【摘要】本文以《相遇問(wèn)題》的教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析為例，論述在具體教學(xué)中借助多樣素材幫助學(xué)生理解“相遇問(wèn)題”，通過(guò)問(wèn)題引入，回顧經(jīng)驗(yàn);借助圖形，理解模型;多樣變式，豐富模型等活動(dòng)，借助圖形操作、直觀對(duì)比和反思遷移策略，引導(dǎo)學(xué)生感悟解決問(wèn)題中“兩積之和”的結(jié)構(gòu)，提升解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】《相遇問(wèn)題》 整合素材 深化模型

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）25-0062-04

《相遇問(wèn)題》是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)第四單元《速度時(shí)間路程》的課后補(bǔ)充內(nèi)容。雖然人教版教材中沒(méi)有相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，但五年級(jí)上冊(cè)教材出現(xiàn)了借助《相遇問(wèn)題》的模型來(lái)列方程解決問(wèn)題的習(xí)題。因此，在教學(xué)四年級(jí)上冊(cè)教材《速度時(shí)間路程》一課之后補(bǔ)充相應(yīng)的“相遇問(wèn)題”內(nèi)容，有利于學(xué)生建立相遇問(wèn)題的模型，深入理解速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

一、教材分析

針對(duì)人教版教材相關(guān)習(xí)題的分析，筆者認(rèn)為《相遇問(wèn)題》的教學(xué)可以關(guān)注如下四個(gè)方面。

（一）關(guān)注素材的整合

人教版教材中有大量的好題，雖然這些習(xí)題分散在不同單元、不同年級(jí)，但它們有著相同的結(jié)構(gòu)，即兩積之和的結(jié)構(gòu)。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)中需要運(yùn)用整合教材的方法，把這些習(xí)題按照一定的邏輯進(jìn)行組合，促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題能力的提升。而《相遇問(wèn)題》屬于兩積之和的模型，教材中有著大量類(lèi)似的習(xí)題，教師通過(guò)收集、整合、改編這些素材，有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

（二）注重圖形的表征

浙江省2019年中小學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，四年級(jí)學(xué)生在利用畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題的相關(guān)能力較為薄弱，即很多學(xué)生并不知道如何利用畫(huà)圖表征和分析問(wèn)題。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中給予學(xué)生更多的借助畫(huà)圖分析和表征問(wèn)題的機(jī)會(huì)，會(huì)對(duì)他們提升問(wèn)題解決能力有所幫助。

（三）深化模型的理解

四年級(jí)學(xué)生對(duì)“相遇問(wèn)題”相關(guān)知識(shí)并不陌生，但他們并不明白為什么可以這樣計(jì)算、其中有什么聯(lián)系等。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟模型的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生能夠把新舊模型、正向逆向模型等進(jìn)行聯(lián)系與擴(kuò)展，從而深入理解《相遇問(wèn)題》模型問(wèn)題。

（四）溝通習(xí)題的聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的模型更是如此。如果把相遇問(wèn)題的模型與生活中其他速度類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行巧妙溝通，那么對(duì)學(xué)生理解該模型、提升解決問(wèn)題的能力將會(huì)有較大的幫助。

二、教學(xué)目標(biāo)

基于以上思考，確定教學(xué)目標(biāo)如下。

1.經(jīng)歷解決具體生活問(wèn)題的過(guò)程，借助實(shí)物和圖形的直觀演示和表征，逐步構(gòu)建相遇問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

2.經(jīng)歷從問(wèn)題情境和已有數(shù)量關(guān)系出發(fā)解決新問(wèn)題的過(guò)程，不斷深入感悟和豐滿模型，有效培養(yǎng)學(xué)生利用畫(huà)圖分析解決問(wèn)題的能力，以及培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的遷移能力。

3.經(jīng)歷不斷觀察、對(duì)比、交流與歸納等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生感受生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和模型思想。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）問(wèn)題引入，回顧經(jīng)驗(yàn)

1.口答習(xí)題，回顧關(guān)系

師：同學(xué)們，這里有幾個(gè)問(wèn)題，你們能解決嗎？（學(xué)生逐一回答）

課件出示：

[（1）小明每分鐘步行80米，5分鐘行多少米？

（2）一輛汽車(chē)每小時(shí)開(kāi)40千米，6小時(shí)共開(kāi)多少千米？

（3）火箭速度15千米/時(shí)

師：剛才我們解決了這幾個(gè)問(wèn)題，那么，解題的過(guò)程中你們又是怎么想的呢？

生1：比如第一題，先找到小明每分鐘行的路程，再乘時(shí)間，就可以算出路程。

生2：就是利用“速度×?xí)r間=路程”來(lái)解決。

師：是的，我們都是利用了“速度×?xí)r間=路程”這個(gè)關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。

2.溝通數(shù)形，回顧線段圖

師：我們?cè)賮?lái)看，第一題可以用這個(gè)圖來(lái)表示嗎？

課件變化（隱去第三題的相關(guān)信息）：

（1）小明每分鐘步行80米，5分鐘行多少米？

生1：可以的。這里的一小段表示小明每分鐘行80米，有這樣的5段就是5分鐘，可以求出一共行走的路程。

師：很好。那第二題呢，可以嗎？

（2）一輛汽車(chē)每小時(shí)開(kāi)40千米，6小時(shí)共開(kāi)多少千米？

生2：不行，因?yàn)轭}目中提出開(kāi)車(chē)6小時(shí)，而這里只有5段，不能表示。

生3：也可以，只要增加一段就可以了。這一段就表示每小時(shí)行40千米，求一共行多少千米？

40千米/時(shí)

一共行多少千米？

師：說(shuō)得很清楚，看來(lái)在解決問(wèn)題時(shí)，你們已經(jīng)學(xué)會(huì)用線段圖來(lái)表示題目的意思。

【評(píng)析】這三道口答題雖然簡(jiǎn)單，但能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有效地回顧利用“速度×?xí)r間=路程”這個(gè)關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，以及利用線段圖表征問(wèn)題等經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。同時(shí)，通過(guò)討論畫(huà)圖為后續(xù)的畫(huà)線段圖打下基礎(chǔ)。

（二）借助圖形，理解模型

1.討論習(xí)題，解讀信息

師：剛才我們研究的是一個(gè)人、一輛車(chē)行駛的問(wèn)題，現(xiàn)在我們變一下，變成兩個(gè)人。

課件出示：小明與小紅從兩家同時(shí)出發(fā)，相向而行，小明每分鐘行80米，小紅每分鐘行60米，4分鐘后相遇，他們兩家相距多少米？

師：仔細(xì)觀察一下，問(wèn)題中有哪些地方需要注意的？

生1：他們是相向而行。

生2：他們同時(shí)出發(fā)。

生3：?jiǎn)栴}是要求兩地相距多少米。

……

師：好的。我們一起來(lái)看一下動(dòng)畫(huà)。（課件播放動(dòng)畫(huà)）

2.畫(huà)線段圖，解決問(wèn)題

師：對(duì)這樣的問(wèn)題你能用線段圖來(lái)表示嗎？（生：可以。）請(qǐng)你們先嘗試畫(huà)一畫(huà)圖，然后列式解決問(wèn)題。（學(xué)生操作）

3.數(shù)形結(jié)合，理解模型

師：老師收集了幾種方法，我們一起來(lái)看一下。

展示一：

小明：80[×]4=320（米）

小紅：60[×]4=240（米）

一共：320+240=560（米）

師：請(qǐng)介紹一下自己的想法。

生1：小明和小紅都走了4分鐘，所以給兩人都畫(huà)了4段。小明的速度是80米/分，小紅的速度是60米/分，所以用80乘4就是小明的路程，60乘4是小紅的路程，兩個(gè)路程相加得出總的路程。

展示二：

（80+60）[×]4=560（米）

生2：我是先求出小明和小紅一分鐘走的路程，然后用路程去乘他們行走的時(shí)間。

師：誰(shuí)能把他的意思用畫(huà)圖的方式表示出來(lái)。

生3：左邊一段是小明每分鐘行的，右邊一段是小紅每分鐘行的。他們相加就是1分鐘共行的路程，一共有這樣的四組線段，所以用（80+60）×4=560（米）。

師：是的，這樣連一連，可以讓我們看得更加清楚。

展示三：

師：為了讓大家更容易理解，老師把這樣的圖“請(qǐng)”到黑板上來(lái)。誰(shuí)愿意再來(lái)解釋一下這個(gè)圖是什么意思？

生4：這里的紅色一段就是小明的速度，黃色一段是小紅的速度，把它們加起來(lái)就是一分鐘共行的路程。（引導(dǎo)學(xué)生移動(dòng)線段，把圖整理如下）

4.對(duì)比關(guān)系，提煉模型

師：同學(xué)們，上面的一組線段是不是更加清楚了？那么這一組線段表示的是什么？

生5：一組線段表示小明和小紅每1分鐘共行的路程，四組線段表示他們一共行了4分鐘。

師：那是不是利用了“速度×?xí)r間=路程”這個(gè)關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題？（生：是的。）這里的80+60還叫速度嗎？

生1：不是速度了，可以叫速度和。

師：是的。把兩個(gè)人的速度合在一起就可以叫速度和。它們的關(guān)系是怎樣的？

生2：速度和×?xí)r間=總路程。

師：剛才我們用兩種方法都求出了總路程，那么他們之間又有什么不同的地方呢？讓我們?cè)賮?lái)回顧一下。

課件出示：

師：是的。第一種方法是用“速度×?xí)r間”，算出小明和小紅的路程;而第二算法是先求兩人的速度和，再用速度和去乘共同行駛的時(shí)間，最后算總路程。

【評(píng)析】“相遇問(wèn)題”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，很多學(xué)生還會(huì)運(yùn)用“速度和乘時(shí)間”求總路程。因此，教師要把教學(xué)重點(diǎn)放在理解和溝通“速度和×?xí)r間=路程”和原來(lái)關(guān)系之間的聯(lián)系和區(qū)別。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生圍繞線段說(shuō)一說(shuō)、連一連、擺一擺等活動(dòng)，從多種角度表征和理解速度和，同時(shí)開(kāi)展“速度和×?xí)r間=路程”和“速度×?xí)r間=路程”的討論與比較，不斷擴(kuò)展解決問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，使學(xué)生深入理解相遇問(wèn)題模型。

（三）多樣變式，豐富模型

1.相反變式，感悟模型

師：接下來(lái)，我們繼續(xù)看大屏幕，題目要變一下。

課件出示：

師：想一想，上面的哪個(gè)問(wèn)題也可以用這個(gè)線段圖來(lái)表示？同桌可以交流一下。

師：現(xiàn)在老師來(lái)做個(gè)調(diào)查，認(rèn)為第一個(gè)可以的請(qǐng)舉手，第二個(gè)呢？（學(xué)生舉手）誰(shuí)愿意來(lái)說(shuō)一說(shuō)可以怎么表示？

生1：我認(rèn)為第一個(gè)可以，第二個(gè)不可以。因?yàn)榈谝粋€(gè)是相向而行，第二個(gè)是背向而行。

生2：我覺(jué)得第二個(gè)也可以，雖然是背向而行，但題目中講了是從同一個(gè)地點(diǎn)出發(fā)的。

師：如果背向而行可以表示上面的問(wèn)題，那么能用“速度和×?xí)r間=總路程”來(lái)解決嗎？

生3：可以的。因?yàn)樽筮呥@一段就表示80米，右邊這一段是60米，把他們相加就是1分鐘行的路程，這樣一共有5分鐘，所以可以用（80+60）×5=700（米）。

課件出示：

師：是的。前面是相向而行（板書(shū)），這里是背向面行，雖然行走的方向不同，但他們解決問(wèn)題的方法卻是相同的。

【評(píng)析】學(xué)習(xí)完經(jīng)典習(xí)題之后，筆者設(shè)計(jì)了一些反向變式，圍繞《相背問(wèn)題》的討論，讓學(xué)生再次感受“速度和×?xí)r間=路程”的關(guān)系，更重要的是讓學(xué)生感受到：原來(lái)這樣的相背問(wèn)題可以運(yùn)用類(lèi)似的方法來(lái)解決，從而擴(kuò)充《相遇問(wèn)題》的內(nèi)涵。

2.公式變式，全面理解

師：這幅圖的意思你們看懂了嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它表示的是什么問(wèn)題呢？

課件出示：

生1：甲車(chē)每小時(shí)行60千米，乙車(chē)每小時(shí)行50千米，兩地相距440千米，他們從兩地出發(fā)幾小時(shí)后相遇？

師：非常好！我們一起來(lái)看課件。

課件出示：

（1）A、B兩地相距440千米，甲乙兩車(chē)同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。甲車(chē)每小時(shí)行60千米，乙每小時(shí)行50千米。幾小時(shí)后兩車(chē)相遇？

（2）小明和小紅兩家相距360米，他們同時(shí)出發(fā)，相向而行，小明每分鐘走70米，出發(fā)3分鐘后相遇，小紅每分鐘走幾米？

師：上面兩題你們能畫(huà)出線段圖并解決問(wèn)題嗎？（學(xué)生獨(dú)立操作，展示交流。）

師：我們一起來(lái)看看這個(gè)同學(xué)的方法。

展示一：

師：他的方法正確嗎？（正確）

展示二：

師：第二題，請(qǐng)大家仔細(xì)看一下，問(wèn)題出在哪里？

生1：150是小紅3分鐘走的路程，所以150還需要除以3。

生2：這里的150是指上面的一整段，而我們要求的是小紅的速度，所以還需要把150平均分成3段。

展示三：

師：再來(lái)看看剛才這兩種算法，想一想，與我們今天學(xué)習(xí)的方法一樣嗎？

生1：第一種方法是求時(shí)間，第二種方法是求另一個(gè)速度。

生2：第一種用總路程÷速度和=時(shí)間，第二種先用總路程÷時(shí)間=速度和，再用速度和減去另一個(gè)速度。

師：其實(shí)你們說(shuō)得都很有道理。雖然隨著條件和問(wèn)題的變化，我們想到了“總路程÷時(shí)間=速度和”和“總路程÷速度和=時(shí)間”這兩個(gè)關(guān)系，但它們都是建立在前面關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考和解決問(wèn)題。

【評(píng)析】上面兩道習(xí)題是相遇問(wèn)題公式的變式，通過(guò)解決問(wèn)題，學(xué)生可以感悟與提煉不同習(xí)題背后的數(shù)量關(guān)系。同時(shí)借助對(duì)比與交流，使學(xué)生了解到公式之間有著緊密的聯(lián)系，它們都是由“速度和×?xí)r間=路程”演變而來(lái)，幫助學(xué)生理解不同數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系與區(qū)別，促進(jìn)學(xué)生全面深入地理解相遇問(wèn)題模型。

3.遷移變式，拓展模型

師：同學(xué)們，知道今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么嗎？

生1：行程問(wèn)題。

生2：相遇問(wèn)題。

師：是的，我們今天學(xué)習(xí)的就是行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題。剛才我們用畫(huà)圖的方法解決了很多行程的問(wèn)題，那么，生活中還有哪些問(wèn)題也可以用這樣的方法來(lái)解決呢？

課件出示：

師：這是挖隧道問(wèn)題，可以用畫(huà)圖的方法來(lái)解決嗎？

師：其實(shí)生活還有很多問(wèn)題，比如兩個(gè)人跳繩、兩個(gè)人打字等問(wèn)題都可以用這樣的方法來(lái)解決。

課件出示：

【評(píng)析】在課堂結(jié)束環(huán)節(jié)揭題，其實(shí)就是讓學(xué)生在慢慢解決問(wèn)題的過(guò)程中，逐步滲透擴(kuò)充相遇問(wèn)題的模型，促使學(xué)生有效地理解。把相遇問(wèn)題的方法遷移到生活中的其他速度類(lèi)問(wèn)題，有效溝通了不同習(xí)題之間的聯(lián)系，使得學(xué)生再次感悟“速度和×?xí)r間=總數(shù)”這種模型，也為今后學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題打下基礎(chǔ)，有效提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

雖然“相遇問(wèn)題”并非四年級(jí)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，但教師要善于整合教材資源，合理設(shè)計(jì)內(nèi)容來(lái)提升解決問(wèn)題教學(xué)的質(zhì)量。解決問(wèn)題本身也是幫助學(xué)生感悟模型思想的主要途徑之一，隨著課程改革的深入，越來(lái)越多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)思想的感悟與運(yùn)用，因此，教師在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)中要善于收集、整理、對(duì)比和運(yùn)用材料，通過(guò)對(duì)比、溝通和遷移感悟解決問(wèn)題的變與不變，有效提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

注：本文作者參加2019年杭州市小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩評(píng)比活動(dòng)中榮獲一等獎(jiǎng)。

【作者簡(jiǎn)介】孔忠偉（1984— ），浙江杭州人，大學(xué)本科學(xué)歷，高級(jí)教師，區(qū)兼職教研員，區(qū)名師導(dǎo)航站站長(zhǎng)，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 楊 春）