邱恒斌 徐自力

（1.北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京100076）（2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710049）

引言

在透平機(jī)械中，葉片系統(tǒng)經(jīng)常采用圍帶結(jié)構(gòu)增加葉片間的干摩擦阻尼來(lái)達(dá)到減振的目的.為了研究圍帶干摩擦阻尼葉片的振動(dòng)特性，建立一個(gè)高效準(zhǔn)確的干摩擦模型是十分必要的.

在已有干摩擦阻尼系統(tǒng)的研究中，微滑移模型由于能較好的模擬實(shí)際摩擦接觸行為而被廣泛采用.Iwan［1］采用線(xiàn)性彈簧和庫(kù)侖摩擦元組合，在接觸面分布多個(gè)接觸點(diǎn)對(duì)，提出串聯(lián)和并聯(lián)微滑移模型.Griffin［2］基于庫(kù)侖摩擦定律，采用恒定摩擦系數(shù)，并采用線(xiàn)性彈簧表征切向接觸剛度，研究了恒定正壓力下的一維摩擦相對(duì)運(yùn)動(dòng).Yang［3］提出了二維的干摩擦接觸模型，采用兩個(gè)無(wú)質(zhì)量的彈簧表征切向和法向的接觸剛度，研究了變正壓力下的二維摩擦相對(duì)運(yùn)動(dòng).Chen，Yang和Menq［4］在二維模型基礎(chǔ)上提出了三維的摩擦接觸模型 .Petrov［5，6］采用三維摩擦模型研究了多種形式的干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)的減振特性.在已有的微滑移模型中，通常采用線(xiàn)性彈簧模擬接觸面發(fā)生相對(duì)滑移之前的彈性變形，用庫(kù)侖摩擦元模擬接觸面發(fā)生滑移時(shí)的摩擦力.

接觸剛度和摩擦系數(shù)是計(jì)算摩擦力的兩個(gè)重要參數(shù)，在先前大部分摩擦接觸模型中，摩擦系數(shù)和接觸剛度大都采用經(jīng)驗(yàn)值.實(shí)際上，摩擦系數(shù)和接觸剛度均會(huì)隨著接觸正壓力，接觸面形貌，彈性模量，泊松比等參數(shù)的變化而改變.在計(jì)算接觸剛度和摩擦系數(shù)過(guò)程中，接觸正壓力，彈性模量，泊松比等參數(shù)較容易獲得，但是準(zhǔn)確的模擬接觸面形貌是較為困難的.

在以往的接觸研究中，大多采用GW（Greenwood-Williamson模型）和分形理論模擬接觸面形貌.Chang等［7］基于GW接觸模型，提出金屬表面靜摩擦系數(shù)的計(jì)算模型，得出摩擦系數(shù)與正壓力的關(guān)系.尤晉閩等［8］研究了分形接觸表面的摩擦模型，得出了靜摩擦系數(shù)與接觸面材料參數(shù)、接觸面分形參數(shù)和正壓力的關(guān)系.Jones［9］利用GW模型研究了法向載荷、切向載荷、表面形貌等對(duì)切向剛度的影響.Jiang等［10］采用分形幾何模擬接觸面形貌，研究了機(jī)械結(jié)合面的接觸剛度，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相接近.GW模型獲得的表面特征參數(shù)受限于分辨率及采樣長(zhǎng)度等，不能準(zhǔn)確反映出粗糙表面的全部信息［11］.粗糙表面輪廓具有自相似性，且與尺度無(wú)關(guān)，因此可以由分形幾何來(lái)表征，利用表面分形特性建立接觸模型，可使表面接觸的分析結(jié)果具有確定性和唯一性［11，12］.

本文基于三維干摩擦微滑移模型，發(fā)展了一種分形接觸干摩擦微滑移模型，用于計(jì)算考慮接觸面形貌的摩擦力.采用分形幾何模擬接觸表面的形貌，基于分形理論和赫茲接觸理論，建立接觸面粗糙度、正壓力、彈性模量、泊松比等參數(shù)與接觸剛度和摩擦系數(shù)的關(guān)系.由接觸剛度、摩擦系數(shù)和接觸點(diǎn)對(duì)的相對(duì)位移計(jì)算摩擦力.采用該發(fā)展的模型研究真實(shí)圍帶葉片的受迫振動(dòng)響應(yīng).

1 分形接觸

1.1 分形接觸表面

分形具有自相似性和尺寸獨(dú)立性，使其能夠描述具有多尺度特性的粗糙表面.具有分形特征的三維粗糙表面輪廓曲線(xiàn)可由W-M（Weierstrass-Mandelbrot）函數(shù)來(lái)模擬，該函數(shù)具有處處連續(xù)，處處不可導(dǎo)，具有無(wú)限細(xì)節(jié)特征［13］.該數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：z(x)為粗糙表面輪廓的高度；x，y為粗糙表面輪廓的位移坐標(biāo)；G為反映表面輪廓z的特征尺度系數(shù)，G越大越粗糙；D為表面輪廓的分形維數(shù)，表征表面輪廓的不規(guī)則性和復(fù)雜程度，且1

圖1 三維分形接觸表面模擬Fig.1 Simulated 3D fractal surfaces

1.2 接觸剛度

圍帶接觸面的接觸剛度源于接觸表面的一系列微凸體，研究表明［13］可將兩個(gè)粗糙表面的接觸等效為一個(gè)粗糙表面和一個(gè)光滑的剛性平面接觸的如圖2.則該系統(tǒng)的等效彈性模量為：

圖2 粗糙表面微凸體與剛性平面的接觸Fig.2 Contact between an asperity of composite rough surface and a rigid plane

式中v1、v2和E1、E2分別為兩個(gè)接觸微凸體的泊松比和彈性模量.微凸體變形量由式（1）W-M分形函數(shù)［13］決定：

Majumdar和 Bhushan［12］研究表明接觸點(diǎn)的面積分布密度函數(shù)與海洋面上的島嶼面積分布密度函數(shù)相似，得到切割面積a'的統(tǒng)計(jì)學(xué)分布函數(shù)為：

式中，a'=π(r')2是微接觸的切割面積，al'是最大微接觸切割面積.微凸體的曲率半徑為R2=(R-δ)2+(r')2，忽略二階小量可寫(xiě)為(r')2=2Rδ，代入到式（3）可得：

分形維數(shù)D、分形參數(shù)G與接觸面粗糙度的關(guān)系可近似為［14］：D=1.515∕Ra0.088，G=10(-8.259∕Ra0.088).Kogut等［15］將微凸體的變形可分為四個(gè)階段：完全彈性、彈塑性和完全塑性變形.即當(dāng)δ<δc時(shí)微凸體處于完全彈性狀態(tài)；當(dāng)δc≤δ≤6δc時(shí)微凸體處于第一彈塑性狀態(tài)；當(dāng)6δc<δ≤110δc時(shí)微凸體處于第二彈塑性狀態(tài)；當(dāng)δ>110δc時(shí)微凸體處于完全塑性狀態(tài).微凸體處于各個(gè)接觸狀態(tài)的接觸載荷如表1所示［15］.

表1 接觸變形及對(duì)應(yīng)的接觸載荷Table 1 Contact deformation and corresponding contact load

微凸體接觸面由完全彈性到彈塑性變形的臨界變形量為：

式中，H是材料的硬度，K是材料的硬度系數(shù)，K=0.454+0.41v，v是軟材料的泊松比.將式（3）和式（5）代入式（6），微凸體由完全彈性到彈塑性變形的臨界切割面積可表示為：

整個(gè)接觸面的接觸剛度可認(rèn)為是處于完全彈性、第一和第二彈塑性區(qū)的單個(gè)微凸體接觸剛度的總合.因此整個(gè)接觸面的法向接觸剛度可表達(dá)為：

同樣的，整個(gè)接觸面的切向接觸剛度可表達(dá)為：

切向和法向接觸剛度隨正壓力和粗糙度的變化如圖3和圖4所示.由圖可知，接觸剛度隨著正壓力的增加而增加，隨著粗糙度的增加而減小.接觸表面越粗糙意味著接觸表面越尖銳，接觸表面微凸體在受到接觸載荷時(shí)越容易發(fā)生塑性變形，因此接觸剛度會(huì)減小.

圖3 接觸剛度隨正壓力的變化Fig.3 Contact stiffness vs normal pressure

圖4 接觸剛度隨粗糙度的變化Fig.4 Contact stiffness vs roughness

1.3 摩擦系數(shù)

當(dāng)微凸體同時(shí)受到法向載荷F和切向載荷T共同作用時(shí)，微凸體表面的應(yīng)力場(chǎng)目前還沒(méi)有完整的解析解，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多基于一定的假設(shè)條件對(duì)表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化.本文采用文獻(xiàn)［8］中提出的假設(shè)，認(rèn)為微凸體的屈服發(fā)生在微凸體表面接觸點(diǎn)的邊緣，接觸點(diǎn)邊緣的應(yīng)力為：

式中σs為較軟材料的屈服強(qiáng)度.在法向載荷作用下，接觸界面上處于塑性變形的微凸體由于受到局部接觸載荷作用而發(fā)生塑性流動(dòng)，將不能繼續(xù)承受切向載荷［17］.因此在計(jì)算靜摩擦力只包括前兩個(gè)狀態(tài)的微凸體，當(dāng)接觸面處于臨界滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)，接觸面將達(dá)到完全屈服，此時(shí)整個(gè)接觸面所有微凸體所承受的切向載荷即為最大靜摩擦力Tt：

接觸面摩擦系數(shù)隨正壓力和粗糙度的變化如圖5和圖6所示.由圖可知，摩擦系數(shù)隨著正壓力的增加而增加，隨著粗糙度的增加而先增大后減小.

圖6 摩擦系數(shù)隨粗糙度的變化Fig.6 Contact stiffness vs roughness

2 干摩擦模型

葉片振動(dòng)時(shí)，圍帶接觸面會(huì)發(fā)生三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生摩擦約束力.為了模擬實(shí)際摩擦接觸過(guò)程中的微滑移現(xiàn)象，將圍帶接觸區(qū)域被離散成一系列接觸單元，每個(gè)接觸單元由一組接觸點(diǎn)對(duì)來(lái)表征該接觸單元在摩擦接觸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粘滯、滑移和分離的摩擦運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

接觸面上單個(gè)接觸點(diǎn)對(duì)的模型如圖7所示.接觸點(diǎn)對(duì)的接觸剛度由式（10）和式（11）確定，摩擦系數(shù)由式（15）確定.A，B兩點(diǎn)分別為互相接觸的兩個(gè)平面上對(duì)應(yīng)的接觸點(diǎn)，用兩個(gè)無(wú)質(zhì)量的線(xiàn)性彈簧表征接觸剛度.彈簧Kt表征接觸面的切向接觸剛度，彈簧Kn表征接觸面間的法向接觸剛度.當(dāng)接觸面做三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)點(diǎn)A與面1始終保持粘滯，而點(diǎn)B會(huì)沿著面2產(chǎn)生粘滯或滑移的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).在面2的接觸面上建立局部坐標(biāo)系，在局部坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的位移分別定義為和，點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的相對(duì)位移定義為

圖7 單個(gè)摩擦接觸點(diǎn)對(duì)模型Fig.7 The model of a friction pair

接觸面間的法向接觸正壓力由接觸面初始正壓力n0、法向接觸剛度kn和法向相對(duì)位移zk確定，可由下式來(lái)計(jì)算：

若接觸面初始正壓力n0為負(fù)，表示接觸面存在初始間隙；等于零，則表示接觸面在此時(shí)刻發(fā)生分離，接觸點(diǎn)摩擦力為零.接觸面摩擦約束力就可由點(diǎn)A和點(diǎn)B間的相對(duì)位移計(jì)算獲得.切向摩擦力fkt定義為：

定義點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的切向拉力Tk為：

如果Tk小于臨界摩擦力，則點(diǎn)B保持不動(dòng)，若Tk大于，那么點(diǎn)B將向點(diǎn)A滑動(dòng)直至拉力Tk等于臨界摩擦力.則切向摩擦力可以表示為：

3 圍帶葉片響應(yīng)

某真實(shí)圍帶葉片的有限元模型如圖8所示，采用該發(fā)展的分形接觸三維干摩擦模型和高階諧波平衡法［18］預(yù)測(cè)該圍帶葉片的受迫振動(dòng)響應(yīng).對(duì)葉片輪盤(pán)施加固定約束，在葉片軸向上施加p(t)=50sinωt的激振力，接觸面剛度及摩擦系數(shù)采用分形接觸模型計(jì)算，選取前5階諧波和前5階模態(tài)進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算.為了研究接觸面粗糙度對(duì)圍帶葉片減振效果的影響，本文選取了表面粗糙度為Ra=1.6μm和Ra=2.2μm的兩種情況，計(jì)算兩種表面粗糙度在不同初始正壓力下葉片系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，兩種粗糙度下葉片系統(tǒng)的幅頻曲線(xiàn)如圖9和圖10所示.

圖8 圍帶葉片的有限元模型Fig.8 The finite element model of a shroud blade

圖9 Ra=2.2μm時(shí)的幅頻曲線(xiàn)Fig.9 Amplitude-frequency curves at Ra=2.2μm

由圖9和圖10可知，當(dāng)接觸面粗糙度不同時(shí)，葉片的幅頻曲線(xiàn)、共振幅值和共振頻率均發(fā)生變化，說(shuō)明葉片的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)接觸面粗糙度較為敏感.就本文選取參數(shù)計(jì)算所得結(jié)果，在相同的初始正壓力下，表面粗糙度1.6μm計(jì)算的共振幅值較表面粗糙度2.2μm的小.同時(shí)發(fā)現(xiàn)該真實(shí)圍帶葉片的響應(yīng)沒(méi)有出現(xiàn)摩擦鎖死的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，這是因?yàn)閷?shí)際機(jī)組為了在振動(dòng)過(guò)程中達(dá)到減振的目的，會(huì)選取合適的初始正壓力，防止出現(xiàn)摩擦鎖死現(xiàn)象，這與機(jī)組實(shí)際運(yùn)行的情況相符.

圖10 Ra=1.6μm時(shí)的幅頻曲線(xiàn)Fig.10 Amplitude-frequency curves at Ra=1.6μm

4 結(jié)論

本文基于三維干摩擦微滑移模型，發(fā)展了一種分形接觸干摩擦微滑移模型，用于計(jì)算考慮接觸面形貌的摩擦力.在該模型中，摩擦接觸面被離散成一系列接觸單元，每個(gè)接觸單元由一組接觸點(diǎn)對(duì)來(lái)表征該接觸單元的粘滯、滑移、分離的摩擦運(yùn)動(dòng)狀態(tài).采用分形幾何模擬接觸面形貌，基于分形理論和赫茲接觸理論，建立接觸面粗糙度、正壓力、彈性模量、泊松比等參數(shù)與接觸剛度和摩擦系數(shù)的關(guān)系.由接觸剛度、摩擦系數(shù)和接觸點(diǎn)對(duì)的相對(duì)位移計(jì)算摩擦力.

結(jié)果表明：該分形接觸三維干摩擦模型能較好地模擬接觸面形貌，有效地考慮接觸面形貌、正壓力等參數(shù)對(duì)摩擦力的影響.其中接觸剛度隨著正壓力的增加而增加，隨著粗糙度的增加而減??；摩擦系數(shù)隨著正壓力增加而增加，隨著粗糙度的增加，先增大后減??；存在最優(yōu)的初始正壓力使葉片共振幅值最小，共振頻率隨著初始正壓力的增加而增加；接觸面形貌對(duì)圍帶葉片受迫振動(dòng)響應(yīng)有顯著影響.