛、繞飛和懸停等動作.因此，在軌道間機(jī)動過程中論文主要考慮初始變軌過程中的速度沖量、燃料損耗和轉(zhuǎn)移軌道周期問題.

圖1 共面軌道間機(jī)動方式示意Fig.1 A schematic illustration for maneuver mode between coplanar orbits

設(shè)vc1和vc2分別為初始軌道C1和目標(biāo)軌道C2的速度，橢圓轉(zhuǎn)移軌道與初始軌道相切的近拱點(diǎn)P的速度為vEP，μ為天體引力常數(shù).共面霍曼變軌機(jī)動方式中：轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)拱點(diǎn)正好與目標(biāo)軌道相切，據(jù)此可以構(gòu)建軌道速度與軌道半徑的關(guān)系模型［11］：

由此可知，軌道速度主要跟地球引力常數(shù)、軌道半徑相關(guān)，軌道轉(zhuǎn)移速度可以根據(jù)初始軌道速度、半徑以及目標(biāo)軌道半徑確定.再根據(jù)開普勒方程，可以證明橢圓軌道的運(yùn)行周期只與長半軸a有關(guān)，而與軌道形狀（偏心率）無關(guān).基于以上分析，可推導(dǎo)出共面霍曼速度沖量模型、長半軸模型以及轉(zhuǎn)移軌道周期模型：

1.2 共面高斯變軌機(jī)動

通過對軌道動力學(xué)和開普勒運(yùn)動分析可知，速度沖量Δv在一定范圍內(nèi)遞增，如圖2所示轉(zhuǎn)移軌道形態(tài)將由橢圓經(jīng)長橢圓向拋物線演化，變軌機(jī)動時(shí)間t也將由半個轉(zhuǎn)移周期T逐漸縮短.在開普勒定律下，只需知道初始軌道與目標(biāo)軌道位置以及可提供的速度沖量，便可估算變軌機(jī)動時(shí)間和各軌道參數(shù)的方法均屬于共面高斯變軌機(jī)動方式，霍曼變軌機(jī)動可視為高斯方式的一種特例.由速度沖量改變產(chǎn)生的各種共面高斯軌道機(jī)動方式，與共面霍曼變軌機(jī)動相比，能有效縮減軌道間機(jī)動時(shí)間，但需以增大速度沖量為代價(jià)，這對航天飛行器的動力裝置和燃料儲備提出了更高要求.

圖2 不同速度下的轉(zhuǎn)移軌道形態(tài)圖Fig.2 Transition orbit morphologies at different velocities

由此，共面高斯變軌機(jī)動方式中的速度沖量Δv是一個不確定量，需根據(jù)動力裝置及燃料儲備提前確定 .可依據(jù)開普勒運(yùn)動［11，12］建立以速度沖量為變量的轉(zhuǎn)移軌道近拱點(diǎn)與初始軌道的速度關(guān)系模型：

接著，根據(jù)活力公式可計(jì)算求得轉(zhuǎn)移軌道的各軌道根數(shù)［11］.其中，依據(jù)開普勒定律和運(yùn)動方程M=E-e?sinE，可構(gòu)建出飛行器從初始軌道變軌機(jī)動至目標(biāo)軌道的機(jī)動時(shí)間模型：

1.3 共面非開普勒徑向機(jī)動

目前太空中的飛行器絕大部分軌道運(yùn)動都遵循1610年提出的開普勒定律，重點(diǎn)考慮地球中心引力場下的飛行器軌道運(yùn)動.隨著航天技術(shù)的發(fā)展、太空在軌服務(wù)需求的不斷拓展，有越來越多緊急、復(fù)雜、大范圍和多作業(yè)形式的空間操控任務(wù)需要飛行器去完成.這樣，是否能夠依任務(wù)需要直接、快速機(jī)動至目標(biāo)軌道便成為當(dāng)前制約任務(wù)完成效率的關(guān)鍵因素.基于開普勒定律和開普勒空間軌道理論的機(jī)動模型具有機(jī)動軌道模式固定、運(yùn)動時(shí)間長以及持續(xù)推力運(yùn)動難描述等局限，難以適應(yīng)直接、快速和持續(xù)推力下的空間機(jī)動行為.未來太空在軌服務(wù)不僅要求飛行器能夠順利抵達(dá)目標(biāo)軌道，更加注重變軌機(jī)動的快速性、直接性、可控性和全域可達(dá)性，這致使整個運(yùn)動不再完全滿足開普勒定律.我們定義一切不再符合理性開普勒運(yùn)動的太空機(jī)動為非開普勒運(yùn)動，即為不再符合開普勒三定律或二體問題解的太空運(yùn)動.在動力裝置持續(xù)推力作用下，將改變飛行器質(zhì)心運(yùn)動的軌跡，即轉(zhuǎn)移軌道不再是開普勒軌道，而是受不同的瞬時(shí)加速度做螺旋、弧線或折線甚至直線軌跡［13，14］.本文將拋開開普勒定律限制，考慮軌道間最直接的機(jī)動方式，采取在徑向方向給予持續(xù)推力的方式使飛行器在徑向產(chǎn)生加速度，從而更快到達(dá)目標(biāo)軌道.

設(shè)在地球引力場中不考慮攝動因素，飛行器在地球萬有引力下做圓周運(yùn)動，即只受法向方向的引力FG.現(xiàn)依據(jù)目標(biāo)軌道方位通過動力系統(tǒng)產(chǎn)生一個持續(xù)發(fā)動機(jī)推力F，該F可分解為徑向分力Fh和切向分力 Fs，由此可求得飛行器的合加速度［15，16］：

式中，m為飛行器質(zhì)量，rd為法向（徑向）單位矢量，sd為切向單位矢量.設(shè)M為地球質(zhì)量、G為引力常量、r為飛行器初始軌道半徑，把μ=GM、FG=GMm r2［17］代入式（7），得到徑向方向的瞬時(shí)加速度模型：

2 共面多軌道間的機(jī)動規(guī)劃方法

飛行器為完成共面多軌道間機(jī)動任務(wù)需結(jié)合動力系統(tǒng)特性和攜帶燃料量選取合適的變軌機(jī)動方式，以最短時(shí)間機(jī)動到目標(biāo)軌道.其中，軌道高度不同則速度不同，相互間變軌機(jī)動所需的速度沖量也就不同，速度沖量的增加雖可有效縮短機(jī)動時(shí)間，但卻會消耗更多燃料.因此，飛行器在軌道間采取各變軌機(jī)動行為之前，需要將各方面因素統(tǒng)籌考慮，構(gòu)建規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)適用、高效的尋優(yōu)算法.

2.1 目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)模型

面對任務(wù)執(zhí)行度、飛行裝置動能轉(zhuǎn)換率和攜帶燃料量等多優(yōu)化需求，從緊急機(jī)動角度選取最重要因素作為優(yōu)化目標(biāo).據(jù)上文分析可知，緊急在軌服務(wù)任務(wù)的完成度主要還是受整個軌道間機(jī)動時(shí)間影響，時(shí)間就是生命，只有在機(jī)動上節(jié)省更多的時(shí)間才能在每個任務(wù)點(diǎn)上留有更充分的操控時(shí)間.因此，在共面多軌道間的機(jī)動規(guī)劃問題上，選取整個機(jī)動時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)并構(gòu)建目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)：

式中：tij為從i軌道機(jī)動至j軌道的時(shí)間，單位為s；xij為i軌道與j軌道間轉(zhuǎn)移軌道的選取情況，為無量綱量；N為需訪問的軌道總數(shù)，單位為條.

2.2 變軌機(jī)動約束模型

變軌機(jī)動前需選定變軌方式，依上文分析可大致分為開普勒運(yùn)動和非開普勒運(yùn)動，具體選取依動力裝置性能、任務(wù)緊急程度和燃料儲量而定.根據(jù)開普勒運(yùn)動的軌道根數(shù)、速度沖量、軌道轉(zhuǎn)移周期以及機(jī)動時(shí)間的動力學(xué)關(guān)系，建立開普勒高斯變軌機(jī)動約束模型：

式中，aij為從i軌道機(jī)動至j軌道的轉(zhuǎn)移軌道長半軸，單位為km；Eij為ij軌道間轉(zhuǎn)移軌道的偏近點(diǎn)角，單位為度；eij為ij軌道間轉(zhuǎn)移軌道的偏心率，為無量綱量；vij為i軌道機(jī)動至j軌道的轉(zhuǎn)移軌道近拱點(diǎn)速度，單位為k∕ms；Δvij為i軌道機(jī)動至j軌道的速度沖量，單位為k∕ms；Δυ為基于共面霍曼速度沖量的速度增量，單位為k∕ms.

非開普勒運(yùn)動軌跡主要由飛行器在徑向及切向方向上的瞬時(shí)加速度共同決定，軌道間機(jī)動時(shí)間主要受徑向方向的加速度控制.由此，重點(diǎn)考慮徑向方向機(jī)動情況，選取均變速徑向機(jī)動這一特殊情況建立非開普勒變軌約束模型：

式中，αij為從i軌道機(jī)動至j軌道的徑向合加速度，單位為km∕s2；rij為從i軌道機(jī)動至j軌道過程中距地心的徑向距離，單位為km；為i軌道機(jī)動至j軌道過程中的徑向發(fā)動機(jī)推力，單位為N；vi0為i軌道機(jī)動至 j軌道的徑向初始速度，單位為 k∕ms；vij為i軌道機(jī)動至 j軌道的機(jī)動速度，單位為 k∕ms；sij為i、j軌道間機(jī)動的徑向累計(jì)路程，單位為km；tij為從i軌道機(jī)動至j軌道的時(shí)間，單位為s.

2.3 變軌路徑約束模型

飛行器面對共面多軌道，需事先明確訪問各軌道的先后順序且每個軌道只訪問一次.這是一類組合優(yōu)化的問題約束，即針對每一目標(biāo)軌道需明確：僅經(jīng)由一條轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)入和一條轉(zhuǎn)移軌道離開，整個轉(zhuǎn)移軌道構(gòu)成一個轉(zhuǎn)移鏈，中間沒有任何子回路的產(chǎn)生.由此，構(gòu)建整個變軌機(jī)動的路徑約束模型：

式中，當(dāng)xij=1時(shí)，選取ij軌道之間的轉(zhuǎn)移軌道，其他則不選取.

2.4 變軌燃料約束模型

有的太空軌道間距較遠(yuǎn)，航天飛行器自身燃料補(bǔ)給困難，機(jī)動過程中必須考慮燃料的消耗情況.可將每次變軌機(jī)動前后速度矢量改變量的模，即速度增量的大小作為軌道控制所付出能量代價(jià)的一種間接度量.基于動量守恒原理齊奧爾科夫斯基給出了速度與燃料損耗的關(guān)系理論［18，19］，即航天飛行器通過一個消耗自身燃料質(zhì)量的反方向推進(jìn)系統(tǒng)，可以在原有運(yùn)行速度上產(chǎn)生并獲得加速度.由此，構(gòu)建軌道間機(jī)動燃料約束模型：

式中，vij為i軌道機(jī)動至j軌道開普勒運(yùn)動的近拱點(diǎn)速度或非開普勒運(yùn)動的機(jī)動速度，單位為km∕s2；β為從i軌道機(jī)動至j軌道過程中燃料轉(zhuǎn)換率，是由動力系統(tǒng)決定的常量；λ為i軌道機(jī)動至j軌道過程中燃料燃燒后噴出的能量相對火箭的速率，單位為km∕s；mq為飛行器本體的質(zhì)量，單位為kg；mr為飛行器所攜帶的燃料總量，單位為kg；mij為從i軌道機(jī)動至j軌道所消耗的燃料，單位為kg.

2.5 機(jī)動策略尋優(yōu)算法

根據(jù)所建立的機(jī)動規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)基于改進(jìn)蟻群算法的機(jī)動策略尋優(yōu)算法.算法中根據(jù)要訪問的軌道數(shù)量設(shè)計(jì)螞蟻數(shù)，其中每只螞蟻具有特征：根據(jù)以每次變軌機(jī)動時(shí)間和轉(zhuǎn)移軌道上外激素的數(shù)量為變量的概率函數(shù)，選定下一個訪問軌位；強(qiáng)制螞蟻?zhàn)裱戏窂剿阉?，不重?fù)訪問、不走小環(huán)路，并由禁忌表進(jìn)行控制；完整一次搜尋后，在曾經(jīng)訪問的每一條轉(zhuǎn)移軌道用外激素標(biāo)記.算法起始時(shí)刻，設(shè)各軌道間轉(zhuǎn)移軌道所攜帶的信息素相等，各螞蟻在搜索中根據(jù)轉(zhuǎn)移軌道上的所需的機(jī)動時(shí)間決定轉(zhuǎn)移方向，并按轉(zhuǎn)移概率模型機(jī)動至下一軌道.遍歷完所有軌道后，螞蟻完成一次循環(huán)，根據(jù)外激素更新模型［20］修改軌跡強(qiáng)度，并以燃料消耗情況審查進(jìn)行約束.整個解算流程如圖3所示.

圖3 基于改進(jìn)蟻群算法的機(jī)動策略尋優(yōu)算法流程圖Fig.3 Flow chart of maneuver strategy optimization algorithm based on improved ant colony algorithm

3 算例求解與分析

算例是以航天飛行器在赤道面上的七條軌道間往返執(zhí)行在軌服務(wù)任務(wù)為背景，將七條軌道簡化為圓形軌道，各軌道的距地球面高度集為：｛r1=36300；r2=36700；r3=37200；r4=37800；r5=38500；r6=39300｝，單位為km.航天飛行器本體質(zhì)量mq=1× 103kg，攜帶燃料 mr=4×103kg，裝備最大推力為Fmax=39.3kN的肼燃料改進(jìn)型火箭發(fā)動機(jī)，動力系統(tǒng)噴口速率λ=3km∕s，采取非開普勒徑向機(jī)動方式時(shí)徑向方向最大合加速度αmax=6×10-3km∕s2，地球引力常數(shù) μ =398600.4km3∕s2，地球半徑rε=6378.14km.現(xiàn)需此飛行器在這七條軌道依序開展緊急在軌服務(wù)任務(wù)，其中預(yù)留的軌道間總機(jī)動時(shí)間只有2.5小時(shí)，且要求燃料最少結(jié)余50公斤以保障在軌操控任務(wù)的順利開展.

3.1 兩類變軌方式的機(jī)動時(shí)長及燃料消耗情況

軌道間采取高斯機(jī)動過程中，增大速度沖量將有效提升機(jī)動時(shí)效性，但燃料消耗也有所增加.圖4仿真展現(xiàn)了r0機(jī)動至r1時(shí)長隨速度沖量增大呈非線性遞減的情況，及兩軌道間燃料消耗隨速度沖量增大呈非線性遞增的情況.

圖4 高斯機(jī)動中時(shí)間、燃料變化情況Fig.4 Time and fuel variations in Gauss maneuver

當(dāng)軌道間采取非開普勒徑向機(jī)動時(shí)，使航天飛行器在徑向方向保持不同合加速度，其機(jī)動時(shí)間和燃料消耗情況均有所不同.圖5展現(xiàn)了初始軌道r0在徑向方向采取不同合加速度機(jī)動至r1軌道的機(jī)動時(shí)間、燃料消耗情況.其中，機(jī)動時(shí)長隨徑向合加速度增大呈非線性遞減趨勢，燃料消耗量隨徑向合加速度增大呈非線性遞增趨勢.

圖5 非開普勒徑向機(jī)動中時(shí)間、燃料變化情況Fig.5 Time and fuel variations in non-Keplerian radial maneuver

3.2 四種特殊情況的最優(yōu)機(jī)動方案

如表1所示，為四種特殊變軌機(jī)動方式下的最優(yōu)機(jī)動方案.其中，采取開普勒霍曼機(jī)動時(shí)，各軌道間的轉(zhuǎn)移軌道均為與目標(biāo)軌道相切的橢圓軌道，例如r3至r4的轉(zhuǎn)移軌道形態(tài)為長半軸為41.178×103km、短半軸為41.177×103km的橢圓.通過規(guī)劃方法得到時(shí)間最優(yōu)的機(jī)動策略，整個機(jī)動過程所需時(shí)間為136.5小時(shí)，燃料消耗量為243.77公斤.

表1 考慮不同變軌方式的最優(yōu)機(jī)動方案Table 1 Optimal maneuver scheme for different ways of orbit shifting

軌道間的速度沖量受初始軌道高度限制，由此可以確定各速度沖量的極限值.當(dāng)采取極限速度下的高斯機(jī)動時(shí)，各軌道間的轉(zhuǎn)移軌道都是在不同程度上與目標(biāo)軌道相交的橢圓軌道，例如r3至r4的轉(zhuǎn)移軌道形態(tài)為長半軸為4513.0×103km、短半軸為1920.9×103km的長條形橢圓.由于軌道間機(jī)動時(shí)間受初始軌道高度、速度沖量影響，當(dāng)速度沖量改變則軌道間的機(jī)動比較優(yōu)勢將可能有所變化.通過規(guī)劃方法可以得到當(dāng)前環(huán)境下的最優(yōu)機(jī)動策略，即由2號軌道經(jīng)1號、0號、3號、4號和5號機(jī)動至6號軌道.整個機(jī)動過程所需時(shí)間為8.8小時(shí)，燃料消耗量為3701.35公斤.

將軌道間機(jī)動分解為徑向運(yùn)動跟切向運(yùn)動，只有當(dāng)徑向方向運(yùn)動率先與目標(biāo)軌道交會才能將整個機(jī)動時(shí)間以徑向時(shí)間計(jì)算.由此，徑向機(jī)動存在一個最低合加速度，只有當(dāng)大于等于此臨界值時(shí)整個機(jī)動時(shí)間才能以徑向機(jī)動時(shí)間計(jì)算.根據(jù)軌道間切向運(yùn)動的特性，結(jié)合軌道幾何關(guān)系及各初始軌道速度，可確定徑向合加速度的最小值.根據(jù)本算例軌道條件，計(jì)算得到徑向最低合加速度為αmin=0.25×10-3km∕s2.基于此，軌道間的徑向機(jī)動累計(jì)路程為兩軌道的軌道高度差，例如r3至r4的機(jī)動路程為600km.通過規(guī)劃方法計(jì)算得到時(shí)間最優(yōu)的機(jī)動策略，即由3號軌道經(jīng)2號、1號、0號、4號和5號機(jī)動至6號軌道.整個機(jī)動過程所需時(shí)間為8.61小時(shí)，燃料消耗量為2703.94千克.

根據(jù)算例所給條件，當(dāng)在徑向方向保持最大合加速度αmax=6×10-3km∕s2機(jī)動時(shí)，兩軌道間的徑向機(jī)動累計(jì)路程為兩軌道的軌道高度差，例如r3至r4的機(jī)動路程為600km.通過規(guī)劃方法計(jì)算得到時(shí)間最優(yōu)的機(jī)動策略，即由2號軌道經(jīng)1號、0號、3號、4號和5號機(jī)動至6號軌道.整個機(jī)動過程所需時(shí)間為1.76小時(shí)，燃料消耗量為3983.99千克.

3.3 時(shí)間及燃料約束給定的最優(yōu)機(jī)動方案

根據(jù)算例對機(jī)動總時(shí)長控制在2.5小時(shí)內(nèi)、燃料結(jié)余50公斤的要求，通過本文方法計(jì)算，最終得到了如表2所示的最優(yōu)機(jī)動方案.軌道間在徑向保持合加速度做徑向均變速機(jī)動，采取由2號軌道經(jīng)1號、0號、3號、4號和5號機(jī)動至6號軌道的最優(yōu)訪問策略；整個機(jī)動時(shí)間為2.22小時(shí)，滿足2.5小時(shí)內(nèi)完成軌道間機(jī)動的任務(wù)要求；燃料消耗3949.12公斤，滿足結(jié)余50公斤燃料的在軌服務(wù)任務(wù)要求.

表2 時(shí)間及燃料限制條件下的最優(yōu)機(jī)動方案Table 2 Optimal maneuver scheme under time and fuel constraints

從整個計(jì)算過程知：開普勒機(jī)動過程中，速度沖量決定了轉(zhuǎn)移軌道形態(tài)，速度沖量的增加能縮短軌道間機(jī)動時(shí)間；通過在各初始軌道增加其速度沖量至極限值，可壓縮93.6%的機(jī)動時(shí)間，但需多消耗15倍的燃料.非開普勒徑向機(jī)動中，在徑向保持最低加速度進(jìn)行機(jī)動，機(jī)動時(shí)間跟極速高斯相近，由于其機(jī)動方式直接且所需速度相對較小，從而整體能夠節(jié)省1000kg燃料；提升徑向加速度至算例所給極值，可有效壓縮79.6%機(jī)動時(shí)長，但需再多消耗3.9倍燃料.針對機(jī)動時(shí)間2.5小時(shí)內(nèi)及燃料結(jié)余50公斤的條件限制，綜合考慮不同機(jī)動方式，本文給出了采取非開普勒徑向機(jī)動方式的最優(yōu)方案.

由此，多軌道間機(jī)動采取開普勒方式，整體相對節(jié)省燃料，但所需的機(jī)動時(shí)間較長，適用于攜帶燃料量有限或任務(wù)時(shí)間較寬松的情況.采取非開普勒機(jī)動方式，可進(jìn)一步縮減機(jī)動時(shí)間，適用于燃料充足或任務(wù)緊急的情況.從應(yīng)急角度看，是需要飛行器以這類方式按最優(yōu)機(jī)動策略，在最短時(shí)間內(nèi)直接完成多軌道間機(jī)動的.但非開普勒運(yùn)動中，合加速度的提升、推力大小的維持及飛行方向的控制均對飛行器的動力系統(tǒng)、燃料儲備和飛行控制提出了更高的要求，這急需航天技術(shù)進(jìn)一步發(fā)展以提升空間全域快速機(jī)動能力.

4 結(jié)論

（1）提出了共面多軌道間機(jī)動規(guī)劃方法，能夠根據(jù)具體需求給出最優(yōu)機(jī)動策略.

（2）研究了兩類變軌機(jī)動方式四種特殊情況的邊界問題，有助于受時(shí)間及燃料限制機(jī)動問題的變軌方式選取.

（3）提出了非開普勒徑向機(jī)動方式，能夠有效縮減軌道間機(jī)動時(shí)間，滿足高時(shí)效性要求.

綜上，本文方法能夠?yàn)槭軙r(shí)間及燃料條件限制的共面多軌道間機(jī)動問題，提出一個綜合考量不同變軌方式的最優(yōu)機(jī)動方案.