王子晗 黎 雄

(北京師范大學數(shù)學科學學院 100875)

1 引言

行列式起源于人們解線性方程組時分離系數(shù)的需要，其作為一種速記的數(shù)學符號極大地簡化了人們求解多元線性方程組的繁雜過程. 我們所熟知的克萊姆，也就是創(chuàng)立解線性方程組的克萊姆法則的數(shù)學家首次給出了行列式的計算定義，詳細地闡述了如何計算行列式. 在很長一段時間內(nèi)，人們對于行列式的理解僅僅是一個工具，簡化求解線性方程組的工具.

范德蒙是首次將行列式與線性方程組分開單獨研究的人，以他命名的范德蒙行列式也曾在線性代數(shù)課上被反復提及. 他給出了行列式展開的詳細法則，此后拉普拉斯在他的基礎上對于行列式的相關計算性質加以推廣和擴充. 自那以后行列式自成一體，成為一個獨立的分支.

行列式的性質很多，那么到底哪幾條性質是成為行列式所必備的呢？或者說，哪幾條性質可以作為根源進而推導出其他更加復雜的性質呢？人們最終提煉出了行列式最為基本而且簡單的三條性質，從而導出了行列式的公理化定義.

行列式不僅僅可以用于解線性方程組，重積分中換元積分法的雅可比矩陣，解析幾何中立體圖形的體積也都與行列式有關. 事實上，這一結論在三維空間中并不陌生. 我們知道，三個向量的混合積就是這三個向量張成的平行六面體的有向體積，而混合積恰好可以表示成一個3階行列式. 那么更高維的情形呢？施密特正交化方法為擴充其含義起到了重要的作用.

本文我們首先給出這三種定義，然后用嚴格的數(shù)學語言證明其等價性.

2 三種定義的表述形式

定義1 計算定義[1]n階方陣A=(aij) 的行列式記作detA，它是一個實數(shù),定義為

其中Sn表示n元置換群，εσ表示置換的符號，偶置換對應于1，奇置換對應于-1.

定義2 行列式的公理化定義[2]為一個域，如果函數(shù)det :Mn()→滿足以下性質

(1)線性性質：函數(shù)關于整列是線性的,即

det (α1,…,λβi+μγi,…,αn)

=λdet (α1,…,βi,…,αn)+μdet (α1,…,γi,…,αn);

(2)歸零性：若不同位置的兩列相同，αi=αj,i≠j, 那么det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0;

(3)規(guī)范性：detIn=1，其中In是對角線全為1而其它地方全為0的n階單位矩陣.

那么detA稱為A的行列式.

定義3 行列式的幾何定義n個n維列向量組成的行列式的值定義為這n個向量張成的n維平行2n面體的有向(n維)體積.

3 三種定義的等價性

我們首先證明行列式的計算定義與公理化定義等價.

定義1→定義2即要證明計算定義中的行列式滿足公理化定義中的三條性質.

(1)線性性質：

(2)歸零性：若αi=αj,i≠j，則 det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0.

由計算定義，可知

det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)

由于αi=αj,i≠j, 所以上式右端所出現(xiàn)的項全能兩兩相消，因此，

det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)=0.

(3)規(guī)范性：由計算定義易得 detIn=1.

定義2→定義1即要證明滿足公理化定義中的三條性質的函數(shù)只能是計算定義中的行列式.

由歸零性和線性性質, 可得

0=det (α1,…,αi+αj,…,αi+αj,…,αn)

=det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)+

det (α1,…,αj,…,αi,…,αn).

所以，det (α1,…,αi,…,αj,…,αn)

=-det (α1,…,αj,…,αi,…,αn).

下面根據(jù)公理化定義給出A的行列式的計算定義.

如果記e1=(1,0,…,0)T,e2=(0,1,…,0)T,…,en=(0,0,…,1)T, 那么

detA=det (a11e1+a21e2+…+an1en,a12e1+a22e2+…+an2en,…,a1ne1+a2ne2+…+annen)

下面我們證明定義1→定義3,即要證明行列式的計算定義可以用來計算n維平行2n面體的有向體積.設張成n維平行2n面體E的列向量為α1,α2，…,αn.這里采用施密特正交化方法，將E轉化為與其體積相同的直角n維平行2n面體E0以便計算其體積.

設張成E0的n個向量為β1,β2,…,βn,

如果記E0的有向體積V(E0),那么

V(E0)2=|β1|2…|βn|2

=det [(β1T,…,βnT)·(β1,…,βn)]

=[det (β1,…,βn)]2.

同時注意到

det (β1,…,βn)

=det (α1,…,αn).

因此，E的有向體積

V(E)=V(E0)=det (α1,…,αn).

最后我們證明定義3→定義2,即要證行列式的幾何定義能夠導出公理化定義中的三條性質,其中歸零性和規(guī)范性是明顯的,這是因為如果行列式有兩個列向量相同，那么組成行列式的這n個列向量所張成的平行2n面體的維數(shù)小于n, 因而其n維體積自然為0.另一方面，n個標準單位向量e1=(1,0,…,0)T，e2=(0,1,…,0)T，…,en=(0,0,…,1)T所張成的n維平行2n面體的體積恰好是單位體積.所以只有線性性質需要證明.由于行列式的值是對應的n維平行2n面體的有向體積，所以交換行列式的兩列將改變行列式的符號，因此不失一般性，我們只要證明

4 結論

至此，我們看到了行列式三種定義的產(chǎn)生與演化，知道了其在數(shù)學上的等價性，行列式的公理化定義的三條性質恰好與幾何體體積的相關性質密切吻合.

如今，行列式成為數(shù)學研究不可或缺的重要元素，從線性代數(shù)，到微積分，再到幾何, 其獨特而富有內(nèi)在背景的性質，簡明的表達方式，將數(shù)學的各個領域粘合在一起，為不同分支之間的交融從而共同發(fā)展提供了可能.

在教學過程中，往往從計算定義引入行列式，而這種既成的定義十分抽象，初學者很難理解，為什么定義行列式需要引入如此復雜的計算公式.隨著學習的深入，老師可以在不同的專業(yè)課程，如數(shù)學分析、解析幾何闡述行列式的其他定義方式，加深學生對于行列式的認識.比如，其幾何定義可以結合重積分變量替換公式中的雅可比行列式，或者高維曲面積分，或者解析幾何中求幾何體的體積來講解，從而學生有更直觀的理解.其公理化定義則向學生揭示了，看似復雜的計算方式有其背后的獨特性與唯一性，也就是說，行列式的計算方式與多重線性變換的定義相吻合.這樣，行列式將不同分支相互融合，從而深化對不同數(shù)學課程的聯(lián)系與理解.