章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

眾所周知，近代數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的誕生，這也是因應(yīng)了時(shí)代發(fā)展的需要.文藝復(fù)興使得科技文明獲得新生，近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展使運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律成為自然科學(xué)的中心問(wèn)題，由此而迫切需要一種新的數(shù)學(xué)工具.這樣，數(shù)學(xué)就再一次“扮演了先行者、奠基者的角色”，“而其中影響無(wú)比深遠(yuǎn)者首推坐標(biāo)解析幾何和微積分，它們奠定了對(duì)于各種各樣自然現(xiàn)象作深刻的數(shù)理分析的基本工具.”([1],p.164)

解析幾何的重要性決定了它在高中數(shù)學(xué)課程中的地位.除20世紀(jì)50年代外，我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程中歷來(lái)有解析幾何的內(nèi)容，其課程目標(biāo)和要求，都圍繞著使學(xué)生理解和掌握坐標(biāo)法，并用坐標(biāo)法研究直線、圓錐曲線以及其他重要曲線的方程、性質(zhì)和作圖等來(lái)考慮.例如，1986年的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中提出，解析幾何教學(xué)要使學(xué)生：(1)了解解析幾何研究的對(duì)象、方法和意義.(2)掌握直角坐標(biāo)系中曲線和方程的相互關(guān)系；能根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求曲線方程；通過(guò)對(duì)方程的討論掌握曲線的性質(zhì)，畫(huà)出曲線；能運(yùn)用坐標(biāo)法解決有關(guān)問(wèn)題.(3)掌握直線和圓錐曲線的方程、性質(zhì)及其畫(huà)法；能利用坐標(biāo)軸的平移化簡(jiǎn)圓錐曲線方程；了解一些重要曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程.(4)使學(xué)生能夠用運(yùn)動(dòng)、變化和對(duì)立統(tǒng)一的辯證觀點(diǎn)去分析問(wèn)題.([2],p.547)一如既往地，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)強(qiáng)調(diào)解析幾何的學(xué)習(xí)是要讓學(xué)生通過(guò)建立坐標(biāo)系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程；用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合.下面我們根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的上述要求，討論基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的解析幾何教材與教學(xué)問(wèn)題.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)提出：本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，認(rèn)識(shí)直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系；運(yùn)用平面解析幾何方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.本單元內(nèi)容包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發(fā)展.

分析課程標(biāo)準(zhǔn)的上述表述，可以得出如下認(rèn)識(shí)：

首先，解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，以平面直角坐標(biāo)系為研究工具，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何問(wèn)題.這是解析幾何的特征.實(shí)踐中，有的教師熱衷于用平面幾何的方法討論解析幾何中的問(wèn)題，有的老師把坐標(biāo)法簡(jiǎn)單化為“算”，這都背離了解析幾何的思想.坐標(biāo)法的要點(diǎn)確實(shí)是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和推理研究幾何圖形，但這里的運(yùn)算是具有幾何特征的運(yùn)算.

其次，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“在平面直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)平面圖形的幾何特征”，這句話的含義需要認(rèn)真領(lǐng)會(huì).在直角坐標(biāo)系中研究幾何圖形必須發(fā)揮直角坐標(biāo)系的力量，這就要以理解直角坐標(biāo)系的特征為基礎(chǔ).類(lèi)比數(shù)軸，可以發(fā)現(xiàn)平面直角坐標(biāo)系也有“三要素”，即原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和方向.這里，原點(diǎn)起“基準(zhǔn)點(diǎn)”作用，平面直角坐標(biāo)系下的方向有兩個(gè)維度(平面是二維的).與我們的日常經(jīng)驗(yàn)相吻合，水平的橫軸對(duì)應(yīng)于正東、正西方向，鉛錘的縱軸對(duì)應(yīng)于正北、正南方向，而第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限分別對(duì)應(yīng)于東北、西北、西南、東南等方向.平面直角坐標(biāo)系是一個(gè)參照系，由此建立了一個(gè)討論平面圖形性質(zhì)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，其中的“基準(zhǔn)點(diǎn)”、“方向”在幾何問(wèn)題代數(shù)化中起著關(guān)鍵作用.

第三，用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的步驟是：在直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)圖形的幾何特征——建立標(biāo)準(zhǔn)方程——運(yùn)用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)——通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究曲線的位置關(guān)系——應(yīng)用.

結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)提出的本單元學(xué)業(yè)要求：“能夠掌握平面解析幾何解決問(wèn)題的基本過(guò)程：根據(jù)具體問(wèn)題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問(wèn)題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問(wèn)題；根據(jù)對(duì)幾何問(wèn)題 (圖形)的分析，探索解決問(wèn)題的思路；運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論；給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問(wèn)題.”可以發(fā)現(xiàn)，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)完整地理解坐標(biāo)法，在用代數(shù)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化幾何問(wèn)題、用代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)結(jié)論之前，一定要注意用幾何的眼光分析面臨的問(wèn)題，要在直角坐標(biāo)系中把握幾何問(wèn)題和圖形特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)入到形數(shù)轉(zhuǎn)化、代數(shù)運(yùn)算.

2 “直線與圓的方程”的內(nèi)容與要求

2.1 直線與方程

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

(2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

(3)能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

(4)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式).

(5)能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

(6)探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

2.2 圓與方程

(1)回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

(2)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

(3)能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

2.3 對(duì)上述內(nèi)容與要求的認(rèn)識(shí)

初中平面幾何中，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)的方式，學(xué)生了解了兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)到直線的距離的意義及其度量，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行等基本事實(shí)；重點(diǎn)研究了相交線與平行線，知道了用兩條直線交成的角的關(guān)系可以刻畫(huà)相交線的性質(zhì)，掌握了平行線的判定定理和性質(zhì)定理等；知道了平行關(guān)系的可傳遞性.

平面幾何教學(xué)中的一個(gè)明顯感受是：很難給出直線的確切定義，因此關(guān)于直線及其相互關(guān)系的結(jié)論也都給人以“直觀描述”、“很難說(shuō)清楚”的印象.

解析幾何中，借助平面直角坐標(biāo)系，我們可以確切地給出確定直線位置的幾何要素，進(jìn)而通過(guò)代數(shù)語(yǔ)言——二元一次方程，確切地表達(dá)直線這一幾何學(xué)的基本概念.在此基礎(chǔ)上，就可以通過(guò)方程判斷兩條直線的位置關(guān)系，通過(guò)解方程組得到兩條直線的交點(diǎn)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到點(diǎn)到直線的距離公式等等.這樣得出的結(jié)論就達(dá)到了“入微”狀態(tài)，課程標(biāo)準(zhǔn)提出的內(nèi)容與要求就是按這個(gè)思想給出的.同樣地，對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系，平面幾何中只是給出了定性刻畫(huà)，現(xiàn)在我們可以通過(guò)直線的方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、圓心距等對(duì)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系作出精確定量的判斷.

課程標(biāo)準(zhǔn)要求在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.這里關(guān)鍵是要讓學(xué)生懂得如何利用直角坐標(biāo)系刻畫(huà)直線的“方向”這個(gè)要素，這是與平面幾何有質(zhì)的不同的地方，也是學(xué)生不習(xí)慣的.傾斜角從幾何角度刻畫(huà)了直線的方向，斜率從代數(shù)角度刻畫(huà)了直線的方向.

2.4 “直線和圓的方程”的教學(xué)重點(diǎn)

直線與方程、圓與方程的教學(xué)，關(guān)鍵是要使學(xué)生形成對(duì)坐標(biāo)法的基本認(rèn)識(shí)，掌握用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟，形成對(duì)坐標(biāo)法與綜合法的聯(lián)系與差異的深刻體驗(yàn).這就要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用坐標(biāo)法研究幾何圖形的完整過(guò)程：結(jié)合情境描述直線的幾何特征與問(wèn)題，即兩點(diǎn)確定一條直線，或一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線；在直角坐標(biāo)系中用傾斜角(幾何)和斜率(代數(shù))刻畫(huà)直線的方向；建立直線的方程，用代數(shù)語(yǔ)言描述這些特征與問(wèn)題；借助幾何圖形的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的思路，利用直線方程、通過(guò)直觀想象和代數(shù)運(yùn)算求解有關(guān)問(wèn)題，例如：直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離等.圓的方程的教學(xué)重點(diǎn)與此類(lèi)似.在此基礎(chǔ)上，利用方程討論直線與圓的位置關(guān)系.

3 “直線和圓的方程”的內(nèi)容理解與教學(xué)思考

3.1 如何利用平面直角坐標(biāo)系認(rèn)識(shí)確定直線位置的幾何要素

前已指出，平面直角坐標(biāo)系是一個(gè)“參照系”，在平面直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)確定幾何圖形的要素，就是要利用好坐標(biāo)系的基準(zhǔn)作用，其中有兩個(gè)關(guān)鍵要素：位置、方向.

在給定的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的位置與其坐標(biāo)(x，y)一一對(duì)應(yīng)，兩個(gè)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的位置差異用距離公式

來(lái)度量.那么直線的方向該如何刻畫(huà)呢？

我們還是回到最原始的地方.在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸具有確定的方向，有基準(zhǔn)作用.因?yàn)榭坍?huà)“方向差異”的幾何量是角度，選擇與人的直覺(jué)一致的水平線(橫軸)為基準(zhǔn)，將x軸正向與直線向上的方向之間所成的角——傾斜角，作為刻畫(huà)直線方向的幾何量，其取值范圍是[0，π).這樣，平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，以橫軸為基準(zhǔn)，用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.如果再加上一個(gè)定點(diǎn)，那么就能唯一確定一條直線.所以，用“傾斜角”來(lái)刻畫(huà)直線的幾何特征是非常完美的，這也是解析幾何中為什么將“點(diǎn)斜式方程”作為直線方程的“基本式”的原因.

在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線位置的幾何要素有濃厚的解析幾何味道，并且可以和不需要參照系的“兩點(diǎn)確定一條直線”的平面幾何方法進(jìn)行對(duì)照，從而使學(xué)生領(lǐng)悟如何發(fā)揮坐標(biāo)系的作用.所以，教學(xué)中要注重利用傾斜角概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)坐標(biāo)法的內(nèi)涵.

3.2 如何引導(dǎo)學(xué)生研究斜率公式

傳統(tǒng)上，人們用“坡度”作為斜率的現(xiàn)實(shí)原型，這是合理的.但在傾斜角到斜率中間插入“坡度”，在數(shù)學(xué)內(nèi)容的連續(xù)性上稍有遜色.從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程看，這里有兩個(gè)想法是比較自然的：

第一，根據(jù)解析幾何的“基本套路”，從幾何角度引入傾斜角概念后，接著的任務(wù)是“代數(shù)化”，斜率是傾斜角的代數(shù)化；

第二，平面幾何的“基本事實(shí)”是“兩點(diǎn)確定一條直線”，這里是“一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向”確定一條直線，因此它們有內(nèi)在聯(lián)系，這個(gè)“內(nèi)在聯(lián)系”的表達(dá)就是斜率公式.研究同一個(gè)對(duì)象兩種表達(dá)之間的聯(lián)系是數(shù)學(xué)中的基本問(wèn)題.

基于以上兩點(diǎn)，人教A版給出了一種新的處理方法([3]，p.52～54)：

首先，以“由兩點(diǎn)確定一條直線可知，直線l由點(diǎn)P1，P2唯一確定.所以，可以推斷，直線l的傾斜角一定與P1，P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系”提出問(wèn)題.這是在“有邏輯地思考”后合理地提出問(wèn)題，教師要重視利用這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行“如何發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”的教學(xué).

接著，安排“探究”欄目，引導(dǎo)學(xué)生利用向量展開(kāi)有層次的探索：

探究在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α.

(3)一般地，如果直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？

三個(gè)問(wèn)題循著由特殊到一般、由具體到抽象的路徑，其中第一個(gè)問(wèn)題是基礎(chǔ).因?yàn)槠揭坪笾本€的傾斜角不變，所以后面兩個(gè)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為第一個(gè)問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為通過(guò)原點(diǎn)的直線.運(yùn)用向量方法，結(jié)合正切函數(shù)的定義，可以得出結(jié)論.

前兩個(gè)問(wèn)題對(duì)學(xué)生沒(méi)有難度，但需要認(rèn)識(shí)問(wèn)題的立意，進(jìn)行一般性思考，即通過(guò)直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫(huà)這條直線的傾斜角，把直線的傾斜程度代數(shù)化，并且要從這兩個(gè)具體例子中得到啟發(fā)，想到對(duì)一般化的兩個(gè)點(diǎn)需要分4種情況進(jìn)行討論.教科書(shū)沒(méi)有事先給出圖示，是為了給學(xué)生留出充分的自主探究空間.實(shí)際上，這就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法，即從具體事例中發(fā)現(xiàn)和抽象一般規(guī)律，再一般性地提出問(wèn)題，得出普遍成立的結(jié)論.這個(gè)過(guò)程可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

從而利用正切函數(shù)把傾斜角(幾何)對(duì)應(yīng)到R上的實(shí)數(shù)——斜率k(代數(shù))，實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)方法表示方向這一幾何要素的目標(biāo).

教學(xué)中要提醒學(xué)生注意，斜率是把方向代數(shù)化的一個(gè)量，帶有符號(hào).符號(hào)所表達(dá)的幾何要素是方向，所以幾何量帶上符號(hào)，就使幾何量的運(yùn)算包含了“方向的運(yùn)算”.

上述過(guò)程的邏輯性很強(qiáng)，在思維上是自然而然的，但對(duì)學(xué)生的能力要求比較高：

(1)以聯(lián)系的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.確定一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的兩種方式一定有內(nèi)在聯(lián)系，并且可以互化.

(2)需要調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)才能發(fā)現(xiàn)聯(lián)系.這里要調(diào)動(dòng)向量、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，并且要有分類(lèi)討論的意識(shí).斜率與方向向量的坐標(biāo)表示具有內(nèi)在一致性，這也是學(xué)生不容易想到的.

值得指出的是，直線的傾斜角和斜率是解析幾何的開(kāi)端，其難點(diǎn)在于學(xué)生不熟悉“方向的代數(shù)化”中的數(shù)學(xué)方法，根子還在對(duì)直角坐標(biāo)系、角以及向量的特征等最基本概念內(nèi)涵的理解.“方向的代數(shù)化”是理解解析幾何方法的重要契機(jī).

下面簡(jiǎn)單討論一下在直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)與直線相對(duì)位置的方法.除與坐標(biāo)軸平行的直線外，這種相對(duì)位置可以區(qū)分為點(diǎn)在直線的“左上方”、“左下方”、“右上方”、“右下方”等情況，這里的任務(wù)是要利用坐標(biāo)軸的方向，把“上下左右”代數(shù)化.

以“點(diǎn)P0(x0,y0)在直線l：Ax+By+C=0的左上方”為例.不妨設(shè)AB≠0且A>0，如圖1所示，在直角坐標(biāo)系中，上下左右是以坐標(biāo)軸為參照系的，其中橫軸以左右論之，縱軸以上下論之.因此，“點(diǎn)P0在直線l的左上方”這一幾何關(guān)系，意味著過(guò)點(diǎn)P0作x軸的平行線得交點(diǎn)P1(x1，y1)，由“P0在P1的左方”得x0y2.所以

圖1

即

Ax0+By0+C<0.

同理，當(dāng)P0(x0，y0)是直線Ax+By+C=0“右下方”的任意一點(diǎn)時(shí)，都有Ax0+By0+C>0.

綜上可得“同側(cè)同號(hào)”的結(jié)論.

可以發(fā)現(xiàn)，以往的教科書(shū)以及針對(duì)這一內(nèi)容的教研論文，都沒(méi)有以坐標(biāo)軸的左右、上下為參照，將為什么過(guò)點(diǎn)P0作坐標(biāo)軸的平行線的道理解釋清楚，而是以“Ax+By+C中有兩個(gè)參數(shù)x，y，先在直線Ax+By+C=0的一側(cè)取點(diǎn)P(x,y1)，固定y1，考察x變化時(shí)Ax+By1+C的取值符號(hào)變化情況，可以發(fā)現(xiàn)……”的方式得出結(jié)論.顯然，這個(gè)過(guò)程沒(méi)有體現(xiàn)好坐標(biāo)法的真諦：利用平面直角坐標(biāo)系，將幾何語(yǔ)言表達(dá)的點(diǎn)與直線的位置關(guān)系(方位)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言(不等式)表達(dá)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

3.3 如何進(jìn)行點(diǎn)斜式方程的教學(xué)

直線的點(diǎn)斜式方程是學(xué)生在解析幾何中遇到的第一個(gè)“圖形的方程”，它在直線的方程乃至整個(gè)解析幾何中都具有奠基作用.可以看到，直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程都有明確的幾何意義，都涉及確定直線位置的兩個(gè)基本要素：兩個(gè)點(diǎn)或一點(diǎn)和斜率.建立直線的方程時(shí)，直線的斜率處于核心地位，而其他形式的直線方程都可以看成是點(diǎn)斜式方程的變式.

同時(shí)，建立點(diǎn)斜式方程的過(guò)程也具有示范意義.從幾何角度看，在平面直角坐標(biāo)系中，給定一點(diǎn)和一個(gè)方向(傾斜角)，就唯一確定了一條直線.轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，就是給定一點(diǎn)P0的坐標(biāo)(x0，y0)和斜率k，就可以唯一確定一條直線l.

什么叫“唯一確定”？如何用代數(shù)方法表達(dá)“唯一確定”？

順便說(shuō)明，在得出點(diǎn)斜式方程后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：如果給出的幾何條件具有特殊性，那么相應(yīng)的直線的方程也有特殊性，你認(rèn)為哪些情況比較特殊？讓學(xué)生通過(guò)自主探究得出其他形式的直線方程.

3.4 直線的“直”與線性方程

直線是基本幾何圖形，其根本特征是“直”.如何刻畫(huà)直線的直？平面幾何教科書(shū)中為此做出過(guò)各種努力，例如：

點(diǎn)是沒(méi)有部分的，線只有長(zhǎng)度沒(méi)有寬度，直線是它上面的點(diǎn)一樣的平放著的線(歐幾里得，《幾何原本》)；

置一線的一部分于他部分上，沒(méi)有一處不相重的，這叫做直線(《國(guó)定教科書(shū)初中幾何(一) 》，教育部編審委員會(huì)編，華中印書(shū)局，1941)；

一線，打著滾，但其中兩點(diǎn)不離原處，若此線在打滾中各新位置始終與原位置相合，則此線叫做直線(《中國(guó)初中教科書(shū)幾何學(xué) 上冊(cè)》，吳在淵編，中國(guó)科學(xué)圖書(shū)儀器公司，1947)；

線只有一個(gè)向度——長(zhǎng)；點(diǎn)只有位置而無(wú)向度；直線是線上的任何一點(diǎn)都不變更其方向的線；直線由兩條或兩條以上之直線所構(gòu)成；曲線上之每一點(diǎn)均改變其方向(《新三S平面幾何學(xué) 》，Schultze-Sevenoak-Stone著，許彥生譯，開(kāi)明書(shū)店，1948)；

僅有位置、長(zhǎng)短而無(wú)寬狹、厚薄者為線.線上任意二點(diǎn)間之一部分，以任意之方法置于他部分上，能與他部分密密相合者，謂之直線(《高中幾何學(xué)》，陳建功 酈福綿編著，開(kāi)明書(shū)店，1949).

人們發(fā)現(xiàn)，再怎么努力也無(wú)法和初中學(xué)生說(shuō)清楚“直”的含義，于是就采用“混”的辦法，用“包圍著體的是面”、“面和面相交的地方形成線”、“線和線相交的地方是點(diǎn)”，而對(duì)什么時(shí)候線是“直”的，就描述為“一條拉得很緊的線，給我們以直線的形象.直線是向兩方無(wú)限延伸的.”(《幾何(第一冊(cè))》，人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編，2001)

用純粹幾何的方法定義清楚點(diǎn)、直線、平面等幾何基本元素困難重重，但用數(shù)形結(jié)合的方法就可較好地解決這個(gè)問(wèn)題.

顯然，上述關(guān)于直線特征的描述是憑借直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的，特別是“從A(B)到B(A)的方向無(wú)限延伸”的含義不太符合數(shù)學(xué)定義的完備性、純粹性要求.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k，則

這樣，“從A(B)到B(A)的方向無(wú)限延伸”可以表述為：對(duì)于延伸線上異于A，B的任意一點(diǎn)P(x，y)，都有

(*)

由此可見(jiàn)，用斜率表示方向，將直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向相同或相反表示為斜率相等，這就是直線的“直”的代數(shù)表示.

把(*)式化為y-y1=k(x-x1)，這是二元一次方程，是最簡(jiǎn)單基本的二元代數(shù)方程，它對(duì)應(yīng)于一條直線.這是把二元一次方程稱為“線性方程”的理由.

3.5 如何認(rèn)識(shí)各種直線方程之間的關(guān)系

這里討論斜率存在且不為0的直線方程.直線的方程有不同的形式，一個(gè)自然的想法是這些不同形式的方程一定有內(nèi)在聯(lián)系，相互之間可以轉(zhuǎn)化.教科書(shū)一般都以點(diǎn)斜式方程為基礎(chǔ)，通過(guò)“點(diǎn)的特殊化”、“斜率的不同表達(dá)”而得出特定條件下直線方程的特定形式，這些形式的方程反映了直線的某種幾何特征.例如，斜截式y(tǒng)=kx+b中，“斜”指斜率k，“截”指y軸上的截距b，是點(diǎn)斜式方程中的“點(diǎn)”取直線與y軸交點(diǎn)(0，b)時(shí)的特例；兩點(diǎn)式是斜率由兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)確定；截距式中的“截距”就是直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，是兩點(diǎn)式的特例；等等.

雖然直線方程的各種形式都有自己的特殊意義，但教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該放在點(diǎn)斜式上，而且在得到點(diǎn)斜式方程后，可以通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，在點(diǎn)斜式方程中，“點(diǎn)”可以有哪些特殊性？當(dāng)斜率用不同條件給出時(shí)方程會(huì)有怎樣的不同形式？等等.另外，兩點(diǎn)式方程

具有對(duì)稱性，教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)表達(dá)形式的優(yōu)美和幾何意義的關(guān)聯(lián).如圖2所示，兩點(diǎn)式方程可以理解為“Rt△P1AP2相似于Rt△P1BP”的代數(shù)表達(dá).

圖2

因?yàn)辄c(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程都是在某種特定條件下的方程形式，如果不滿足這一特定條件，那么就不能用這種形式表示，而方程Ax+By+C=0(其中A，B不同時(shí)為0)不受什么條件限制，所以叫做“一般式方程”.

3.6 如何教點(diǎn)到直線的距離公式

首先，度量是幾何的本質(zhì)所在，而長(zhǎng)度是度量的根本.“兩點(diǎn)之間線段最短”是歐氏幾何的本質(zhì)所在，把兩點(diǎn)所確定的線段長(zhǎng)度定義為這兩點(diǎn)間的距離，再以此為基礎(chǔ)，利用空間元素的垂直關(guān)系，解決各種各樣的距離問(wèn)題，這就是幾何中解決距離問(wèn)題的基本思路.點(diǎn)到直線的距離公式是知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，是一個(gè)內(nèi)涵豐富的內(nèi)容，這一點(diǎn)要讓學(xué)生體會(huì)到.

(1)從定義出發(fā)推導(dǎo)公式

為了充分發(fā)揮這一內(nèi)容的育人價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟坐標(biāo)法的真諦，使他們學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，人教A版從點(diǎn)到直線距離的定義出發(fā)，基于定義所給定的幾何要素，利用垂線求交點(diǎn)，再用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.這個(gè)方法本質(zhì)上就是一步步地把點(diǎn)到直線距離的幾何定義翻譯成代數(shù)表達(dá)，其特點(diǎn)是思路自然、方法“大眾化”，不涉及什么策略性知識(shí)，可以程序化，但解方程組的操作過(guò)程復(fù)雜，需要熟練的代數(shù)變換技能，其價(jià)值是：“常規(guī)思路”往往代表了“通性通法”，大巧若拙，其中蘊(yùn)含的智力價(jià)值應(yīng)當(dāng)引起重視.

(2)反思過(guò)程，改進(jìn)方法

另外，方法的“繁”與“簡(jiǎn)”可以相互轉(zhuǎn)化，“簡(jiǎn)”是從“繁”中演化出來(lái)的.為此，人教A版設(shè)置了一個(gè)“思考”([3]，p.75)：

上述方法中，我們根據(jù)定義，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，思路自然但運(yùn)算量較大.反思求解過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運(yùn)算的原因了嗎？由此能否給出簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法？

接著做了如下引導(dǎo)：

能否直接求出(x-x0)2+(y-y0)2？

上述問(wèn)題意在引導(dǎo)學(xué)生梳理和反思解題過(guò)程，找出引起復(fù)雜運(yùn)算的原因，并進(jìn)一步探尋簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法.不難發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)過(guò)程中有許多“無(wú)用功”，原因是整個(gè)運(yùn)算過(guò)程非常機(jī)械，沒(méi)有做到“瞻前顧后”.如果從整體上考慮 (x-x0)和(y-y0)，就可得到以下簡(jiǎn)化的思路：

如圖3，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，Q(x，y)是垂足，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作y軸和x軸的平行線交于R，則|QR|=|x0-x|，|RP|=|y0-y|.將方程組

圖3

變形為

就能容易地求出x0-x，y0-y，進(jìn)而得到點(diǎn)到直線的距離公式.

(3)數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化

也可以從特殊到一般地推導(dǎo).顯然，最特殊的情形是直線與坐標(biāo)軸平行.

圖4

對(duì)于一般情形，設(shè)l：Ax+By+C=0(AB≠0)，如何利用“特殊”情形？也就是如何將“一般”化歸為“特殊”？如圖5，過(guò)P0(x0，y0)作平行于x軸或y軸的直線，可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)作x軸的平行線交l于P1(x1，y1)而實(shí)現(xiàn)的轉(zhuǎn)化比較簡(jiǎn)單：

設(shè)直線l的傾斜角為α，

則點(diǎn)P0到直線l的距離d=|P0P1|sinα,

又

所以

圖5

由上所述，數(shù)形結(jié)合地考慮，要實(shí)現(xiàn)“簡(jiǎn)化”，主要是利用平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)來(lái)表示點(diǎn)到直線的距離，通過(guò)特殊與一般之間的關(guān)聯(lián)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而在轉(zhuǎn)化過(guò)程中又要利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，使距離的表示更加簡(jiǎn)單.所以，教學(xué)中，教師應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合思想，在如何用相關(guān)元素表示距離上進(jìn)行引導(dǎo)，并在調(diào)動(dòng)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)上加以點(diǎn)撥.

(4)借助向量，反映本質(zhì)

圖6

(5)廣泛聯(lián)系，探尋簡(jiǎn)捷方法

一個(gè)好的問(wèn)題是值得不斷挖掘的，在探尋各種解決方法的過(guò)程中總會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，同時(shí)也會(huì)促進(jìn)不同知識(shí)之間的聯(lián)系，從而優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)思維品質(zhì)的發(fā)展，這是因?yàn)椴煌蠼夥椒ǖ膶?shí)質(zhì)是知識(shí)的不同聯(lián)系方式，學(xué)生能想到新方法，就說(shuō)明他對(duì)相關(guān)知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法具有較為深刻的理解.

以各種各樣的距離問(wèn)題為核心，可以將函數(shù)、幾何與代數(shù)、極限與導(dǎo)數(shù)等各種相關(guān)概念(如均值不等式、二次函數(shù)的最值、直角三角形、向量投影、導(dǎo)數(shù)等)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而形成一個(gè)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，可以有效促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的整體性，所以教師要重視距離問(wèn)題的教學(xué)，加強(qiáng)不同求解方法的引導(dǎo).人教A版在完整呈現(xiàn)利用定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間距離、利用向量投影等推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式后，設(shè)置“思考”欄目，在對(duì)兩種方法進(jìn)行比較的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生探索其他推導(dǎo)方法.教學(xué)中，可以將這個(gè)內(nèi)容處理成一個(gè)小的“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”.

3.7 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程

從(x-a)2+(y-b)2=r2，x2+y2+Dx+Ey+F=0可以看到，三個(gè)獨(dú)立條件唯一確定一個(gè)圓的方程，這與“三個(gè)不共線的點(diǎn)確定唯一一個(gè)圓”是一致的.

圓的方程的兩種形式各有特點(diǎn).圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接體現(xiàn)了確定圓的兩個(gè)幾何要素，即圓心的位置和圓的半徑；圓的一般方程的代數(shù)特征很明顯，是Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0在B=0，A=C≠0時(shí)的特例.

顯然，刻畫(huà)“圓”這一特征要比刻畫(huà)“直”容易得多，因此求圓的方程也是比較容易的.另外，圓有許多漂亮的幾何性質(zhì)，在三角函數(shù)、復(fù)數(shù)和平面向量中，學(xué)生已經(jīng)有了一些在直角坐標(biāo)系中討論圓的問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，這些都為豐富圓的方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).實(shí)際上，人教A版在例題和習(xí)題中對(duì)此已經(jīng)給予了關(guān)注.更加豐富的內(nèi)容體現(xiàn)在直線、圓之間的位置關(guān)系上.

3.8 直線、圓的位置關(guān)系

理論上，聯(lián)立直線的方程和圓的方程，通過(guò)方程組的解即可判斷直線和圓之間的位置關(guān)系，也可以利用圓心到直線的距離判斷它們之間的位置關(guān)系.同樣的，我們也可以通過(guò)解兩個(gè)圓的方程的聯(lián)立方程組判斷圓與圓的某些位置關(guān)系，不過(guò)具體求解時(shí)還要根據(jù)問(wèn)題的條件.在研究圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，利用圓的幾何性質(zhì)的方法更加明顯，如圓心距、兩圓相交時(shí)兩圓圓心所在直線垂直平分兩圓的公共弦等等，利用這些性質(zhì)都可以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.另外，相切這一特殊的位置關(guān)系有更大的研究?jī)r(jià)值，相切常常與優(yōu)化問(wèn)題相連，很多優(yōu)化問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為相切問(wèn)題，如最短距離、最大角度等等.