應(yīng)希源 薩彬含

[摘? ? ? ? ? ?要]? 以高職院校高等數(shù)學(xué)曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)定義教學(xué)為例，引入嫦娥五號(hào)探月工程視頻片段創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和文化自信感。通過(guò)返回器的半彈道跳躍式再入返回方式，讓學(xué)生了解科學(xué)家精益求精、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。通過(guò)研究軌道曲線(xiàn)一點(diǎn)處的切線(xiàn)，激發(fā)學(xué)生發(fā)揚(yáng)先輩們勇于探索、不斷創(chuàng)新的精神。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 高職;課程思政;高等數(shù)學(xué);探討

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）32-0090-02

一、引言

切線(xiàn)問(wèn)題是導(dǎo)致微積分誕生的最重要問(wèn)題之一，切線(xiàn)斜率作為導(dǎo)數(shù)概念的引例，已出現(xiàn)在今天的任何一本微積分教材中[1]，但曲線(xiàn)上一點(diǎn)處切線(xiàn)的定義往往在教材中直接給出，部分高職學(xué)生因缺乏對(duì)該定義歷史背景的了解，對(duì)理解該定義存在一定的困難，從而在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念前就產(chǎn)生畏難情緒。應(yīng)用課堂教學(xué)，引入課程思政元素，讓高職學(xué)生了解曲線(xiàn)上一點(diǎn)處切線(xiàn)定義的演變，認(rèn)識(shí)該定義背后的歷程及艱辛，對(duì)提高高職學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、消除畏難情、培養(yǎng)堅(jiān)強(qiáng)的毅力具有重要的意義。

學(xué)者任衛(wèi)兵[2]以曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)為例，從數(shù)學(xué)史視角出發(fā)，提出了基于HPM視角的概念、教學(xué)實(shí)踐與思考。學(xué)者鄧迎春[3]用發(fā)生教學(xué)法設(shè)計(jì)和實(shí)施“曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)”的教學(xué)。本文在此基礎(chǔ)上，針對(duì)高職學(xué)生，以嫦娥五號(hào)返回器的一段軌跡為例，引入課程思政元素，對(duì)曲線(xiàn)一點(diǎn)處的切線(xiàn)定義進(jìn)行教學(xué)探討。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課將課程思政元素融入教學(xué)中，以“創(chuàng)設(shè)情境—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題”為主線(xiàn)，進(jìn)行曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)定義的教學(xué)探討。通過(guò)嫦娥五號(hào)探月升空視頻片段，介紹嫦娥五號(hào)取得的舉世矚目的成就，并從返回器“打水漂”的半彈道跳躍式再入返回軌跡提出問(wèn)題，探討曲線(xiàn)上一點(diǎn)處切線(xiàn)的定義。教學(xué)內(nèi)容和思政元素的聯(lián)系和邏輯關(guān)系如圖1所示。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

以嫦娥五號(hào)發(fā)射的視頻片段作為引例，簡(jiǎn)要介紹嫦娥五號(hào)發(fā)射的意義，嫦娥五號(hào)返回器采用“打水漂”的半彈道跳躍式再入返回方式安全著陸，劃出了優(yōu)美的曲線(xiàn)，返回器著陸前的一段軌跡如圖2所示的曲線(xiàn)?；诖吮尘霸O(shè)計(jì)問(wèn)題：如何描述軌跡上一點(diǎn)處返回器的運(yùn)動(dòng)方向？學(xué)生思考后，根據(jù)已有的知識(shí)，回答可由軌道上該點(diǎn)處的切線(xiàn)方向來(lái)確定。接著追問(wèn)：那如何確定軌道上一點(diǎn)處的切線(xiàn)呢？

（二）分析、解決問(wèn)題

如何確定曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)？部分學(xué)生利用已有圓的切線(xiàn)定義可得出，在曲線(xiàn)上一點(diǎn)處直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共交點(diǎn)，則該直線(xiàn)為曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)。教師引導(dǎo)學(xué)生舉出反例如圖2（a）所示，曲線(xiàn)在A(yíng)點(diǎn)處，直線(xiàn)與曲線(xiàn)均只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)。因此，圓的切線(xiàn)定義不能直接應(yīng)用于任意的曲線(xiàn)。

教師再引導(dǎo)學(xué)生回顧高中所學(xué)的圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)定義：圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，且全部在圓錐曲線(xiàn)之外的直線(xiàn)。該定義是否適用于任意曲線(xiàn)呢？學(xué)生思考后可舉出反例如圖2（b）所示，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在B點(diǎn)處的切線(xiàn)，但該切線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，且不在曲線(xiàn)之外，因此，不能將圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)定義直接應(yīng)用于本問(wèn)題提出的曲線(xiàn)，那曲線(xiàn)任意點(diǎn)處的切線(xiàn)又該如何定義呢？

因高職高等數(shù)學(xué)教材省略了切線(xiàn)概念的歷史背景，直接給出了曲線(xiàn)切線(xiàn)的定義，學(xué)生難以理解，因此，教師引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)要回顧曲線(xiàn)一點(diǎn)處切線(xiàn)定義的歷史演變[4-5]，從圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)定義到高等數(shù)學(xué)教材曲線(xiàn)一點(diǎn)處切線(xiàn)的定義，經(jīng)歷了約2000年的演變，其中較為典型的有阿基米德切線(xiàn)定義、笛卡爾“等根法”求切線(xiàn)、費(fèi)爾馬“極值法”求切線(xiàn)、巴羅的“特征三角形法”求切線(xiàn)、牛頓的“流數(shù)法”和萊布尼茲的“坐標(biāo)差分法”求切線(xiàn)、達(dá)蘭貝爾切線(xiàn)定義等。其中阿基米德將螺旋線(xiàn)的切線(xiàn)看作與螺旋線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，且落在螺旋線(xiàn)之外的直線(xiàn)，仍從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)角度來(lái)研究切線(xiàn)。直到17世紀(jì)，笛卡爾、費(fèi)爾馬、巴羅等才給出求曲線(xiàn)切線(xiàn)的一般方法。牛頓的“流數(shù)法”和萊布尼茲的“坐標(biāo)差分法”是在沒(méi)有建立極限理論的基礎(chǔ)上提出的，在歐洲大陸流傳了半個(gè)多世紀(jì)。隨著極限理論的逐步發(fā)展，達(dá)蘭貝爾給出了曲線(xiàn)一點(diǎn)處切線(xiàn)的定義：割線(xiàn)與曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)變成一個(gè)點(diǎn)時(shí)割線(xiàn)的極限，但該定義仍然沒(méi)有把“兩點(diǎn)變成一點(diǎn)”這一過(guò)程形象化描述出來(lái)。

隨著極限理論的逐步完善，約在19世紀(jì)才產(chǎn)生了現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材上的定義，目前高等數(shù)學(xué)教材中曲線(xiàn)一點(diǎn)處切線(xiàn)的定義為：設(shè)有曲線(xiàn)C及C上的一點(diǎn)M，在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N，作割線(xiàn)MN，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C趨于點(diǎn)M時(shí)，如果割線(xiàn)MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線(xiàn)MT就稱(chēng)為曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)，這里極限位置的含義是：只要弦長(zhǎng)|MN|趨于0，∠NMT也趨于0[6]，根據(jù)該定義，如果當(dāng)點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C趨于點(diǎn)M時(shí)，如果極限k=存在，則該極限就是切線(xiàn)MT的斜率。

學(xué)生了解曲線(xiàn)一點(diǎn)處切線(xiàn)定義的歷史演變后，根據(jù)高等數(shù)學(xué)教材所給的定義，便可做出嫦娥五號(hào)返回器著陸前的一段軌跡曲線(xiàn)上點(diǎn)M的切線(xiàn)，如圖3所示，直線(xiàn)MT即為曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的切線(xiàn)。

（三）定義的應(yīng)用及探討

例1.如何根據(jù)定義找出曲線(xiàn)在M點(diǎn)處的切線(xiàn)？

部分學(xué)生根據(jù)“切線(xiàn)是割線(xiàn)的極限位置”很難理解具體哪條直線(xiàn)才是割線(xiàn)的具體位置。如當(dāng)N點(diǎn)沿著曲線(xiàn)跨過(guò)M點(diǎn)過(guò)程中，當(dāng)M點(diǎn)與N點(diǎn)完全重合時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，而過(guò)一點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，究竟哪一條才是曲線(xiàn)在M點(diǎn)處的切線(xiàn)呢？此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生緊扣定義，學(xué)生可根據(jù)定義中的當(dāng)弦長(zhǎng)|MN|趨于0時(shí)，∠NMT也趨于0，則可判斷MT就是所求的切線(xiàn)，求出極限k=，便可得到點(diǎn)M處切線(xiàn)的具體位置。