趙鳳榮，鄔 俊

(1.昆明理工大學(xué) a.管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院； b.國(guó)際學(xué)院，昆明 650093；2.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，呼和浩特 010022)

提要：通過(guò)假定反比傭金率的具體形式，采用貝葉斯-納什均衡分析，分別得出帶有保留價(jià)的第一價(jià)格和第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中競(jìng)拍者的唯一均衡報(bào)價(jià)策略，并深入分析了反比傭金率的系數(shù)與競(jìng)拍者的均衡報(bào)價(jià)及拍賣(mài)參與者期望收益之間的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，競(jìng)拍者和賣(mài)者的期望收益與反比傭金率的系數(shù)k呈反向變動(dòng)，拍賣(mài)行的期望收益與k呈同向變動(dòng)。通過(guò)計(jì)算第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)模型中賣(mài)者和拍賣(mài)行的期望收益，發(fā)現(xiàn)獲得的期望收益分別相等，說(shuō)明著名的收益等價(jià)定理在基于反比傭金率約束的兩種拍賣(mài)機(jī)制中仍然成立。進(jìn)一步分析賣(mài)者和拍賣(mài)行的期望收益，分別構(gòu)造出最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足的條件，與現(xiàn)有研究文獻(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行對(duì)比分析，說(shuō)明該反比傭金率的設(shè)置及其結(jié)論的合理性。

自1961年Vickrey[1]對(duì)拍賣(mài)理論進(jìn)行開(kāi)創(chuàng)性研究以來(lái)，拍賣(mài)理論及應(yīng)用受到廣大學(xué)者的關(guān)注。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，作為一種有效的價(jià)格均衡及資源配置機(jī)制，拍賣(mài)不僅在實(shí)踐中被廣泛使用，如藝術(shù)品、煙草、皮革、魚(yú)類(lèi)、花卉和無(wú)線(xiàn)電頻譜使用權(quán)等拍賣(mài)活動(dòng)[2]，其理論也得到了深入研究[3-4]。最具有代表性的成果有Riley和Samuelson[5]及Myerson[6]建立的收益等價(jià)定理，為人們研究標(biāo)準(zhǔn)拍賣(mài)機(jī)制提供了基準(zhǔn)。2020年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Wilson和Milgrom曾分別研究了共同價(jià)值拍賣(mài)和關(guān)聯(lián)價(jià)值拍賣(mài)，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)了非同質(zhì)多物品的同步多輪拍賣(mài)機(jī)制，推動(dòng)了拍賣(mài)理論向縱深發(fā)展[7]。在應(yīng)用方面，關(guān)于石油、天然氣、采礦權(quán)和木材采伐權(quán)的拍賣(mài)實(shí)踐研究較多[8-9]。隨著電子商務(wù)的興起，網(wǎng)上拍賣(mài)風(fēng)靡全球，主要有國(guó)外的eBay、Amazon、Yahoo、Sotheby和國(guó)內(nèi)的易趣、阿里、京東等拍賣(mài)網(wǎng)站。因此，大量文獻(xiàn)對(duì)網(wǎng)上拍賣(mài)機(jī)制進(jìn)行了深入探究，豐富了拍賣(mài)理論研究的內(nèi)涵，增強(qiáng)了拍賣(mài)理論研究的實(shí)用價(jià)值。

傭金作為一種常見(jiàn)的用于調(diào)整競(jìng)拍者、賣(mài)家和拍賣(mài)行之間收益分配的拍賣(mài)參數(shù)，一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了相關(guān)的理論研究。根據(jù)經(jīng)濟(jì)模型中變量的分類(lèi)，可以將研究傭金的拍賣(mài)文獻(xiàn)分為外生傭金率文獻(xiàn)和內(nèi)生傭金率文獻(xiàn)兩類(lèi)。

假定傭金率是外生給定的文獻(xiàn)主要有，Greenleaf等[10]將流拍罰金引入帶有傭金的拍賣(mài)模型，發(fā)現(xiàn)拍賣(mài)行采取流拍罰金與較低傭金的組合比僅使用傭金具有帕累托占優(yōu)，并且該策略鼓勵(lì)賣(mài)者設(shè)置較低的保留價(jià)，首次將流拍罰金引入到拍賣(mài)機(jī)制中，但未涉及傭金率的設(shè)置問(wèn)題。Ginsburgh等[11]研究了第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中拍賣(mài)行分別對(duì)買(mǎi)家和賣(mài)家收取傭金時(shí)均衡報(bào)價(jià)和相關(guān)收益及福利的變化情況，發(fā)現(xiàn)較高的傭金率使買(mǎi)賣(mài)雙方的境況都略有惡化，福利變化方向相同。雖然該文將傭金與福利關(guān)聯(lián)起來(lái)，但僅分析了一種拍賣(mài)機(jī)制下的傭金收取情況。王彥等[12]首先研究了在獨(dú)立私人價(jià)值模型和關(guān)聯(lián)價(jià)值模型的框架下，第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)中獲勝的競(jìng)拍者按成交價(jià)的一定比例向拍賣(mài)行支付傭金的情況，發(fā)現(xiàn)競(jìng)拍者的報(bào)價(jià)與傭金率成反向變動(dòng)，但其期望收益與傭金率無(wú)關(guān)，兩種機(jī)制中賣(mài)者的收益相等，收益等價(jià)定理仍然成立。畢志偉等[13]在前期研究[12]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中傭金率對(duì)均衡報(bào)價(jià)和買(mǎi)賣(mài)雙方收益的影響。雖然這兩篇論文將傭金率引入到第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，但僅分析了傭金率對(duì)拍賣(mài)結(jié)果的影響，沒(méi)有將保留價(jià)與之結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析，也未探討如何制定一個(gè)最佳的傭金率。Wang[14]進(jìn)一步研究了第一價(jià)格和第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中當(dāng)傭金率是交易價(jià)格的線(xiàn)性函數(shù)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性的競(jìng)標(biāo)者的均衡報(bào)價(jià)策略，并發(fā)現(xiàn)第二種拍賣(mài)機(jī)制的均衡報(bào)價(jià)策略是主導(dǎo)策略。但在研究第一價(jià)格密封式拍賣(mài)機(jī)制時(shí)，只分析了競(jìng)拍者的私人估價(jià)服從均勻分布這一特殊情況，因此結(jié)論具有一定的局限性。基于此，楊衛(wèi)星等[15-]將Wang對(duì)第一價(jià)格拍賣(mài)中均衡策略的研究推廣到一般分布的情形，并研究了賣(mài)者、拍賣(mài)行和競(jìng)拍者之間的期望收益問(wèn)題，在一定程度上豐富了Wang的研究，但創(chuàng)新性略顯不足。王明喜等[16]同時(shí)分析了第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)中傭金率和保留價(jià)與均衡報(bào)價(jià)和拍賣(mài)參與者期望收益之間的關(guān)系，并推導(dǎo)出最優(yōu)保留價(jià)的表達(dá)式。這篇論文將研究擴(kuò)展到第二價(jià)格密封式拍賣(mài)模型，但沒(méi)有深入分析最優(yōu)傭金率的設(shè)置。楊衛(wèi)星等[17-19]進(jìn)一步將傭金率具體化，分別研究了傭金率與成交價(jià)成反比和線(xiàn)性關(guān)系時(shí)第一價(jià)格和第二價(jià)格密封式拍賣(mài)模型的報(bào)價(jià)策略及收益問(wèn)題，可是均未涉及最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率的設(shè)置問(wèn)題。

假定傭金率是內(nèi)生決定的文獻(xiàn)主要有，Rochet等[20]根據(jù)競(jìng)拍者人數(shù)是外生還是內(nèi)生將拍賣(mài)市場(chǎng)分為單邊市場(chǎng)和雙邊市場(chǎng)，分別探討了兩種市場(chǎng)機(jī)制中賣(mài)方接受的價(jià)格與稅收(或傭金)之間的關(guān)系。Loertscher等[21]從理論上證明了當(dāng)傭金率是內(nèi)生變量時(shí)拍賣(mài)行在實(shí)際拍賣(mài)中使用賣(mài)者定價(jià)且收取變化很小的線(xiàn)性傭金的原因，并將Myerson的最優(yōu)機(jī)制進(jìn)行了一定的推廣。劉樹(shù)林等[22]對(duì)傳統(tǒng)的第一價(jià)格拍賣(mài)模型進(jìn)行了擴(kuò)展，分析了帶有傭金率和保留價(jià)時(shí)拍賣(mài)參與者之間的博弈行為，首次提出最優(yōu)傭金率及其滿(mǎn)足的條件，是國(guó)內(nèi)研究傭金率和保留價(jià)的經(jīng)典之作，為后續(xù)研究提供了新思路。冉茂盛等[23-24]運(yùn)用博弈理論分別研究了網(wǎng)上一口價(jià)拍賣(mài)模型中最優(yōu)一口價(jià)、最優(yōu)傭金率和最優(yōu)定額傭金的設(shè)置問(wèn)題。其將傭金率應(yīng)用于使用臨時(shí)一口價(jià)的網(wǎng)上拍賣(mài)模型，豐富了傭金率的理論和應(yīng)用場(chǎng)景。江朝力等[25]在廣義第一價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制下研究了互聯(lián)網(wǎng)廣告實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)中最優(yōu)傭金率的設(shè)置問(wèn)題，分析了保留價(jià)有無(wú)時(shí)需求方期望支出與傭金率的關(guān)系，進(jìn)一步擴(kuò)展了內(nèi)生傭金率的適用范圍，但僅分析了一種拍賣(mài)機(jī)制。雖然已有學(xué)者[17-18]研究了反比傭金率的存在性及其與拍賣(mài)參與者收益之間的關(guān)系問(wèn)題，但對(duì)反比傭金率的設(shè)置還存在一定的不足，楊衛(wèi)星[17-18]分別在對(duì)賣(mài)者和第二價(jià)格拍賣(mài)中競(jìng)拍者期望收益的推導(dǎo)中遺漏了一些特殊情況，并且均沒(méi)有分析如何設(shè)置最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率。另外，據(jù)2015年修訂的《中華人民共和國(guó)拍賣(mài)法》第四章拍賣(mài)程序第四節(jié)傭金中的第五十六條和五十七條規(guī)定“收取傭金的比例按照同拍賣(mài)成交價(jià)成反比的原則確定”[26]，因此研究拍賣(mài)機(jī)制中反比傭金率的設(shè)置具有一定的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)用價(jià)值。

綜上，本文假設(shè)拍賣(mài)行向獲勝的競(jìng)拍者收取的反比傭金率為c=k/b，采用貝葉斯-納什均衡分析方法，通過(guò)分析第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中競(jìng)拍者的期望收益，從而得到其均衡報(bào)價(jià)策略，并深入探討了反比傭金率的系數(shù)對(duì)競(jìng)拍者的均衡報(bào)價(jià)策略以及拍賣(mài)參與者期望收益的影響，證明了對(duì)于競(jìng)拍者、賣(mài)者和拍賣(mài)行來(lái)說(shuō)，兩種機(jī)制是等價(jià)的，最后討論了最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)的設(shè)置問(wèn)題。完善了現(xiàn)有文獻(xiàn)所提出的拍賣(mài)模型中反比傭金率不能為零的缺陷，進(jìn)一步豐富了收益等價(jià)定理并構(gòu)造出最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足的條件等內(nèi)容，同時(shí)將所得結(jié)論與現(xiàn)有研究文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，證明了帶有反比傭金率的拍賣(mài)模型的可行性，為拍賣(mài)行如何設(shè)置傭金率提供了有力的參考。

一、模型及符號(hào)

(一)模型假設(shè)

賣(mài)者和拍賣(mài)行決定選擇第一價(jià)格或第二價(jià)格密封式拍賣(mài)模式進(jìn)行拍賣(mài)，每個(gè)競(jìng)拍者根據(jù)自己對(duì)拍品的私人價(jià)值進(jìn)行報(bào)價(jià)，其目標(biāo)均是實(shí)現(xiàn)自身期望收益的最大化。將反比傭金率設(shè)置成c=k/b，其中k≥0，b為競(jìng)拍者的報(bào)價(jià)，且b>0。拍賣(mài)行采取單邊傭金制，只有獲勝的競(jìng)拍者按成交價(jià)的反比傭金率c向拍賣(mài)行支付傭金。賣(mài)者將保留價(jià)設(shè)置成r，且向競(jìng)拍者公開(kāi)，因此拍品的最低成交價(jià)應(yīng)為r，即競(jìng)拍者的估價(jià)應(yīng)該滿(mǎn)足v≥(1+k/b)r，那么競(jìng)拍者參與或不參與拍賣(mài)的無(wú)差異最低估價(jià)v*滿(mǎn)足b(v*)=r，又因?yàn)関*=(1+k/b(v*))r，所以推出v*=r+k。因?yàn)楣纼r(jià)低于v*的競(jìng)拍者不能獲得正的收益，所以保留價(jià)r的設(shè)置將其排除在外，這里規(guī)定他們的報(bào)價(jià)為零，即當(dāng)v

(二)符號(hào)說(shuō)明

為了更加清晰地討論，表1系統(tǒng)總結(jié)了文中兩種拍賣(mài)模型使用的相關(guān)符號(hào)及其所代表的含義。此外，筆者使用下標(biāo)F和S來(lái)區(qū)分第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)中的符號(hào)。在整篇文章中，遞減、遞增和單調(diào)性都是弱意義上的[27]。

表1 符號(hào)說(shuō)明

二、均衡報(bào)價(jià)策略

(一)第一價(jià)格密封式拍賣(mài)

在帶有反比傭金率和保留價(jià)的第一價(jià)格密封式拍賣(mài)中，競(jìng)拍者基于期望收益最大化決定他們的報(bào)價(jià)，其均衡報(bào)價(jià)策略由定理1給出。

定理1當(dāng)反比傭金率為c=k/b、保留價(jià)為r時(shí)，第一價(jià)格密封式拍賣(mài)中估價(jià)為v的競(jìng)拍者的對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)策略可以表示為

(1)

其中，v*=r+k，當(dāng)v≥v*時(shí)，bF(v)是v的增函數(shù)，且有bF(v)≤v。

證明：根據(jù)第一價(jià)格密封式拍賣(mài)機(jī)制，當(dāng)某個(gè)競(jìng)拍者的私人估價(jià)為v，而報(bào)價(jià)為B，其余競(jìng)拍者的報(bào)價(jià)策略為bF(v)時(shí)，該競(jìng)拍者贏(yíng)得拍品后獲得的期望收益可以表示為

(2)

在對(duì)稱(chēng)的貝葉斯-納什均衡中，當(dāng)B=bF(v)時(shí)，競(jìng)拍者獲得最大的期望收益，從而競(jìng)拍者的最優(yōu)報(bào)價(jià)策略滿(mǎn)足以下一階條件：

由于b(v*)=r，對(duì)上式簡(jiǎn)化后求解可得到式(1)。

上面證明了競(jìng)拍者選擇均衡報(bào)價(jià)策略的必要條件，充分性的證明方法與王明喜等研究[16]類(lèi)似，這里不再論證。因此，在第一價(jià)格密封式拍賣(mài)機(jī)制中，式(1)是競(jìng)拍者的貝葉斯-納什均衡報(bào)價(jià)策略，也是其最優(yōu)報(bào)價(jià)。再對(duì)式(1)求v的一階偏導(dǎo)數(shù)可知，bF(v)是v的增函數(shù)。

推論1在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，競(jìng)拍者的對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)與保留價(jià)r呈同向變動(dòng)，而與反比傭金率系數(shù)k呈反向變動(dòng)。

證明：對(duì)式(1)分別求r和k的一階偏導(dǎo)數(shù)，可知前者大于零，后者小于零，因此bF(v)關(guān)于r遞增而關(guān)于k遞減。

推論2在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，競(jìng)拍者的期望收益隨保留價(jià)r和反比傭金率系數(shù)k的增大而減小，隨r和k的減小而增大，即均呈反向變動(dòng)。

證明：將式(1)代入式(2)可得競(jìng)拍者的期望收益為

其中，v≥v*且v*=r+k。因?yàn)樵诜植己瘮?shù)F給定的情況下，當(dāng)r或k變大時(shí)，使得v*增大，從而使對(duì)應(yīng)的積分區(qū)間變小，進(jìn)而導(dǎo)致πF的值減小，因此競(jìng)拍者的期望收益與r和k均呈反向變動(dòng)。

推論1和2的結(jié)論分別與劉樹(shù)林等[22]論文中定理1的(ii)和(iii)及王明喜等[16]論文中推論1和2的結(jié)論一致，可見(jiàn)，在第一價(jià)格密封拍賣(mài)中，無(wú)論是傭金率還是某種形式的反比傭金率都會(huì)通過(guò)影響競(jìng)拍者的報(bào)價(jià)，從而影響競(jìng)拍者的期望收益。因此，競(jìng)拍者在參加帶有反比傭金率和保留價(jià)的第一價(jià)格密封式拍賣(mài)時(shí)，其報(bào)價(jià)不僅低于他對(duì)拍品的私人價(jià)值，并且要比沒(méi)有反比傭金率拍賣(mài)時(shí)的報(bào)價(jià)還低，這樣才能盡可能減少受到的損失。

(二)第二價(jià)格密封式拍賣(mài)

在沒(méi)有傭金率和保留價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中，競(jìng)拍者的報(bào)價(jià)等于其私人估價(jià)是弱占優(yōu)策略[29]。王彥等[12]研究得出，在第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中，當(dāng)拍賣(mài)行設(shè)置了傭金率k時(shí)，競(jìng)拍者的最佳報(bào)價(jià)為v/(1+k)，其中v為私人估價(jià)。王明喜等[16]給出了在傭金率c和保留價(jià)r同時(shí)存在的第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中競(jìng)拍者弱占優(yōu)均衡報(bào)價(jià)策略的表達(dá)式，該表達(dá)式與王彥等[12]論文中的式(11)相同，只不過(guò)此時(shí)估價(jià)v≥v*，其中v*=(1+c)r。本文通過(guò)設(shè)定反比傭金率的具體表達(dá)式，探討其結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)的異同。

定理2當(dāng)反比傭金率為c=k/b、保留價(jià)為r時(shí)，第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中競(jìng)拍者的弱占優(yōu)對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)策略為

bS(v)=v-k，v≥v*。

(3)

證明：由于對(duì)稱(chēng)性，設(shè)某個(gè)私人估價(jià)為v的競(jìng)拍者對(duì)應(yīng)的報(bào)價(jià)為bS(t)，其他競(jìng)拍者采用均衡報(bào)價(jià)策略，y表示其余n-1個(gè)競(jìng)拍者中的最高估價(jià)，則他的期望收益為

(4)

顯然，當(dāng)t=v時(shí)期望收益最大，根據(jù)包絡(luò)定理和一階條件有

解得 bS(v)=v-k 證畢。

經(jīng)對(duì)比，當(dāng)v*=v，k=0時(shí)，退化后的式(3)與McAfee等[28]論文中的結(jié)果一致。該結(jié)論與王明喜等[16]文中注記2的描述一致，說(shuō)明本文研究結(jié)論的可靠性。

推論3在帶有反比傭金率c=k/b約束的第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，競(jìng)拍者的對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)與保留價(jià)r和參與競(jìng)拍的人數(shù)均無(wú)關(guān)，而與反比傭金率系數(shù)k呈反向變動(dòng)。

證明：由式(3)可知，均衡報(bào)價(jià)僅由v和k決定，與r和n無(wú)關(guān)，且k的一階偏導(dǎo)數(shù)小于零，因此，bS(v)關(guān)于k遞減，而與保留價(jià)和競(jìng)拍者的人數(shù)均無(wú)關(guān)。

從定理2可知，與不帶傭金率和保留價(jià)的傳統(tǒng)拍賣(mài)模型相比，帶有反比傭金率c=k/b的拍賣(mài)模型中競(jìng)拍者的均衡報(bào)價(jià)降低。這一結(jié)論與直覺(jué)相符，因?yàn)楂@勝的競(jìng)拍者需要向拍賣(mài)行支付傭金，所以競(jìng)拍者報(bào)價(jià)更加謹(jǐn)慎。

推論4在帶有反比傭金率c=k/b約束的第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，競(jìng)拍者的期望收益隨保留價(jià)r和反比傭金率系數(shù)k的增大而減小，隨r和k的減小而增大，即均呈反向變動(dòng)。

證明：將式(3)代入式(4)并化簡(jiǎn)可得，競(jìng)拍者的期望收益為

由于v≥v*，v*=r+k且分布函數(shù)F已知，所以當(dāng)r或k變大時(shí)，使得v*增大，從而使積分區(qū)間變小，導(dǎo)致πS的值減小，因此競(jìng)拍者的期望收益與r和k均呈反向變動(dòng)。該結(jié)論與推論2一致，說(shuō)明無(wú)論第一價(jià)格還是第二價(jià)格拍賣(mài)，當(dāng)保留價(jià)為r、反比傭金率為c=k/b時(shí)，競(jìng)拍者的期望收益與r和k均呈反向變動(dòng)。但與王明喜等[16]論文中推論4的結(jié)論不同，因?yàn)槠渲豢紤]了第二高報(bào)價(jià)大于等于最低估價(jià)v*這一種情況，因而所得結(jié)論具有一定的局限性。本文全面考慮了第二價(jià)格拍賣(mài)可能出現(xiàn)各種情況時(shí)競(jìng)拍者的期望收益。綜上，競(jìng)拍者在參加帶有反比傭金率和保留價(jià)的第二價(jià)格密封式拍賣(mài)時(shí)，報(bào)價(jià)要低于他對(duì)拍品的私人價(jià)值，否則會(huì)導(dǎo)致期望收益下降甚至為負(fù)。

三、期望收益

根據(jù)前面推出的競(jìng)拍者均衡報(bào)價(jià)策略，在帶有反比傭金率約束的第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，當(dāng)保留價(jià)存在時(shí)分別計(jì)算賣(mài)者和拍賣(mài)行獲得的期望收益，發(fā)現(xiàn)收益等價(jià)定理仍然成立。

(一)賣(mài)者的期望收益

證明：在第一價(jià)格密封式拍賣(mài)中，商品流拍后的收益和拍賣(mài)成功時(shí)的收益共同構(gòu)成了賣(mài)者的期望收益，具體為

(5)

將式(1)代入式(6)，對(duì)括號(hào)中的被積函數(shù)應(yīng)用分部積分并化簡(jiǎn)得

(6)

在第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中，商品流拍后的收益、僅有一個(gè)競(jìng)拍者的估價(jià)高于v*時(shí)的收益和至少有兩個(gè)競(jìng)拍者的估價(jià)高于v*時(shí)的收益三部分共同構(gòu)成了賣(mài)者的期望收益，具體表示為

(7)

此結(jié)論與楊衛(wèi)星[17]論文中的結(jié)論不同，雖然其在計(jì)算第一價(jià)格和第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中賣(mài)者的期望收益時(shí)，均忽略了商品流拍的情況，但不影響問(wèn)題的本質(zhì)；二者結(jié)論不同的關(guān)鍵原因是楊衛(wèi)星研究中[17]在計(jì)算第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中賣(mài)者的期望收益時(shí)，沒(méi)有考慮僅有一個(gè)競(jìng)拍者的估價(jià)高于v*的情況，即忽略了式(7)等號(hào)右邊的第二項(xiàng)。

推論5在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，當(dāng)賣(mài)者設(shè)置的保留價(jià)為r，拍品成功售出時(shí)賣(mài)者的期望收益與反比傭金率系數(shù)k呈反向變動(dòng)。

綜上，對(duì)于賣(mài)者而言，當(dāng)他一旦確定了商品的保留價(jià)，就不必糾結(jié)于采用第一價(jià)格還是第二價(jià)格密封式拍賣(mài)，因?yàn)榛诜幢葌蚪鹇始s束的兩種拍賣(mài)機(jī)制給他帶來(lái)的期望收益相等，關(guān)鍵是設(shè)置一個(gè)合理的保留價(jià)。

(二)拍賣(mài)行的期望收益

證明：因?yàn)橹挥挟?dāng)商品成功售出時(shí)拍賣(mài)行才能獲得收益，所以在第一價(jià)格密封式拍賣(mài)中，由式(5)可知，拍賣(mài)行的期望收益為等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)乘以反比傭金率k/b，即為

(8)

同理，在第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中，拍賣(mài)行的期望收益為式(7)等號(hào)右側(cè)后兩項(xiàng)分別乘以對(duì)應(yīng)的反比傭金率k/r和k/b，即為

(9)

如果僅分析存在保留價(jià)的情況，而令反比傭金率為0時(shí)，退化后的定理3和定理4就與Riley等[5]論文中命題1的結(jié)論一致。

推論6在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中，當(dāng)賣(mài)家設(shè)置的保留價(jià)為r時(shí)，拍賣(mài)行的期望收益與反比傭金率系數(shù)k呈同向變動(dòng)。

證明：對(duì)式(8)或式(9)求k的一階偏導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果大于零，所以推論6成立。該結(jié)論與直覺(jué)相符，因?yàn)閏=k/b，所以c隨k的增加而變大，拍賣(mài)行的收益因此而增加，反之亦然。

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：

因此，帶有反比傭金率的第一價(jià)格密封式拍賣(mài)中賣(mài)者和拍賣(mài)行的收益之和等于不帶傭金時(shí)賣(mài)者的期望收益。同理，帶有反比傭金率的第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中賣(mài)者和拍賣(mài)行的收益之和等于不帶傭金時(shí)賣(mài)者的期望收益。由此可以得出推論7。

推論7在第一價(jià)格和第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中，與不帶傭金時(shí)的收益相比，反比傭金率的設(shè)置減少了賣(mài)者的期望收益，該部分全部轉(zhuǎn)化為拍賣(mài)行的期望收益。

綜上所述，定理3和定理4說(shuō)明，在帶有反比傭金率約束且設(shè)置了保留價(jià)的第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)規(guī)則中，賣(mài)者和拍賣(mài)行無(wú)論選擇哪種拍賣(mài)機(jī)制，獲得的期望收益均相等，即著名的收益等價(jià)定理仍然成立。因此，對(duì)于賣(mài)者和拍賣(mài)行來(lái)說(shuō)，不必為選擇哪種拍賣(mài)方式而困擾，關(guān)鍵是設(shè)置恰當(dāng)?shù)谋Ａ魞r(jià)和反比傭金率系數(shù)，將商品以合適的價(jià)格拍出，盡量避免流拍，從而實(shí)現(xiàn)二者的期望收益最大化。

四、最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)的確定

(一)最優(yōu)保留價(jià)

賣(mài)者如果設(shè)置一個(gè)較高的保留價(jià)可能會(huì)使競(jìng)拍者產(chǎn)生反感，甚至直接將部分有意向的競(jìng)拍者拒之門(mén)外；如果設(shè)置一個(gè)較低的保留價(jià)，則對(duì)競(jìng)拍者的約束性較差，失去了保留價(jià)原有的作用，還會(huì)給賣(mài)者帶來(lái)一定的損失。因此對(duì)于賣(mài)者而言，制定一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋Ａ魞r(jià)顯得尤為重要。

定理5基于反比傭金率c=k/b約束的第一價(jià)格和第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中，賣(mài)者設(shè)置的最優(yōu)保留價(jià)r應(yīng)滿(mǎn)足

(10)

證明：根據(jù)賣(mài)者的期望收益表達(dá)式(6)，對(duì)其求r的一階偏導(dǎo)數(shù)，從而得到最優(yōu)保留價(jià)應(yīng)滿(mǎn)足以下一階條件：

(11)

結(jié)合v*=r+k，可以解出式(10)。

上面是最優(yōu)保留價(jià)r存在的必要條件，下面證明r存在的充分條件。對(duì)式(11)進(jìn)一步求r的偏導(dǎo)數(shù)，得到

因?yàn)楫?dāng)r滿(mǎn)足式(10)時(shí)該式小于零，所以賣(mài)者的期望收益取得極大值，從而說(shuō)明此時(shí)的r是賣(mài)者的最優(yōu)保留價(jià)。

推論8最優(yōu)保留價(jià)r隨反比傭金率系數(shù)k的增大而減小，隨k的減小而增大，即呈反向變動(dòng)。

證明： 對(duì)式(10)用隱函數(shù)求導(dǎo)方法可得

因此，r與k的變動(dòng)方向相反。

推論9最優(yōu)保留價(jià)r隨商品流拍價(jià)值v0的增大而增大，隨v0的減小而減小，即呈同向變動(dòng)。

證明：與推論8的證明類(lèi)似，對(duì)式(10)用隱函數(shù)求導(dǎo)方法可得

因此，r與v0的變動(dòng)方向相同。推論9的結(jié)論與實(shí)際相符，對(duì)于賣(mài)者來(lái)說(shuō)，當(dāng)拍品的私人價(jià)值較高時(shí)，他自然會(huì)制定一個(gè)較高的保留價(jià)，反之則制定較低的保留價(jià)。

(二)最優(yōu)反比傭金率系數(shù)

通常傭金問(wèn)題由拍賣(mài)行決定，如果拍賣(mài)行設(shè)置的反比傭金率過(guò)高，可能會(huì)影響競(jìng)拍者和賣(mài)者的積極性，甚至導(dǎo)致競(jìng)拍者惡意降低報(bào)價(jià)；如果設(shè)置的反比傭金率過(guò)低，則對(duì)競(jìng)拍者的約束性較差，降低拍賣(mài)行的期望收益。因此，制定一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆幢葌蚪鹇曙@得尤為重要。

假設(shè)賣(mài)者的保留價(jià)r是外生給定的，根據(jù)拍賣(mài)行的期望收益可以推出最優(yōu)反比傭金率系數(shù)k應(yīng)滿(mǎn)足的條件，如定理6所示。

定理6基于反比傭金率c=k/b約束的第一價(jià)格和第二價(jià)格密封式拍賣(mài)中，拍賣(mài)行設(shè)置的最優(yōu)反比傭金率系數(shù)k應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足

(12)

(13)

證明：根據(jù)式(8)或式(9)，對(duì)其求k的一階偏導(dǎo)數(shù)，從而得到最優(yōu)反比傭金率系數(shù)k應(yīng)滿(mǎn)足以下一階條件：

于是，可以解出式(12)。

上面是k存在的必要條件，下面證明k存在的充分條件。對(duì)上式進(jìn)一步求k的偏導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)后得

顯然，當(dāng)式(13)成立時(shí)上式小于零。

因此，當(dāng)k同時(shí)滿(mǎn)足定理6中的兩個(gè)條件時(shí)，拍賣(mài)行的期望收益取得極大值，從而說(shuō)明此時(shí)的k是拍賣(mài)行的最優(yōu)反比傭金率系數(shù)。

五、算例驗(yàn)證

為了說(shuō)明本文設(shè)置的反比傭金率的可實(shí)施性和所得結(jié)論的正確性，下面通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證。假設(shè)拍賣(mài)市場(chǎng)上只有一個(gè)賣(mài)者、一個(gè)拍賣(mài)行和兩個(gè)競(jìng)拍者競(jìng)拍一件不可分割的拍品，即n=2，商品流拍后的殘值v0=0.15，競(jìng)拍者對(duì)拍品的私人估價(jià)v～U[0，1]，根據(jù)概率論知識(shí)可得F(v)=v，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為f(v)=1。為了簡(jiǎn)化所研究的問(wèn)題，不考慮拍品的生產(chǎn)成本。當(dāng)給定r=0.3時(shí)，根據(jù)式(12)可以求出k=0.386，該值滿(mǎn)足式(13)，可見(jiàn)0.386是最優(yōu)的反比傭金率系數(shù)，因此定理6是可行的。此時(shí)帶有反比傭金率約束的第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)機(jī)制中均衡報(bào)價(jià)和期望收益的結(jié)果如圖1所示。

圖1 兩種機(jī)制下均衡報(bào)價(jià)和期望收益的比較

由圖1可知，當(dāng)根據(jù)給定的保留價(jià)確定出最優(yōu)反比傭金率系數(shù)后，除競(jìng)拍者的最高估價(jià)等于最低估價(jià)v*這種特殊情況外，第一價(jià)格密封式拍賣(mài)模式中獲勝的競(jìng)拍者的均衡報(bào)價(jià)明顯低于第二價(jià)格密封式拍賣(mài)時(shí)的均衡報(bào)價(jià)，即bF(v)

六、結(jié)論與展望

結(jié)合我國(guó)拍賣(mài)法律對(duì)傭金率的規(guī)定，改進(jìn)現(xiàn)有文獻(xiàn)中反比傭金率設(shè)置的不足，完善其部分推導(dǎo)缺陷，并給出了最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件，使帶有反比傭金率的拍賣(mài)模型更加符合實(shí)際。通過(guò)對(duì)競(jìng)拍者、賣(mài)者和拍賣(mài)行之間的博弈行為進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：(1)競(jìng)拍者在兩種拍賣(mài)模式中均存在貝葉斯-納什均衡報(bào)價(jià)策略，且均衡報(bào)價(jià)都低于獲勝者的真實(shí)估價(jià)，說(shuō)明由于反比傭金率和保留價(jià)的存在，競(jìng)拍者的報(bào)價(jià)更加謹(jǐn)慎。尤其是參加第一種拍賣(mài)時(shí)，競(jìng)拍者的報(bào)價(jià)要更低，否則會(huì)導(dǎo)致收益下降甚至為負(fù)。(2)競(jìng)拍者的期望收益與保留價(jià)r和反比傭金率的系數(shù)k均呈反向變動(dòng)，表明r和k對(duì)競(jìng)拍者有消極作用，因此賣(mài)者和拍賣(mài)行應(yīng)該設(shè)置合理的保留價(jià)和反比傭金率系數(shù)，從而激勵(lì)競(jìng)拍者參與拍賣(mài)。(3)經(jīng)比較分析發(fā)現(xiàn)，在具有反比傭金率約束的第一價(jià)格和第二價(jià)格拍賣(mài)模式中賣(mài)者和拍賣(mài)行獲得的期望收益分別相等，說(shuō)明在同時(shí)考慮反比傭金率和保留價(jià)時(shí)著名的收益等價(jià)定理仍然成立。因此，對(duì)于賣(mài)者和拍賣(mài)行來(lái)說(shuō)，不必糾結(jié)于采用何種拍賣(mài)形式，因?yàn)閮煞N拍賣(mài)形式給他們帶來(lái)的期望收益是相等的。(4)通過(guò)分別對(duì)賣(mài)者和拍賣(mài)行的期望收益求r和k的偏導(dǎo)數(shù)，得到最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足的條件；進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn)最優(yōu)保留價(jià)與反比傭金率的系數(shù)呈反向變動(dòng)，而與商品的流拍價(jià)值呈同向變動(dòng)。因此，賣(mài)者一方面應(yīng)合理估計(jì)拍品的私人價(jià)值，另一方面應(yīng)與拍賣(mài)行共同協(xié)商確定出最優(yōu)的保留價(jià)和反比傭金率，避免商品流拍，從而實(shí)現(xiàn)雙贏(yíng)。

本文通過(guò)具體算例驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性，但研究還存在一定的局限性，以下問(wèn)題需要深入探討：進(jìn)一步豐富反比傭金率的表示形式、優(yōu)化結(jié)論使其在其他拍賣(mài)機(jī)制中具有可移植性和健壯性以及拓展最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)傭金率的研究空間。