摘? 要：隨著大數(shù)據(jù)、云計(jì)算和人工智能的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)越來越重要. 為了提升初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)及創(chuàng)新精神，廣州市教育研究院于2014年開始組織“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)——廣州市初中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新作品評比”活動(dòng)，引導(dǎo)初中生開展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題的研究性學(xué)習(xí)活動(dòng). 學(xué)生研究作品視角新穎、獨(dú)特，頗具實(shí)用性、時(shí)代性、地域特色和推廣價(jià)值，還有學(xué)生的研究作品拿到了國家專利. 活動(dòng)對改變教師的教學(xué)觀念、提升專業(yè)素養(yǎng)都起到了較好作用.

關(guān)鍵詞：玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)應(yīng)用;創(chuàng)新精神

當(dāng)今世界正經(jīng)歷百年未有之大變局，我國發(fā)展面臨的國內(nèi)外環(huán)境發(fā)生深刻、復(fù)雜變化，我國“十四五”時(shí)期及更長時(shí)期的發(fā)展對加快科技創(chuàng)新提出了更為迫切的要求. 面對挑戰(zhàn)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)“教與學(xué)”方式亟需改變. 為此，筆者結(jié)合教研工作，組織了“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)——廣州市初中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新作品評比”（以下簡稱“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”）活動(dòng)，在全市初中學(xué)生中組織開展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的主題研究活動(dòng)，嘗試在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過綜合實(shí)踐活動(dòng)探索培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的新途徑.

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)本著“快樂參與，玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”理念，每年在全市的初中學(xué)生中舉行，學(xué)生自由組合成研究團(tuán)隊(duì)，以團(tuán)隊(duì)形式圍繞數(shù)學(xué)知識開展研究，形成研究報(bào)告. 經(jīng)過各區(qū)初選后，最終進(jìn)行市級評比展示. 在進(jìn)行市級評比時(shí)，每個(gè)研究團(tuán)隊(duì)都要經(jīng)歷提交研究報(bào)告、現(xiàn)場展示和現(xiàn)場答辯三個(gè)環(huán)節(jié).

一、活動(dòng)的育人價(jià)值

經(jīng)過長期的初中數(shù)學(xué)教研工作，筆者發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)課等同于解題課，教師著重研究解題技巧，重點(diǎn)教學(xué)生如何套用模型解題. 優(yōu)等生和中等生忙于“刷題”，將數(shù)學(xué)作為考試拿分的重要科目;學(xué)困生則懼怕數(shù)學(xué)，更有甚者完全放棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 很多學(xué)生不明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的和意義，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常停留在紙上談兵、機(jī)械套用、思路僵化的狀態(tài). 有些學(xué)生缺乏基本的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，對知識不求甚解，不清楚數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，沒有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中積累一定的研究問題的基本方法、經(jīng)驗(yàn)和策略，極少在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，無法感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而造成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力不足，對后續(xù)學(xué)習(xí)和持續(xù)發(fā)展造成了極大的阻礙.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)正是為了改善這種局面，發(fā)揮其應(yīng)有的育人價(jià)值，恢復(fù)數(shù)學(xué)教育的本來面目.

1. 發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”借助生活化、情境化的“數(shù)學(xué)味”的研究活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，善于用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的一些問題，體會(huì)數(shù)學(xué)的作用，并由此積累一些研究問題的方法和經(jīng)驗(yàn).

在開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)時(shí)，學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)去發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)去分析問題和解決問題，進(jìn)而會(huì)用數(shù)學(xué)的語言論述、表達(dá)問題，形成結(jié)題報(bào)告. 整個(gè)研究活動(dòng)需要綜合運(yùn)用這六大核心素養(yǎng)，提升學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

2. 落實(shí)“五育并舉”的育人要求

按照全國教育大會(huì)提出的人才培養(yǎng)需要德智體美勞“五育并舉”全面發(fā)展的要求，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)緊密聯(lián)系實(shí)際生活，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分體現(xiàn)立德樹人鮮明導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)研究的過程性和展示結(jié)果的立體性，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)在尋找有意義、有價(jià)值的研究課題的過程中培養(yǎng)了學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感和創(chuàng)新精神. 該研究有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)、務(wù)實(shí)求真的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神. 研究過程真實(shí)而曲折，有助于培養(yǎng)學(xué)生積極探索、鍥而不舍的科學(xué)精神. 活動(dòng)設(shè)置的現(xiàn)場展示與答辯環(huán)節(jié)則培養(yǎng)了學(xué)生的溝通、合作和表達(dá)能力. 綜上所述，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生從“做研究”到“做人做事”，在培養(yǎng)學(xué)生形成正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀等方面發(fā)揮著獨(dú)特的作用.

二、活動(dòng)的特點(diǎn)

1. 彰顯學(xué)科特征，鼓勵(lì)跨學(xué)科融合

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”并非通常意義上的綜合實(shí)踐活動(dòng)，而是突出數(shù)學(xué)學(xué)科性，讓學(xué)生在真實(shí)的情境中研究數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)涵的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，使學(xué)生真正感受數(shù)學(xué)的魅力和作用. 其精髓是讓學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)、計(jì)劃并開展研究，其核心是“發(fā)現(xiàn)問題—設(shè)計(jì)研究方案—利用數(shù)學(xué)及相關(guān)知識實(shí)施方案—將研究過程與結(jié)論傳達(dá)給大家”. 由于真實(shí)情境中往往融合了數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)等，因此鼓勵(lì)跨學(xué)科融合. 學(xué)生通過對跨學(xué)科數(shù)學(xué)問題的探究，獲得跨學(xué)科的視野和思維，在自主、合作、探究等活動(dòng)過程中親身體驗(yàn)與數(shù)學(xué)相關(guān)的知識與技能，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的參與感和社會(huì)責(zé)任感.

因此，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)并不指定研究課題，而是提供了一些選題方向和研究案例，讓師生既有具體可供參考的范本，又有自由發(fā)揮的空間. 其中，提供的選題方向主要有：從數(shù)學(xué)到生活，如攝影與黃金分割;從生活到數(shù)學(xué)，如雨刷問題——利用二次函數(shù)進(jìn)行研究;純數(shù)學(xué)研究，如教材中的數(shù)學(xué)活動(dòng)等. 創(chuàng)新作品的研究范圍可以關(guān)注基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的以下領(lǐng)域：工程應(yīng)用，包括計(jì)算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)、通訊、信息及數(shù)碼科技等;商業(yè)應(yīng)用，包括經(jīng)濟(jì)、金融、物流、管理、決策、運(yùn)籌學(xué)、交通運(yùn)輸?shù)?科學(xué)應(yīng)用，包括醫(yī)藥、物理、化學(xué)、生物、環(huán)境及健康問題;創(chuàng)新設(shè)計(jì)，包括圖形設(shè)計(jì)、游戲等.

2. 走大眾數(shù)學(xué)之路，立足基礎(chǔ)求創(chuàng)新

在初中學(xué)生中開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)，最大的難點(diǎn)是如何憑借活動(dòng)本身的魅力吸引初中學(xué)生廣泛參與. 怎樣發(fā)現(xiàn)、選擇合適的課題來進(jìn)行研究？部分初中學(xué)生比較“懼怕”數(shù)學(xué)，鮮有自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的經(jīng)驗(yàn)，難以提出有價(jià)值而又適合初中學(xué)段開展的數(shù)學(xué)研究問題. 即便找到課題，如果選題過大、過難，會(huì)導(dǎo)致只有優(yōu)等生才能做研究，曲高和寡，達(dá)不到大面積提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和方法的目的;如果選題太小，又失去了研究的意義，缺乏挑戰(zhàn)性，難以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

鑒于此，為了最大限度地吸引學(xué)生參與，從活動(dòng)的命名到活動(dòng)的宗旨都充分體現(xiàn)了走“大眾數(shù)學(xué)”之路，鼓勵(lì)學(xué)生廣泛參與，既提供具體可參照、可操作的案例和指引，又給予極大的自由度以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力. 考慮到初中學(xué)生所學(xué)的知識有限，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)特別強(qiáng)調(diào)選材應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，研究背景貼近學(xué)生生活，鼓勵(lì)學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識開展研究，肯定一切符合學(xué)生的認(rèn)知水平、腳踏實(shí)地、真實(shí)參與的研究. 不提倡為了追求結(jié)果而讓學(xué)生超前學(xué)習(xí)更高階、超出學(xué)生理解水平的數(shù)學(xué)知識. 當(dāng)然，學(xué)生在研究過程中需要補(bǔ)充的各學(xué)科知識，在學(xué)生可接受的前提下，可以由指導(dǎo)教師安排講授.

3. 以學(xué)生為主體，強(qiáng)調(diào)過程、評價(jià)的多元化

在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，學(xué)生是主體，教師是指導(dǎo)者，教師需要把握指導(dǎo)學(xué)生的“度”，不能為了得到優(yōu)秀成果而越俎代庖，替代學(xué)生進(jìn)行研究，而應(yīng)該在學(xué)生需要補(bǔ)充數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識或陷入困境的時(shí)候給出有效、適度的指導(dǎo). 如果教師干涉太多，學(xué)生就容易喪失獨(dú)立思考的能力，導(dǎo)致失去創(chuàng)造的動(dòng)力和欲望. 唯有學(xué)生主動(dòng)參與，教師有效指導(dǎo)，才能不斷挖掘和激發(fā)學(xué)生的潛能.

由于初中學(xué)段學(xué)科及學(xué)生心智水平的局限性，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)并不過分追求研究的結(jié)論，要求呈現(xiàn)研究過程，實(shí)行多元化評價(jià)，立足于學(xué)生在參與過程中的研究態(tài)度、問題意識和思考能力的提升，故每個(gè)學(xué)生研究團(tuán)隊(duì)要經(jīng)歷提交研究報(bào)告、現(xiàn)場展示和現(xiàn)場答辯三個(gè)環(huán)節(jié). 前兩個(gè)環(huán)節(jié)展示研究的背景、過程、研究方法與研究成果，分享參與研究的收獲和體會(huì)，很好地展現(xiàn)學(xué)生的綜合素質(zhì)和對所研究問題的理解程度. 答辯環(huán)節(jié)則是教師與學(xué)生的激情對話和思維碰撞，評委老師在先期評審、交流、研討的基礎(chǔ)上，圍繞著課題研究提問，進(jìn)而給予合理的建議，將研究引入更高層次，為學(xué)生后續(xù)完善課題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

三、活動(dòng)的成效

在初中階段開展學(xué)生的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，鮮有大面積參與且獲得成功的先例，而在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，師生參與熱情高.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)積累了大量適合在初中階段開展的以數(shù)學(xué)為核心的課題研究案例，為初中階段開展數(shù)學(xué)研究提供了可以仿效學(xué)習(xí)的資源. 從活動(dòng)情況來看，傳統(tǒng)名校表現(xiàn)亮眼，但最大的驚喜來自普通學(xué)校的脫穎而出. 難能可貴的是，普通學(xué)校所研究的課題全部來自學(xué)生的自主選擇，學(xué)生運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行研究，從研究到展示、答辯，每個(gè)作品都極具沖擊力和說服力，使得參與其中的師生真正意識到原來初中階段也可以“玩”數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)不再是高高在上的，而是變得有趣、有用、平易近人，只需要帶著“慧眼”用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原來就在身邊，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生活中的問題. 目前，活動(dòng)初見成效，顯示出了強(qiáng)大的生命力和吸引力.

1. 學(xué)生層面

（1）用數(shù)學(xué)眼光看世界.

① 激發(fā)興趣，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值.

愛玩是初中學(xué)生的天性，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)將學(xué)生從枯燥乏味的數(shù)學(xué)練習(xí)中解放出來. 隨著研究活動(dòng)的開展，學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，雖歷經(jīng)艱險(xiǎn)但樂此不疲，在“玩”中學(xué)到數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題使得學(xué)生看到了數(shù)學(xué)的力量，更有了研究的熱情. 學(xué)生體驗(yàn)到自己的研究與真實(shí)的社會(huì)息息相關(guān)，付出的努力是有意義、有回報(bào)的，自然而然地更加重視自己所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識. 學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，使生活變得更便利、更有條理、更有意義，這才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，從而真實(shí)感受到數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)生活中的必要性和重要性，“玩”出了數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值.

② 學(xué)會(huì)了發(fā)現(xiàn)和提出問題，形成了選取課題的經(jīng)驗(yàn)和方法.

選擇和確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)难芯空n題，是做好研究的前提. 但對于初中學(xué)生而言，研究課題從何而來？怎樣才能找到既有“數(shù)學(xué)味”又有意義的課題呢？應(yīng)當(dāng)在哪里挖掘？事實(shí)證明，學(xué)生在自己的所見所聞中尋找，研究發(fā)生在身邊的事，則興趣更濃，參與度更高.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察自然界中的現(xiàn)象、日常學(xué)習(xí)生活和社會(huì)生活，養(yǎng)成不斷提問的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，掌握思考問題的方法，形成尋找研究課題的基本路徑，即“觀察身邊事—建立問題庫—初選問題—精選問題—確定研究課題”.

例如，在課題“用數(shù)學(xué)的眼光看‘打折’”中，教師先指導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的各種打折現(xiàn)象，一位學(xué)生觀察到商場里有形形色色的打折標(biāo)語，對這件事感興趣，馬上將想到的問題記錄下來，通過這樣的方式慢慢建立起自己的問題庫. 小組研討時(shí)，大家從各自的問題庫中初步篩選，找出更感興趣的、可“玩”性更高的問題. 初選出兩三個(gè)問題后，再把問題利用思維導(dǎo)圖或“五何問題法”進(jìn)行多角度剖析，幫助學(xué)生有序地發(fā)散思維，引導(dǎo)學(xué)生從事件的起因、背景、影響等方面進(jìn)行思考. 利用思維導(dǎo)圖可以羅列出如下部分子問題：商家為什么要進(jìn)行打折促銷？打折商品質(zhì)量也有打折嗎？哪些商家更喜歡進(jìn)行打折促銷？不同的打折形式，哪種更實(shí)惠？折扣與理性消費(fèi)有什么關(guān)系？針對“是何、為何、如何、若何、由何”，把打折現(xiàn)象分解成以下五個(gè)維度：會(huì)出現(xiàn)什么形式的打折？為什么會(huì)出現(xiàn)打折現(xiàn)象？如何買到折扣最低的商品？如果選購了某折扣，真的能省下錢嗎？是什么原因使商家能做到低折扣下盈利？通過對這些子問題的分析，容易得出“打折”這個(gè)主題價(jià)值很高. 如此操作，將事件剖析得更到位，精選出最有研究價(jià)值的問題，最終形成研究課題.

③ 形成了初中學(xué)生開展數(shù)學(xué)研究的課題資源.

從已有的研究課題來看，學(xué)生能從不同的角度挖掘現(xiàn)實(shí)世界與所學(xué)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，提出了一系列具有社會(huì)意義和實(shí)用價(jià)值的研究課題，選題頗具匠心，呈現(xiàn)出范圍廣、來源多、操作性強(qiáng)，極具創(chuàng)意和趣味性，貼近學(xué)生日常學(xué)習(xí)和生活的特點(diǎn). 特別地，還具有前瞻性和商業(yè)推廣價(jià)值. 概括起來，題材來源主要可以分為以下三類.

第一類，動(dòng)手制作模型或與計(jì)算機(jī)等前沿科學(xué)相結(jié)合的數(shù)學(xué)活動(dòng). 初中學(xué)生對于動(dòng)手操作、利用計(jì)算機(jī)軟件等方式開展數(shù)學(xué)研究表現(xiàn)出極大的興趣. 此類活動(dòng)能提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)同感，具有時(shí)代感，會(huì)使學(xué)生在研究中非常主動(dòng)地親近數(shù)學(xué)，這類選題適合面向大部分學(xué)生推廣. 例如，在課題“A4立體折紙?jiān)煨汀敝?，學(xué)生通過折紙活動(dòng)進(jìn)行鑲嵌、空間填充的探究. 在課題“元胞自動(dòng)機(jī)方法應(yīng)用于模擬植物的算法與實(shí)驗(yàn)研究”中，將算法編程技術(shù)應(yīng)用于生物. 在“神奇的數(shù)學(xué)光影”中，利用數(shù)學(xué)畫圖軟件和三角函數(shù)知識畫出各種美麗的圖案.

第二類，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際生活中的問題. 這類題材所占比例最大，學(xué)生從日常生活中提煉出感興趣的研究課題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系. 例如，在課題“書包探秘、樂亦無窮”中，從常見的“背包病”入手，運(yùn)用三角函數(shù)知識建立數(shù)學(xué)模型，提出肩帶長度的“黃金三角”結(jié)論，使肩背受力更加均衡、舒適. 在課題“關(guān)于廣州市初中回收舊計(jì)算器的研究”中，學(xué)生以獨(dú)到敏銳的眼光觀察到身邊同學(xué)使用計(jì)算器所造成的環(huán)保問題，體現(xiàn)了學(xué)生關(guān)注課題的社會(huì)意義與實(shí)用價(jià)值. 在課題“允許車輛掉頭（亦可直行）的合適車道”中，通過觀察道路上掉頭車道的不同安排提出問題，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步研究其合理性.

第三類，對教材練習(xí)題或數(shù)學(xué)活動(dòng)的拓展、深化.該類選題往往立足于教材，但又高于教材. 例如，由廣州地域特色的滿洲窗引發(fā)的研究“探究滿洲窗中的一類幾何性質(zhì)與應(yīng)用”，學(xué)生從生活中的滿洲窗抽象出各種幾何圖形，然后對圖形進(jìn)行了分類，深入研究角之間的關(guān)系. 課題“探究多邊形剪拼成正方形數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)”“由一道練習(xí)題聯(lián)想到的最短路徑問題”則是從人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）八年級下冊第十七章“勾股定理”復(fù)習(xí)題中的第12題受到啟發(fā)，開展針對立體圖形表面最短路徑問題的研究. 課題“正多邊形的折法研究”從人教版教材八年級下冊第十八章“平行四邊形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)“折紙做60°，30°，15°的角”研究深化而來，課題在研究用矩形紙片折疊30°角的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮是否能折疊得到其他角度，再從中得到正多邊形. 另外，課題“巧用幾何方法解決不等式問題”“二進(jìn)制的奧秘”等均來源于教材.

（2）用數(shù)學(xué)思維思考世界.

通過“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)，學(xué)生掌握了開展課題研究的一般方法，學(xué)會(huì)了統(tǒng)籌、合理規(guī)劃研究路徑，科學(xué)篩選研究課題，經(jīng)歷了通過測量、觀察、收集和組織數(shù)據(jù)、控制變量，建立數(shù)學(xué)模型，估計(jì)、試驗(yàn)、作圖、推理、數(shù)據(jù)解釋、做出假說、模型認(rèn)可等完整的研究過程，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等對研究內(nèi)容進(jìn)行理性分析與思考;通過研究活動(dòng)，學(xué)生還根據(jù)需要自發(fā)學(xué)習(xí)了很多新的知識，體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的作用，深刻感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和聯(lián)系性，形成了嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的思維習(xí)慣，逐步學(xué)會(huì)定性思考、定量研究，把握辯證地思考問題，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

例如，在課題“話費(fèi)·水電費(fèi)·分段收費(fèi)”及“關(guān)于拱橋和平橋承受力大小的研究”中，學(xué)生通過已掌握的知識合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，借助函數(shù)思想嘗試解決問題，在研究過程中，學(xué)生通過廣泛收集數(shù)據(jù)、調(diào)查問卷和實(shí)地探究，在力所能及的情況下對解決方案進(jìn)行擬定并多次修改. 在課題“熠熠生輝的出入相補(bǔ)”和“一元一次不等式在購物中的應(yīng)用”的研究中，學(xué)生通過對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入剖析，提出全新思考視角，使得教材中的數(shù)學(xué)研究在數(shù)學(xué)思想方法上得到了進(jìn)一步的躍升.

（3）用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)需要學(xué)生撰寫研究報(bào)告，這個(gè)環(huán)節(jié)使得學(xué)生掌握了寫研究報(bào)告的基本格式規(guī)范，在日常教學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)表達(dá)在報(bào)告撰寫中得到了很好的鍛煉. 學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)問題的描述、論證過程，學(xué)會(huì)了科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、言簡意賅的表達(dá)方式，而展示和答辯則鍛煉了學(xué)生溝通和口頭語言表達(dá)能力.

2. 教師層面

眾所周知，由于常年積累的思維定勢和固有成見，成年人改變觀念的難度較大，即使可以接受新觀念，但缺乏持久、具有可操作性的做法和實(shí)踐動(dòng)力. 而“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)以學(xué)生鮮活靈動(dòng)的創(chuàng)造性活動(dòng)震撼、觸及教師的心靈. 參與的教師在以下三個(gè)方面發(fā)生了質(zhì)的轉(zhuǎn)變.

第一，改變了對數(shù)學(xué)教育的認(rèn)識.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)使得教師充分感受到數(shù)學(xué)的重要性，以及開展數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中學(xué)生的激情、興趣和創(chuàng)造力所散發(fā)出來的育人價(jià)值. 這種意識的覺醒使得教學(xué)中紙上談兵、功利應(yīng)試行為發(fā)生質(zhì)的改變，直接改變了教師教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，使教師在教學(xué)中能自覺挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能，重視對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

第二，教學(xué)方式有實(shí)質(zhì)性轉(zhuǎn)變. 在課堂教學(xué)中，教師有時(shí)為“活動(dòng)”而活動(dòng)，雖有學(xué)生活動(dòng)的環(huán)節(jié)但缺乏培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的實(shí)質(zhì)，學(xué)生活動(dòng)流于形式，而“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)讓教師看到學(xué)生的能動(dòng)性和創(chuàng)造性. 隨著課題的深入研究，在教師幫助之下學(xué)生自發(fā)學(xué)習(xí)了很多教材之外的或者更高年級的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生從“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”，積極而主動(dòng)，完全沒有課堂教學(xué)中啟而不發(fā)、推而不動(dòng)的狀態(tài). 活動(dòng)中，教師的指導(dǎo)作用充分而恰當(dāng)?shù)陌l(fā)揮，使得學(xué)生在教師的點(diǎn)撥下對研究問題、感悟數(shù)學(xué)思想方法有了深刻的認(rèn)識，比用傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式學(xué)得更好、走得更遠(yuǎn). 這些現(xiàn)象都令教師通過活動(dòng)反思自己的課堂教學(xué)行為及設(shè)計(jì)，審視教學(xué)是否突出了學(xué)生的主體性，使得課堂教學(xué)發(fā)生質(zhì)的改變，力求通過教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂生成讓學(xué)生主動(dòng)思考，真正激發(fā)學(xué)生的潛能.

第三，促使教師專業(yè)水平的發(fā)展，與時(shí)俱進(jìn).“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)產(chǎn)生了很多由學(xué)生自主選定的研究課題，這些課題富有時(shí)代感、科技感，跨學(xué)科融合. 教師被初中學(xué)生研究的深度和廣度震撼，由此產(chǎn)生了壓力、挑戰(zhàn)和緊迫感，以前教師要有“一桶水”的觀念被徹底打破. 教師逐漸意識到需要傾聽學(xué)生、了解學(xué)生，跟上學(xué)生的步伐，不斷學(xué)習(xí)新技術(shù)，提升課程力，主動(dòng)將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、生活聯(lián)系，這樣才能具備指導(dǎo)學(xué)生開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)的能力. 教師在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中指導(dǎo)力得到提升，對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系認(rèn)識更加深刻，這些都會(huì)自覺融入課堂教學(xué)中，達(dá)到教學(xué)相長的目的.

四、活動(dòng)案例

課題“在樓梯中‘做’數(shù)學(xué)”是一所普通中學(xué)八年級學(xué)生的作品，在“玩什么？”“怎么玩？”“能玩出什么？”等方面給出了很好的示范.

1. 生活困擾，發(fā)現(xiàn)問題

樓梯不只是簡簡單單的建筑，生活中曾發(fā)生因樓梯設(shè)計(jì)不當(dāng)導(dǎo)致人員受傷的實(shí)例. 研究小組由此注意到了樓梯設(shè)計(jì)存在不合理的現(xiàn)象，而且容易被人們忽視. 樓梯設(shè)計(jì)需要更人性化、更精確，才能安全放心地投入使用. 怎樣設(shè)計(jì)樓梯，使其符合不同人群的需求呢？樓梯的結(jié)構(gòu)是怎樣的？能不能結(jié)合數(shù)學(xué)知識合理設(shè)計(jì)樓梯？這是本課題要探究的問題.

2. 受到啟發(fā)，確定方向

研究小組決定用數(shù)學(xué)知識分析樓梯構(gòu)造，以期為建造樓梯提供合理建議. 由此提出猜想：樓梯設(shè)計(jì)是否與使用樓梯的人群的身高有關(guān)？樓梯設(shè)計(jì)是否與其特殊功能有關(guān)？有沒有國家規(guī)定的樓梯建筑標(biāo)準(zhǔn)？如何建造合理規(guī)范的樓梯，使其滿足人們的需求？

為了方便表達(dá)，研究前，首先定義樓梯各部分結(jié)構(gòu)名稱，如圖1所示.

抽象、定義樓梯截面模型如下：因?yàn)樘じ叽怪庇谔?，所以樓梯的坡面、踏寬、踏高組成一個(gè)直角三角形，踏寬和踏高是直角三角形的兩條直角邊. 樓梯截面由若干個(gè)全等直角三角形組成. 如圖2，在Rt△ABC中，AC是踏寬，BC是踏高，測量出踏寬AC與踏高BC的長，求出BC與AC的比值，即樓梯的坡度，然后算出∠BAC的度數(shù).

猜想：（1）樓梯的踏寬與踏高應(yīng)該與人群的（身高）腳掌長度有關(guān)系;（2）根據(jù)樓梯功能不同，樓梯的設(shè)計(jì)應(yīng)該有所不同.

3. 收集數(shù)據(jù)，驗(yàn)證假設(shè)

為了驗(yàn)證猜想，研究小組尋找了公共場所的幾個(gè)樓梯進(jìn)行調(diào)查研究，包括學(xué)校附近的小學(xué)、中學(xué)、商場、公園. 經(jīng)過問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這些樓梯的滿意度都為80%以上.

（1）身高與腳掌長度的關(guān)系.

為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，先進(jìn)行身高與腳掌長度關(guān)系的調(diào)查. 分別在某小學(xué)和中學(xué)各抽取50名學(xué)生、30名成人進(jìn)行調(diào)查，進(jìn)行樣本采集. 部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示.

（2）小學(xué)學(xué)校樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某小學(xué)教學(xué)樓樓梯的踏寬AC = 29 cm，踏高BC = 14 cm，由tan∠BAC =[1429]，得坡角∠BAC ≈ 25.8°. 以此計(jì)算出適合小學(xué)生走的樓梯的坡角度數(shù). 再根據(jù)小學(xué)高年級學(xué)生的身高值，計(jì)算出小學(xué)生腳掌長度的平均值為21.4 cm，發(fā)現(xiàn)踏寬約比小學(xué)生腳掌長7.6 cm. 如果學(xué)生穿上鞋子就比踏寬長約6 cm，且踏寬約為踏高的2倍. 按照這個(gè)方法設(shè)計(jì)出適合小學(xué)生走的樓梯的踏寬、踏高與坡角度數(shù).

（3）中學(xué)學(xué)校樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某中學(xué)樓梯的踏寬AC = 30 cm，踏高BC =15 cm，由tan∠BAC =[1530]，得坡角∠BAC ≈ 26.6°，計(jì)算出適合中學(xué)生走的樓梯的坡角度數(shù). 再計(jì)算中學(xué)生腳掌長度的平均值為24.3 cm，發(fā)現(xiàn)踏寬約比中學(xué)生腳掌長度多5 cm，且踏寬約為踏高的2倍. 按照這個(gè)方法設(shè)計(jì)出適合中學(xué)生走的樓梯的踏寬、踏高與坡角度數(shù).

（4）商場緊急通道樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某商場的緊急通道樓梯的踏寬AC = 32 cm，踏高BC = 17.5 cm，由tan∠BAC =[17.532，] 得坡角∠BAC ≈ 28.7°，以此計(jì)算出緊急逃生時(shí)，人們快速疏散時(shí)所走樓梯的坡角度數(shù). 因?yàn)榫o急通道要使人們能快速疏散，所以樓梯踏寬必須要寬，以便人們逃生時(shí)不會(huì)踩空，發(fā)生意外;踏高必須要高，以便人們能更加快速地逃生.

（5）公園樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某公園臺(tái)階的踏寬AC = 38 cm，踏高BC = 14 cm，由tan∠BAC =[1438，] 得到坡角∠BAC ≈ 20.2°，以此計(jì)算出適合公園散步的行人所走臺(tái)階的坡角度數(shù). 因?yàn)樯⒉降男腥擞袃和?、成人、老人等各種年齡段的人群，所以公園臺(tái)階的設(shè)計(jì)踏寬較寬，踏高較低，坡角度數(shù)較小，適合大眾人群散步放松.

4. 初步感知，得出結(jié)論

通過分析不同場景樓梯的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了初始的猜想，即樓梯的踏寬設(shè)計(jì)必須考慮使用樓梯的人群的腳掌長度;樓梯的踏高設(shè)計(jì)必須考慮使用群體的目的與身高. 特別是公共場所，為了方便群眾、節(jié)約資源，樓梯設(shè)計(jì)一定要仔細(xì)，要進(jìn)行綜合考量. 當(dāng)然，除了驗(yàn)證以上猜想，在研究過程中，小組學(xué)生還歸納發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論.

（1）人的身高與腳掌長度的比值約是7∶1.

（2）通過測量小學(xué)和中學(xué)教學(xué)樓的樓梯踏寬與踏高，估測出適合人們行走的樓梯踏寬約比腳掌長度長5 cm，且踏寬約為踏高的2倍，公共場所的樓梯的坡角度數(shù)多數(shù)小于30°. 特別是公園的樓梯，坡度應(yīng)該更小才適宜.

（3）人們散步的臺(tái)階的設(shè)計(jì)應(yīng)該是踏寬較長，踏高較低，坡角度數(shù)較小，但范圍在20° ～ 25°，且踏寬的長度不超過步距，這樣設(shè)計(jì)的樓梯才能使人們得到更好的放松.

（4）緊急疏散樓梯的踏寬和踏高的長度比普通樓梯要長一些，踏高必須要高，讓人們能更安全、更快捷地逃生.

（5）隨著使用樓梯群體的年齡的增長，踏寬越長，踏高漸高. 但總體而言，坡角度數(shù)為25°左右最為適宜.

在研究過程中，研究成果通過手抄報(bào)形式進(jìn)行一次集中展示. 學(xué)生通過觀察、測量生活中常見的建筑物，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識，回味無窮.

5. 結(jié)合行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，確定范圍

經(jīng)過資料檢索、調(diào)查得知，樓梯設(shè)計(jì)規(guī)范雖然經(jīng)常提及，但樓梯設(shè)計(jì)規(guī)范并沒有明確的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn).但是，樓梯間設(shè)計(jì)應(yīng)符合現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)《建筑設(shè)計(jì)防火規(guī)范》（GBJ16）和《高層民用建筑設(shè)計(jì)防火規(guī)范》（GB50045）的有關(guān)規(guī)定. 研究小組查到民用建筑樓梯設(shè)計(jì)的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)如表2所示.

當(dāng)然，在樓梯建設(shè)的規(guī)范要求當(dāng)中，還有涉及梯寬、扶欄、平臺(tái)等設(shè)計(jì)的大致要求，確保人流通暢與安全，在此不做詳細(xì)研究. 現(xiàn)把以上標(biāo)準(zhǔn)暫作為樓梯的國家標(biāo)準(zhǔn)，以下統(tǒng)稱“國標(biāo)”.

6. 給定背景，設(shè)計(jì)樓梯

研究小組根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在國標(biāo)基礎(chǔ)上，進(jìn)行不同功能的樓梯的設(shè)計(jì). 假設(shè)給定樓高為3 m、進(jìn)深為4 m的樓房模型，進(jìn)行不同功能樓梯（主要為直線型與之字型）的合理設(shè)計(jì)，并判斷該模型能否設(shè)計(jì)出風(fēng)格各異的樓梯. 如果不能設(shè)計(jì)出符合要求的樓梯，能不能進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)？帶著這些問題，研究小組進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)操作.

（1）辦公樓的樓梯設(shè)計(jì).

一般地，采用如圖4所示的設(shè)計(jì)方法，其步驟如下：① 初定踏高為0.14 m;② 由樓層高度為3 m，確定樓梯的階數(shù)為[30.14]≈ 21.4（取偶數(shù)階22級）;③ 精確踏高為[322]≈ 0.136 （m）;④ 由22階確定進(jìn)深深度最低為22 × 0.28 = 6.16 > 4（m）.

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，該模型不能設(shè)計(jì)為直線型樓梯. 但考慮空間有限，可以應(yīng)用在餐館等特殊場所. 在考慮安全性的前提下，要保證踏寬長度，再設(shè)計(jì)如圖5所示的樓梯，設(shè)計(jì)步驟如下：① 初定踏寬為0.28 m;② 由進(jìn)深高度為4 m，確定樓梯的階數(shù)為[40.28]≈ 14，進(jìn)而精確每階踏寬為[414]≈ 0.286（m），踏高為[314]≈ 0.214（m）;由于0.214 > 0.16，可見，踏高過高，爬樓梯比較費(fèi)勁.

轉(zhuǎn)而考慮之字型樓梯，在樓層的中間設(shè)置一個(gè)休息平臺(tái). 按國家規(guī)定要求，平臺(tái)的寬度至少是1.2 m. 于是，把該模型分成兩個(gè)梯段，每段11階，進(jìn)行與上述方法相同的設(shè)計(jì)，但顯得煩瑣.

為了改進(jìn)方法，從樓層梯段的坡角出發(fā)，反過來設(shè)計(jì)每一級階梯的踏寬與踏高，如圖6所示，其步驟如下. ① 計(jì)算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=1.52.8，] 得到[α≈]28.2°. ② 初定踏高為0.14 m，計(jì)算出踏寬為[0.14tan28.2°≈][0.26] （m）. 因?yàn)?.26 < 0.28，所以該階梯的設(shè)計(jì)不符合國標(biāo)要求. ③ 進(jìn)而在國標(biāo)的規(guī)范范圍內(nèi)，再定踏高為0.15 m，計(jì) 算出踏寬為[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 此時(shí)該階梯的設(shè)計(jì)符合國標(biāo)要求. 由此確定每個(gè)梯段的級數(shù)為[1.50.15=10]或者[2.80.28=10].

結(jié)合上述研究發(fā)現(xiàn)，在空間有限的前提下，相比直線型樓梯，之字型可以優(yōu)化樓梯的設(shè)計(jì)，使其較好地符合國標(biāo)要求，而且可以提高空間使用率. 基于此，下文的樓梯設(shè)計(jì)，多從之字型樓梯模型入手，進(jìn)行設(shè)計(jì)并優(yōu)化.

（2）住宅的樓梯設(shè)計(jì).

如圖7，從樓層梯段的坡角出發(fā)，設(shè)計(jì)每一級階梯的踏寬與踏高，其步驟如下. ① 計(jì)算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=][1.52.8，] 得到[α≈28.2°.] ② 初定踏高為0.15 m，則踏寬為[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 因?yàn)?.28 > 0.26，所以該階梯的設(shè)計(jì)符合國標(biāo)要求. 因此設(shè)定每個(gè)梯段的級數(shù)為[1.50.15=10]或者[2.80.28=10].

（3）劇院的樓梯設(shè)計(jì).

如圖8，從樓層梯段的坡角出發(fā)，設(shè)計(jì)每一級階梯的踏寬與踏高，其步驟如下. ① 計(jì)算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=1.52.8]，得到[α≈]28.2°. ② 初定踏高為0.12 m，進(jìn)而計(jì)算踏寬為[0.12tan28.2°≈0.22] （m）. 因?yàn)?.22 < 0.3，所以該階梯的設(shè)計(jì)不符合國標(biāo)要求. ③ 定踏高為0.13 m，進(jìn)而計(jì)算踏寬為[0.13tan28.2°≈0.24] （m）. 因?yàn)?.24 < 0.3，所以該階梯的設(shè)計(jì)不符合國標(biāo)要求. ④ 再定踏高為0.15 m，進(jìn)而計(jì)算踏寬為[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 因?yàn)?.28 < 0.3，所以該階梯的設(shè)計(jì)不符合國標(biāo)要求.

綜上所述，在踏高符合國標(biāo)要求的前提下，由此得出的踏寬不符合國標(biāo)要求，所以該模型不適宜建造劇院的樓梯.

（4）幼兒園的樓梯設(shè)計(jì).

圖9為幼兒園樓梯設(shè)計(jì)圖，設(shè)計(jì)步驟如下. ① 計(jì)算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=][1.52.8，] 得到[α≈28.2°.] ② 定踏高為0.14 m，計(jì)算出踏寬為[0.14tan28.2°≈0.26] （m），因此該階梯的設(shè)計(jì)符合國標(biāo)要求. ③ 確定每個(gè)梯段的級數(shù)為[1.50.14≈10.7]（取整數(shù)10），所以每一階的踏高為[1.510=0.15]（m），踏寬為[2.810=0.28]（m）. 綜上所述，當(dāng)樓梯每個(gè)梯段為10階，則每一梯段的踏高為0.15 m，踏寬為0.28 m，該設(shè)計(jì)滿足幼兒園的國標(biāo)要求.

綜上所述，為了更快地判斷能否設(shè)計(jì)出合理的樓梯，可以把國標(biāo)的踏寬和踏高轉(zhuǎn)化為每一級階梯的坡角，再轉(zhuǎn)化為每一梯段的坡角. 于是，設(shè)置了公共場所樓梯的坡角規(guī)定，如表3所示.

綜上所述，改用坡角設(shè)計(jì)法，不僅可以判斷能否建造出合理樓梯，還可以快速設(shè)計(jì)出樓梯建造方案，也可以設(shè)計(jì)三之型、旋轉(zhuǎn)型、梯段不等高的樓梯. 以樓高為3 m、進(jìn)深為4 m的模型為背景，設(shè)計(jì)辦公樓的三之型樓梯，而梯段不等高方法也是如此. 設(shè)計(jì)方法參考如下.

① 設(shè)定坡角[α]= 29°.

② 兩平臺(tái)之間長度為4 - 2.4 = 1.6（m），由銳角三角函數(shù)得到兩平臺(tái)之間的高度為0.9 m.

③ 計(jì)算出三之型樓梯每一梯段高度分別為1.05 m，0.9 m，1.05 m.

④ 取每階踏高為0.14 m，則中段的階數(shù)為[0.90.14]≈ 6，再精確每一階的高度為[0.96]= 0.15（m），每一階的寬度為[0.15tan 29°][≈]0.27（m），則中段樓梯共6階. 類似地，上段與下段的階數(shù)是7階，每一階踏高為0.15 m，踏寬為0.27 m，如圖10所示.

總之，可以采用坡角的設(shè)計(jì)方法，在給定的模型當(dāng)中判斷該模型是否可以設(shè)計(jì)符合國標(biāo)要求的直線型或之字型樓梯，并解釋能夠設(shè)計(jì)樓梯的理由. 當(dāng)然，如果可以設(shè)計(jì)，研究小組可以較快、較精確地設(shè)計(jì)出符合人們需求的樓梯，這也是該課題的亮點(diǎn)之一.

7. 合理優(yōu)化，美觀環(huán)保

針對以上設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)的問題，研究小組進(jìn)行合理優(yōu)化，方案如下.

（1）在如前所述的樓高為3 m、進(jìn)深為4 m的樓房模型中，當(dāng)以國標(biāo)為判斷依據(jù)時(shí)，是不能夠設(shè)計(jì)滿足要求的劇院樓梯的. 但是，如果在考慮踏高取最大值的情況下，若該模型的踏高取0.15 m，則踏寬為[0.15tan28.2°≈][0.28]（m），雖然0.28 < 0.3，不符合國標(biāo)要求，但是可以考慮采用不增加踏高、增加踏寬的方法，使其踏寬符合要求，優(yōu)化為如圖11所示的形式.

（2）在建造樓梯的過程中，當(dāng)滿足國標(biāo)的設(shè)計(jì)方法多樣時(shí)，可以考慮建造用料的節(jié)省，從而降低成本，踐行環(huán)保意識. 于是，通過計(jì)算每一階梯的用料面積，得出所有階梯的用料面積.

如圖12，模型的高度為H m、進(jìn)深為B m，則梯段與水平面的坡角為α，滿足tan α =[H2B-1.2]（若H和B的長度是固定的，則坡度是一個(gè)定值）. 假設(shè)每一階梯的踏高為x m，則踏寬為[xtan α]. 則每一階梯的截面面積為S1=[x22 tan α，] 每個(gè)梯段截面的面積為[S=Hx · S1=][Hx2tan α].

通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)樓梯的用料多少與踏高和坡角度數(shù)的大小有關(guān)，其中與踏高成正比例關(guān)系，與坡角成反比例關(guān)系. 于是在符合國標(biāo)的前提下，降低踏高或增大坡角，可以節(jié)省用料，從而做到低碳環(huán)保.

（3）在現(xiàn)實(shí)生活中，建造樓梯不僅要考慮國標(biāo)的要求，有時(shí)候更需要考量美觀性，而旋轉(zhuǎn)樓梯在美觀性和空間立體感方面收獲人們更多的喜愛. 簡易的旋轉(zhuǎn)樓梯往往圍繞一根單柱旋轉(zhuǎn)直上，平面呈圓形;而復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)樓梯則要求同心圓的構(gòu)造，踏寬的內(nèi)側(cè)長度較小，踏寬的外側(cè)長度較大，其復(fù)雜的構(gòu)造需要精心設(shè)計(jì)，才能達(dá)到美觀與舒適的要求.

不妨借助如圖13所示的辦公樓模型，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)樓梯的設(shè)計(jì). 其中，將平臺(tái)寬度1.2 m當(dāng)作旋轉(zhuǎn)樓梯的梯段寬度.

<＼＼10.1.5.113＼共享＼00初中＼00中數(shù)初中版2021年飛翔＼中數(shù)初中2021年第7-8期＼image27.jpeg>[圖13]

其設(shè)計(jì)步驟如下：① 先初定踏高為0.15 m;② 由樓高為3 m，確定旋轉(zhuǎn)樓梯的總級數(shù)為[30.15]= 20;③ 為了調(diào)整旋轉(zhuǎn)半徑，設(shè)置了上下各三階的方梯，從而計(jì)算出內(nèi)徑為1.96 m，進(jìn)而計(jì)算出其半圓的弧長，并求出每一階的弧長約為0.44 m;類似地，依據(jù)外徑為3.16 m，得出踏寬外側(cè)每一階的弧長約為 0.71 m，進(jìn)而設(shè)計(jì)出如圖14所示的旋轉(zhuǎn)樓梯.

當(dāng)然，旋轉(zhuǎn)樓梯一般不作為主要人流交通和疏散樓梯，但由于其流線造型美觀、優(yōu)美、典雅、空間比較節(jié)省，常常用作樓層數(shù)不多的寫字樓、居民樓，或者作為建筑小品布置的家庭影院或室內(nèi)使用.

8. 學(xué)生感悟

學(xué)生從該課題中收獲很多，在研究過程中真正體會(huì)到了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，并掌握了設(shè)計(jì)樓梯的方法及優(yōu)化樓梯的技巧. 該課題側(cè)重考慮踏寬與踏高的研究，從研究到建造樓梯，還有許多需要考慮的因素，有待繼續(xù)研究. 總體而言，該課題實(shí)現(xiàn)了“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)的初衷，即“玩中學(xué)，學(xué)中玩”，這就是數(shù)學(xué)的魅力.

當(dāng)然，通過反思研究過程和結(jié)論，研究小組有以下幾點(diǎn)感悟.

（1）調(diào)查的數(shù)據(jù)會(huì)有一點(diǎn)誤差，但總體還是準(zhǔn)確的.

（2）調(diào)查的樣本來源于各類人群使用的樓梯，采用了問卷調(diào)查的形式，雖然樓梯的滿意度較高，但樣本的代表性不強(qiáng).

（3）希望可以利用調(diào)查得出的結(jié)論，設(shè)計(jì)出合理的樓梯，減少生活中由樓梯導(dǎo)致的意外，并讓人們行走樓梯時(shí)能更舒適. 但結(jié)論應(yīng)用于生活實(shí)際，還有待研究.

（4）學(xué)生最初以為身邊樓梯設(shè)計(jì)的不足之處應(yīng)該不多，通過研究發(fā)現(xiàn)并非如此. 例如，生活中有的樓梯每一階的踏高不同，有的樓梯的第一階與最后一階的高度有差異.

（5）通過研究發(fā)現(xiàn)，樓梯的合理設(shè)計(jì)離不開數(shù)學(xué)，說明數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活.

9. 指導(dǎo)教師體會(huì)

該課題研究的問題源自生活中的感受，研究背景具有實(shí)際意義，培養(yǎng)了學(xué)生的“四基”與“四能”. 學(xué)生針對生活中樓梯的設(shè)計(jì)發(fā)現(xiàn)并提出問題，聚焦在每一級階梯的踏寬和踏高的研究，根據(jù)不同人群和不同場合的需要設(shè)計(jì)不同樓梯. 在這個(gè)過程中，學(xué)生需要思考：如何進(jìn)行有效的分類設(shè)計(jì)？群體的需求有哪些？針對不同需求如何建造合適的樓梯？樓梯的設(shè)計(jì)是否與數(shù)學(xué)存在緊密的聯(lián)系？在研究過程中，發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？針對這一連串的問題研究，學(xué)生都給予了很好的解答.

該課題充分體現(xiàn)了學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，具體表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：提取樓梯的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);三角函數(shù)知識的應(yīng)用，拓寬了八年級學(xué)生解決直角三角形相關(guān)問題的思路;坡角的知識，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了從不同視角看問題;調(diào)查統(tǒng)計(jì)，啟發(fā)了學(xué)生研究問題必須依靠數(shù)據(jù)收集;體會(huì)了函數(shù)和線性規(guī)劃等知識的應(yīng)用.

把學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際生活中，是從課堂到生活的衍生，而這種衍生正是目前所大力提倡的創(chuàng)新和實(shí)踐精神. 在研究過程中，學(xué)生學(xué)會(huì)了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，得出了結(jié)論，其心情是愉悅的、有成就感的. 他們不僅感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)用性，再次見證了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，更體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無窮樂趣，這達(dá)到了開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)的目的.

對于學(xué)生的研究與工作，指導(dǎo)教師給予了他們極大的鼓勵(lì)與肯定，引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實(shí)際問題.

當(dāng)然，針對不合理的樓梯解釋，不僅需要結(jié)合本文的研究數(shù)據(jù)作為判斷，還需要對使用樓梯群體進(jìn)行調(diào)查問卷. 樓梯的合理性應(yīng)因人而異. 但總體而言，該課題研究具有一定的實(shí)用性.

總之，學(xué)生是很努力的，積極參與調(diào)查與論證，希望在使用數(shù)學(xué)知識研究生活事例的這條路上能夠越走越遠(yuǎn)，越走越深. 收獲越多，進(jìn)步越大.

10. 答辯點(diǎn)評

在此環(huán)節(jié)，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法解決日常生活中有關(guān)樓梯設(shè)計(jì)的問題，不僅從國家關(guān)于樓梯設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)考慮問題，而且能從使用樓梯群體的需求特點(diǎn)出發(fā)思考有關(guān)樓梯設(shè)計(jì)的問題. 研究小組分別從樓層建筑樓梯的寬度與高度、樓梯臺(tái)階的高度與長度、人體踏高與踏寬三個(gè)維度提出設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，并針對直線型樓梯、之字型樓梯、旋轉(zhuǎn)樓梯的各自特點(diǎn)選擇設(shè)計(jì)方案，通過調(diào)查，利用統(tǒng)計(jì)知識確定使用樓梯群體的代表數(shù)據(jù)作為設(shè)計(jì)的依據(jù). 研究過程扎實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)，研究報(bào)告、展示和答辯等環(huán)節(jié)都有較高水平.

總之，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)是一項(xiàng)富有意義的、學(xué)生開展的數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣，充分展現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，也使得教師對數(shù)學(xué)教育有了更深層次的認(rèn)識和更高的追求.

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