徐章韜 汪曉勤

(1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 430079;2.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 該如何導(dǎo)入

人們認(rèn)為教育價(jià)值是教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂.價(jià)值涉及到一種判斷，是“值不值”的問(wèn)題，不同的人有不同的價(jià)值觀同樣，對(duì)于教學(xué)設(shè)計(jì)，不同的人也有不同的價(jià)值判斷.寫(xiě)在教材中的知識(shí)，既可以理解成一種結(jié)果，也可理解成一種過(guò)程.

如果把知識(shí)理解成一種結(jié)果，一種重要的成果，就會(huì)對(duì)其無(wú)比珍視，會(huì)從多角度進(jìn)行理解.在教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)時(shí)，也是致力于這個(gè)目標(biāo)，力圖對(duì)作為結(jié)果的知識(shí)之間內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行揭示，并產(chǎn)生廣泛的關(guān)聯(lián)，把其置于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之中，還會(huì)努力化作學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).這種導(dǎo)入法及設(shè)計(jì)，順承了知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯，教起來(lái)也順手，也能開(kāi)闊學(xué)生的視野.

如果把知識(shí)理解成一種過(guò)程，就會(huì)力求弄清楚知識(shí)產(chǎn)生的動(dòng)機(jī)，及推動(dòng)知識(shí)產(chǎn)生的本原性問(wèn)題，然后設(shè)置恰當(dāng)?shù)那榫?，把?wèn)題置于情境之中，致力于發(fā)展學(xué)生做數(shù)學(xué)的各種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).對(duì)于這兩種導(dǎo)入或引入方式，由于沒(méi)有從根本上理解清楚，在教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)了一些偏差.比如，情境創(chuàng)設(shè)本意是好的，但由于情境創(chuàng)設(shè)的不恰當(dāng)，問(wèn)題不是從情境中挖掘出來(lái)的，還不如直接從知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)導(dǎo)入來(lái)得直截了當(dāng)，這樣也導(dǎo)致了一些批評(píng)，認(rèn)為數(shù)學(xué)課不是在講數(shù)學(xué)，偏題了.說(shuō)句公道話，這其實(shí)不能怪教師.教師的很多知識(shí)都是從教科書(shū)中學(xué)來(lái)的，教材在編寫(xiě)時(shí)，多是從知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)來(lái)寫(xiě)的，很少?gòu)膯?wèn)題動(dòng)機(jī)的產(chǎn)生來(lái)寫(xiě).這樣批評(píng)也不甚恰當(dāng)，因?yàn)槌尸F(xiàn)在教科書(shū)中的內(nèi)容，由于所處的位置不同，并非每一個(gè)都是由問(wèn)題刺激產(chǎn)生的，有的是邏輯自然推演的結(jié)果.故而，內(nèi)在關(guān)聯(lián)導(dǎo)入法和情境問(wèn)題法應(yīng)各有其所.但在一些重要的、基本的主題上應(yīng)有一些區(qū)別.下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明在重要的、基本主題上內(nèi)在關(guān)聯(lián)導(dǎo)入法和情境問(wèn)題法的區(qū)別.

2 兩種導(dǎo)入方式

以基本不等式為例.一般的基于內(nèi)在關(guān)聯(lián)導(dǎo)入的做法是這樣的.因?yàn)榉秦?fù)數(shù)具有非負(fù)性，即x2≥0，用a-b代替x，這樣就得到了基本不等式.滬教版、湘教版就是這樣處理的.這是著眼于代數(shù)角度.人教版教材的處理法，重在幾何，突出了知識(shí)間的聯(lián)系，用趙爽弦圖、面積法來(lái)做的，即(a+b)2=(a-b)2+4ab，舍去中間的正方形的面積，就得到了基本不等式.這種做法很容易轉(zhuǎn)化為教師的課堂實(shí)踐，也有很好的效果.

從趙爽弦圖講起，不言而喻，是老祖宗的東西，有濃郁的歷史文化氣息，而且也能用超級(jí)畫(huà)板等動(dòng)態(tài)幾何軟件實(shí)現(xiàn)，課堂氣氛也很活躍.這些都是數(shù)學(xué)教育的附加值，其內(nèi)在的教育價(jià)值還可進(jìn)一步挖掘.張奠宙先生曾指出，均值不等式的教學(xué)要突出恒不等式的價(jià)值[1].上面的做法，比起從不等臂天平的導(dǎo)入法，的確更符合數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，也更自然.從恒等式中產(chǎn)生恒不等式，揭示了相等和不等間的辯證關(guān)系，有利于學(xué)生對(duì)這兩大關(guān)系的認(rèn)識(shí).從趙爽弦圖講起，在知識(shí)銜接上也有諸多好處.如，初中講了兩數(shù)和的完全平方公式，兩數(shù)差的完全平方公式，這兩個(gè)公式其實(shí)是同一個(gè)公式，也可以用一個(gè)恒等式統(tǒng)一起來(lái)，(a+b)2=(a-b)2+4ab，在歐幾里得的《幾何原本》中也能找到這個(gè)公式的影子.如果寫(xiě)成向量形式，就成了極化恒等式.關(guān)注和式結(jié)構(gòu)、乘積結(jié)構(gòu)，自然就有了基本不等式.人教版教材從趙爽弦圖講起，是有很多好處的.這是一種基于理解的導(dǎo)入法.這種導(dǎo)入法的不足之處是，知識(shí)產(chǎn)生的動(dòng)機(jī)揭示不足，人們因何種需要或動(dòng)機(jī)而產(chǎn)生基本不等式，這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有回答.現(xiàn)在教學(xué)邏輯是，可以從舊知識(shí)的多角度認(rèn)識(shí)中產(chǎn)生基本不等式，而且它還有很多用處，所以在教學(xué)中把這些講清楚，讓學(xué)生練會(huì)就夠了.如果用“教學(xué)設(shè)計(jì)價(jià)值是教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂”“教育價(jià)值決定教學(xué)方式”的標(biāo)準(zhǔn)考量，那么，有沒(méi)有更有價(jià)值的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？更有價(jià)值的教學(xué)設(shè)計(jì)，在于揭示問(wèn)題產(chǎn)生的動(dòng)機(jī)，且提供一個(gè)可以持續(xù)研究的主題.

周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系是一個(gè)歷史很悠久的研究主題.歷史上，有人通過(guò)周長(zhǎng)來(lái)推斷不同城市、不同地區(qū)的面積；也有人通過(guò)繞海島航行一周來(lái)確定海島的面積；也有人對(duì)周長(zhǎng)相等的營(yíng)地可以容納不同的人數(shù)感到困惑；也有人在分配土地時(shí)，利用周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系作出對(duì)自己有利的選擇，等等.這些事實(shí)表明，古人對(duì)周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系還不甚了解，因此有必要研究周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系.現(xiàn)有兩塊土地，一塊是長(zhǎng)方形狀的、一塊是正方形的，它們的周長(zhǎng)相等，請(qǐng)問(wèn)哪一塊的面積更大？

這一段話事實(shí)是指出了研究動(dòng)機(jī)，我們何以要研究周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系，從哪里入手研究面積和周長(zhǎng)之間的關(guān)系呢？這顯然是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，為了完成教學(xué)任務(wù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生朝預(yù)設(shè)的方向前行，完成教學(xué)目標(biāo)之后，就可以讓學(xué)生天馬行空般地進(jìn)行探索了.先引導(dǎo)學(xué)生從英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯在研究等周問(wèn)題時(shí)思考過(guò)的問(wèn)題入手，防范了探究性教學(xué)時(shí)可能產(chǎn)生的路向不確定性.挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾曾用“和差術(shù)”給出過(guò)非常精彩的證明，湘教版把這種方法寫(xiě)進(jìn)了《不等式選講》中.

3 兩種導(dǎo)入方式的比較

第一種導(dǎo)入方式，重在引導(dǎo)接受，其長(zhǎng)處是能使學(xué)生在盡可能短的時(shí)間內(nèi)獲得盡可能多的知識(shí)和技能，也有助于學(xué)生加深對(duì)已學(xué)過(guò)知識(shí)的深刻理解，獲得較好的成績(jī)；其不足之處在于易導(dǎo)致學(xué)習(xí)的被動(dòng)接受和學(xué)習(xí)過(guò)程的消極.“你講了我就懂了，你不講，我也不知道要從這方面想”，正是這種導(dǎo)入方式效果的白描寫(xiě)照.

第二種導(dǎo)入方式，有情境，有問(wèn)題，指出一種研究主題，能使學(xué)生明了其研究動(dòng)機(jī).這種引導(dǎo)對(duì)學(xué)生的要求很高，要求學(xué)生能悟到教師在引導(dǎo)他們做什么.其可能的不足之處在于，知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)揭示不充分，學(xué)生技能訓(xùn)練不到位.這也正是“過(guò)程—結(jié)果”的辯證沖突，是重過(guò)程，還是重結(jié)果，是過(guò)程取向，還是結(jié)果取向.堅(jiān)持過(guò)程取向，或是過(guò)程-結(jié)果并重，那么后繼應(yīng)有相關(guān)的教學(xué)措施跟進(jìn)可以開(kāi)發(fā)系列拓展性學(xué)習(xí)材料，供學(xué)習(xí)閱讀或訓(xùn)練.

下面的材料揭示了“周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系”，說(shuō)明了“周長(zhǎng)和面積”是一個(gè)有價(jià)值的研究主題，基本不等式、秦九韶公式也只是其中的成果之一.

周長(zhǎng)和面積、面積與體積之間存在內(nèi)在聯(lián)系.著名的等周定理，即等周不等式，就揭示了歐氏平面上封閉圖形的周長(zhǎng)及其面積之間的關(guān)系.其中的“等周”是指周長(zhǎng)相等.等周定理指出，在周長(zhǎng)相等的封閉幾何圖形中，以圓的面積最大；面積相等的幾何圖形中，以圓的周長(zhǎng)最小.如果讓一個(gè)人跑步圈地，使圈得的地的面積盡可能大，由于他的體能是一定的，所走的路程是一定的，出于本能，他圈出的地是圓形.這兩種說(shuō)法是對(duì)偶的.推廣到空間，表面積相等的封閉幾何體中，以球的體積最大；體積相等的幾何形體中，以球的表面積最小.一個(gè)直觀例子就是水珠的形狀，表面張力會(huì)使水珠的表面積達(dá)到最?。涣硪粋€(gè)直觀例子就是冬天時(shí)，狗蜷縮成一團(tuán)，此時(shí)，與外界接觸的表面積最小，熱量散失少；夏天時(shí)，狗四肢伸張，躺在地上，此時(shí)，與外界接觸的表面積就大些，熱量散失快.

周長(zhǎng)可認(rèn)為是面積的邊界，面積可認(rèn)為是體積的邊界，可用積分揭示.格林公式、斯托克斯公式、奧高公式揭示了周長(zhǎng)-面積，面積-體積間的關(guān)系，統(tǒng)一的Stokes公式就是高度概括了邊界和區(qū)域之間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在和諧之美.稍擴(kuò)展一點(diǎn)，如果把區(qū)間端點(diǎn)看作區(qū)間的“邊界”，那么微積分基本定理，揭示的也是“邊界”與“區(qū)域”之間的關(guān)系.古魯金定理指出，平面曲線繞此平面上不與其相交的軸(可以是它的邊界)旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積等于此曲線的重心繞同一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圓周長(zhǎng)乘以該曲線的弧長(zhǎng)；平面圖形繞與其不相交的軸(可以是它的邊界)旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于此圖形的重心繞同一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圓周長(zhǎng)乘以該圖形的面積.

排列組合的加法原理和乘法原理也能用周長(zhǎng)-面積來(lái)解釋.做一件事可從“長(zhǎng)”“寬”兩個(gè)維度著手，加法原理是說(shuō)從“長(zhǎng)”或“寬”中任取一種方案即可完成，故所有的完成方法數(shù)是矩形的半周長(zhǎng)，乘法原理是說(shuō)要同時(shí)從“長(zhǎng)”和“寬”各取一種方案才能完成，故所有的完成方法數(shù)是矩形的面積.

周長(zhǎng)-面積，面積-體積之間的關(guān)系的確是一個(gè)值得研究的好問(wèn)題.從周長(zhǎng)-面積之間的關(guān)系導(dǎo)入基本不等式，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，更具有教育價(jià)值.

4 精致訓(xùn)練系統(tǒng)的構(gòu)造

學(xué)生不是聽(tīng)會(huì)的，很大程度上是練會(huì)的.這就需要配備一些精心設(shè)計(jì)的有層次的訓(xùn)練支持教學(xué)方式的選擇.現(xiàn)在有眾多的習(xí)題支持基于結(jié)果理解的教學(xué)導(dǎo)入，缺乏的是支持基于過(guò)程理解的情境問(wèn)題導(dǎo)入的精致訓(xùn)練題[2-3].

(1)證明：在等底等周的所有三角形之中，等腰三角形的面積最大.

(2)證明：若等底的三個(gè)等腰三角形的腰構(gòu)成等差數(shù)列，則以中項(xiàng)為腰的等腰三角形的面積大于另兩個(gè)等腰三角形面積的算術(shù)平均值.

(3)若腰為中項(xiàng)的等腰三角形的頂角為直角，并將等腰三角形拼成正方形，其余兩個(gè)等腰三角形拼成箏形，試比較它們的面積大小.

(4)試用多種方法證明周長(zhǎng)相等的矩形和正方形，以正方形的面積為最大.

(5)證明：在所有等周正多邊形中，邊數(shù)最大的多邊形面積最大.

(6)“勾股容方”是我國(guó)古代優(yōu)秀的文化遺產(chǎn).在直角邊分別為a、b的直角三角形中，內(nèi)接一個(gè)正方形，求其邊長(zhǎng)內(nèi)接一個(gè)矩形，問(wèn)何時(shí)內(nèi)接矩形的面積最大？并分別比較此時(shí)內(nèi)接矩形、正方形的周長(zhǎng)和面積的大小.

5 教材研究范式應(yīng)轉(zhuǎn)變

行為主義學(xué)習(xí)理論、變式教學(xué)理論、理性思維的認(rèn)知調(diào)控理論、情境認(rèn)知理論都指出，數(shù)學(xué)知識(shí)要不斷涵化，不斷運(yùn)用，才能為學(xué)習(xí)者所掌握.提倡某種教學(xué)理論或方法，卻不提供理論運(yùn)用的實(shí)例，及各種教學(xué)資源，教師很難用得到課堂上.為教師提供足夠的資源，是相當(dāng)重要的.基于知識(shí)結(jié)果理解的引入或教學(xué)之所以能流行，原因之一在于有很多研究考試命題、解題的人員，考試中心的、教研室的、民間的，提供了大量的教學(xué)資料，教師只要稍加整理就可以在課堂上運(yùn)用，而且效果還不錯(cuò).而基于過(guò)程探究的引入或教學(xué)之所以難以開(kāi)展，不能怪教師理念不先進(jìn)，而是相關(guān)的配套服務(wù)措施或資源跟不上，有的教師心有余而力不足，不具備開(kāi)展真正的以問(wèn)題為導(dǎo)向的研究性學(xué)習(xí).根據(jù)我們的研究，三維課程目標(biāo)和學(xué)科核心素養(yǎng)并不矛盾，兩者是一般與特殊，面上與具體點(diǎn)的關(guān)系.[4]作為理論研究者，教師教育研究者應(yīng)做好服務(wù)工作.

數(shù)學(xué)史是一座豐富的寶藏，HPM應(yīng)更有為，應(yīng)從數(shù)學(xué)史中挖掘出更多的研究性教學(xué)資源，以供教學(xué)之用，為教學(xué)理念的實(shí)施提供技術(shù)上的支持或指導(dǎo)，引導(dǎo)教師學(xué)會(huì)從研究的視角研讀教材[5-7].

另外，無(wú)論哪種導(dǎo)入或引入法，其前提條件是學(xué)生愿意學(xué)，因此抓住學(xué)生的心理，然后科學(xué)地引導(dǎo)他們，做到教育和科學(xué)相統(tǒng)一.