馬杰

摘? 要：數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動的過程應(yīng)包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié). 本節(jié)課是繼學(xué)生完成開題活動后進行的做題展示交流活動. 通過課下小組合作探究成果的展示，結(jié)合形式多樣、主體多元的綜合評價及應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;展示交流;評價;應(yīng)用

一、教學(xué)內(nèi)容解析

數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程. 教材中有關(guān)實際問題的函數(shù)建模是在學(xué)生學(xué)習(xí)完冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)后進一步對函數(shù)應(yīng)用的探究與學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)與實際生活的緊密關(guān)聯(lián)，從實例出發(fā)學(xué)會用函數(shù)模型來解決實際問題. 實際問題的函數(shù)建模是培養(yǎng)學(xué)生高層次思維、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、分析和解決實際問題能力的重要載體. 解決此類問題，需要熟悉問題情境，明確任務(wù)目標(biāo)，探究問題中各變量之間的關(guān)系，抽象概括出熟悉的模型. 脫離以上過程則無法獲得解決實際問題的能力.

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是根據(jù)現(xiàn)實背景和來源于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）第118頁表1的數(shù)據(jù)建立的停車距離數(shù)學(xué)模型，需要使學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型中系數(shù)的意義，并根據(jù)模型得到的結(jié)果就行車安全提出建議.

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》中對數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動的教學(xué)提示，將“函數(shù)應(yīng)用：停車距離問題”課題研究分為三個課時進行. 第1課時，教師組織學(xué)生開展開題交流活動，開題報告應(yīng)該包括選題的意義、文獻(xiàn)綜述、解決問題思路、研究計劃、預(yù)期結(jié)果等，學(xué)生需要撰寫開題報告;第2課時，教師根據(jù)學(xué)生的實際情況引導(dǎo)學(xué)生建立急剎車停車距離模型，理解數(shù)學(xué)模型中系數(shù)的意義，并根據(jù)模型得到的結(jié)果就行車安全提出建議;第3課時，撰寫研究報告和報告研究結(jié)果，由教師組織學(xué)生開展結(jié)題答辯. 本節(jié)課進行的是第2課時的內(nèi)容.

因此，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：讓學(xué)生學(xué)會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，理解模型中系數(shù)的意義.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》要求和教學(xué)內(nèi)容解析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動的基本過程，體會數(shù)學(xué)建模思想.

（2）經(jīng)歷從停車距離問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力;通過模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生的類比歸納能力;從學(xué)科綜合的角度分析制動過程中制動距離與速度的關(guān)系，理解模型中系數(shù)的意義，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力;經(jīng)歷散點圖與實際分析相結(jié)合，猜想函數(shù)模型并利用數(shù)據(jù)求解及檢驗函數(shù)模型的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算能力.

（3）感受數(shù)學(xué)來源于生活并能應(yīng)用于生活，用數(shù)學(xué)來解決生活中的問題，體驗數(shù)學(xué)在生活中的價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣. 在小組探索建模的過程中體驗成功的喜悅，同時培養(yǎng)團隊協(xié)作的意識.

三、學(xué)生學(xué)情分析

本次探究活動的對象為高二年級學(xué)生. 從知識上看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)，對這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)都有了深入的了解. 從能力上看，通過初、高中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了一些將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力，經(jīng)歷基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生具備了靈活應(yīng)用函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題的能力，高中生心智趨向成熟，具備一定的自主學(xué)習(xí)能力、模仿能力和查閱資料的能力，這為數(shù)學(xué)建?；顒拥捻樌_展奠定了良好的基礎(chǔ). 但是學(xué)生所學(xué)知識有限、數(shù)學(xué)建模方法單一，數(shù)學(xué)建模過程中不熟悉數(shù)據(jù)處理軟件，在具體的建?；顒又袝龅胶芏嗬щy，需要教師的適時引導(dǎo).

因此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：在數(shù)學(xué)建?；顒又薪⒛Ｐ?，并選擇合適的模型.

四、教學(xué)策略分析

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生思維的重要學(xué)科. 在實際教學(xué)活動中，不僅要使學(xué)生“知其然”，而且要使學(xué)生“知其所以然”，讓其了解探究問題的一般過程和方法. 在實際教學(xué)中，當(dāng)遇到情境比較復(fù)雜的問題時，教師往往先要幫助學(xué)生“掃清障礙”，使學(xué)生把注意力集中到問題中的關(guān)鍵字、詞、句上，理清問題中量與量之間的關(guān)系，這樣學(xué)生就不會“誤入歧途”，課堂教學(xué)才得以順利進行. 在這個過程中，如果教師強加給學(xué)生“正確”的解決問題的方法，而并非由學(xué)生自己經(jīng)過分析、抽象得到解決問題的方法，即使學(xué)生在課后能夠做出與例題相似的題目，也并不能說明學(xué)生具備了解決問題的能力，且最終會導(dǎo)致很多學(xué)生遇到“老師沒講過”的題目就束手無策. 數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生高層次思維的重要載體. 在教學(xué)中，教師要勇于放手，要在學(xué)生獨立思考和解決問題的基礎(chǔ)上進行總結(jié)，切實提高學(xué)生解決問題的能力.

依據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)建?；顒拥囊?，以及第1課時的內(nèi)容與開展方式，本節(jié)課采用“展示—評價—總結(jié)—應(yīng)用”的模式進行教學(xué)，從學(xué)生的展示活動入手，通過學(xué)生自評、互評與教師評價相結(jié)合的方式實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點、突破難點，通過模型應(yīng)用不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)從實際生活中來又應(yīng)用于實際生活，也讓學(xué)生明白遵守法律、法規(guī)的重要性，實現(xiàn)本節(jié)課的育人目標(biāo). 本節(jié)課采用多媒體和信息技術(shù)輔助教學(xué)，對不同組學(xué)生的不同做法進行展示，鼓勵學(xué)生積極主動地從不同角度闡述自己的想法，并及時給予肯定，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有成就感，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

五、教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課的課堂主體設(shè)計分為：前情回顧、交流展示、評價提升、拓展應(yīng)用、反思小結(jié)、模型延伸.

1. 前情回顧

回顧梳理：教師對上節(jié)課開展的開題報告展示交流活動進行梳理總結(jié).

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會課題研究活動需要經(jīng)歷選題、開題、做題、結(jié)題的完整過程. 上節(jié)課已經(jīng)完成了開題展示交流活動，接下來該進行做題展示交流活動，為引出今天的活動主題做好鋪墊.

活動掠影：展示各小組課下數(shù)學(xué)建?；顒拥恼掌? 同時，教師通過激勵性語言對學(xué)生課下的積極探究、團結(jié)協(xié)作予以肯定.

【設(shè)計意圖】提高學(xué)生探究、學(xué)習(xí)本節(jié)課的積極性，也為本節(jié)課的開展?fàn)I造良好的學(xué)習(xí)氛圍.

2. 交流展示

教師課前對各小組的數(shù)學(xué)建模成果進行收集與比對，選擇具有代表性的小組開展展示交流活動，但提前不告知學(xué)生，以免影響其他學(xué)生的積極性.

（1）小組1展示交流.

① 模型分析. 在駕車行駛的過程中，從司機看到意外狀況的發(fā)生到?jīng)Q定剎車到汽車最終停止的過程中汽車行駛的距離叫做停車距離. 小組成員認(rèn)為停車距離由反應(yīng)距離和制動距離兩部分組成，如圖1所示，即停車距離 = 反應(yīng)距離 + 制動距離. 設(shè)停車距離為[d]，反應(yīng)距離為[d1]，制動距離為[d2]，則[d=d1+d2].

我們知道，影響停車距離的因素有很多. 例如，汽車剎車前的速度、司機的反應(yīng)時間、車輛的性能、道路狀況、天氣狀況等. 通過對實際問題進行分析，可以得到影響停車距離的主要因素是汽車剎車前的速度和司機的反應(yīng)時間.

② 模型假設(shè). 為方便研究停車距離問題，從考慮影響停車距離的主要因素——汽車行駛速度和司機反應(yīng)時間的角度出發(fā)，需要進行如下假設(shè)：假設(shè)車型、輪胎類型、路面條件都相同，汽車無超載，剎車系統(tǒng)的機械狀況、輪胎狀況、天氣狀況及司機狀態(tài)都良好;假設(shè)汽車在平直的道路上行駛，司機緊急剎車，一腳把剎車踩到底，汽車在剎車過程中未發(fā)生轉(zhuǎn)向;假設(shè)汽車在反應(yīng)時間內(nèi)做勻速直線運動，制動過程中做勻減速直線運動，制動力所作的功等于汽車動能的減少量.

③ 研究反應(yīng)距離與速度之間的關(guān)系.

反應(yīng)距離與速度之間的關(guān)系如表1所示.

結(jié)合表1繪制如圖2所示的散點圖. 根據(jù)散點圖及實際分析，得到反應(yīng)距離與速度成正比. 設(shè)想反應(yīng)距離 = 反應(yīng)時間 × 剎車前速度. 通過查閱資料與試驗操作發(fā)現(xiàn)正常人的反應(yīng)時間約為0.2 ～ 0.5秒.

重新建立模型. 反應(yīng)距離 =[k1]× 剎車前速度，即[d1=k1v]，其中[v]為剎車前的速度，系數(shù)[k1]為除汽車速度外反應(yīng)時間及其他因素對反應(yīng)距離的綜合影響. 將速度與反應(yīng)距離分別代入[d1=k1v]求出相應(yīng)的[k1]的值，再求出其平均值作為[k1]的值，得到[d1=0.209 633 346v].

⑤ 研究制動距離與速度之間的關(guān)系.

制動距離與速度之間的關(guān)系如表3所示.

總結(jié)：通過對比發(fā)現(xiàn)誤差較小，小組成員一致認(rèn)定此模型成立.

【設(shè)計意圖】小組展示交流活動是本節(jié)課非常重要的一個環(huán)節(jié)，是本節(jié)課實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、突出教學(xué)重點、突破教學(xué)難點的有力活動支撐，也是對課下小組探究活動的進一步肯定，為接下來的評價環(huán)節(jié)奠定了基礎(chǔ).

3. 評價提升

（1）學(xué)生自評（小組代表對本小組的模型自評）.

小組1展示代表評價自己小組的建模過程思路清晰，過程是最完整的.

小組2展示代表評價自己小組借助信息技術(shù)進行數(shù)學(xué)建模，方法是最好的.

小組3展示代表評價自己小組的方法獨樹一幟，建模過程簡單、快捷.

（2）小組互評.

開展課堂小組討論活動，通過小組內(nèi)部討論，結(jié)合自己小組的建模情況選定一個模型進行評價，每個小組選派一名代表發(fā)言.

小組1學(xué)生代表：評價小組2的模型. 首先，小組2運用信息技術(shù)建模，使得建模過程更加簡便;其次，小組2在面對趨勢線與散點圖吻合程度較高的模型時運用數(shù)據(jù)比對選擇函數(shù)模型，使得模型誤差較小，值得學(xué)習(xí). 但他們沒有考慮影響停車距離的主要因素——反應(yīng)時間.

小組2學(xué)生代表：評價小組3模型. 小組3運用整體思維對模型進行了認(rèn)知，簡化建立模型的過程，但小組3沒有考慮影響停車距離的主要因素——反應(yīng)時間，檢驗?zāi)Ｐ偷倪^程數(shù)據(jù)比對較少，準(zhǔn)確性值得考量.

小組3學(xué)生代表：評價小組1的模型. 小組1的建模過程有兩個優(yōu)點. 其一，對模型進行了假設(shè)，排除其他因素對建模的影響;其二，小組1善于從所學(xué)的“茶水最佳飲用時間”模型中汲取方法并為己所用，學(xué)以致用和獨特的思維值得學(xué)習(xí). 但是在模型檢驗環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)比對較少，誤差大小有待考量.

小組4學(xué)生代表：評價小組2的模型. 小組2與自己小組的建模方式類似，結(jié)果相同，但解決問題的過程中小組2對散點圖與趨勢線吻合程度較高的趨勢線進行數(shù)據(jù)對比，選擇誤差較小的模型，有利于減少誤差.

小組5學(xué)生代表：評價小組3的模型. 小組3的建模方法比較獨特，直接研究停車距離與速度之間的函數(shù)關(guān)系，方法便捷，減少了很多運算過程.

小組6學(xué)生代表：評價小組1的模型. 小組1通過試驗和查閱資料進行模型檢驗后重新建立模型，做得非常好. 自己小組在建模過程中沒有考慮到這個問題.

【設(shè)計意圖】通過自評與互評，讓學(xué)生感受相互學(xué)習(xí)、交流的重要性和必要性，在發(fā)現(xiàn)他人優(yōu)點的同時也關(guān)注建模活動過程中存在的問題，為后期改進、優(yōu)化模型奠定基礎(chǔ). 同時，讓更多學(xué)生參與到課堂活動中去.

（3）教師評價. 教師對三個模型進行總結(jié)性評價.

① 從誤差分析的角度對模型進行評價.

方式1：“點差法”比較誤差，如表9所示.

“點差法”來源于學(xué)生，實質(zhì)是將函數(shù)模型值與對應(yīng)實際值做差，通過觀察、比較，選擇偏差較小的模型. 基于“點差法”引入“平均誤差法”，具體是對函數(shù)模型值與對應(yīng)實際值做差，求結(jié)果的絕對值，再將所有絕對值的平均值作為“平均誤差”比較誤差.

方式2：“平均誤差法”比較誤差，如表10所示.

② 從數(shù)學(xué)建模的過程對模型進行評價.

首先，教師從什么是數(shù)學(xué)建模活動及函數(shù)建?；静襟E的角度出發(fā)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)建?；顒蛹捌浠静襟E. 提出問題，讓學(xué)生思考三個模型中哪個模型的建模過程更加完善. 其次，教師帶著學(xué)生一起總結(jié)回顧小組1的數(shù)學(xué)建模過程. 最后，鼓勵學(xué)習(xí)小組之間相互學(xué)習(xí)、取長補短，對自己小組的模型進行優(yōu)化.

【設(shè)計意圖】教師評價環(huán)節(jié)是非常重要的一個環(huán)節(jié)，不僅是教師“教”的主導(dǎo)地位的重要體現(xiàn)，也是實現(xiàn)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)、突出重點、突破難點的重要載體.

4. 拓展應(yīng)用

應(yīng)用1：法律、法規(guī)中相關(guān)數(shù)據(jù)的解釋.

《中華人民共和國道路交通安全法實施條例》第六十條：機動車在道路上發(fā)生故障或者發(fā)生交通事故，妨礙交通又難以移動的，應(yīng)當(dāng)按照規(guī)定開啟危險報警閃光燈，并在車后50米至100米處設(shè)置警告標(biāo)志，夜間還應(yīng)當(dāng)同時開啟示廓燈和后位燈. 第八十條：機動車在高速公路上行駛，車速超過每小時100千米時，應(yīng)當(dāng)與同車道前車保持100米以上的距離，車速低于每小時100千米時，與同車道前車距離可以適當(dāng)縮短，但最小距離不得少于50米.

《中華人民共和國道路交通安全法》第六十八條：機動車在高速公路上發(fā)生故障時，應(yīng)當(dāng)依照本法第五十二條的有關(guān)規(guī)定辦理;但是，警告標(biāo)志應(yīng)當(dāng)設(shè)置在故障車來車方向一百五十米以外，車上人員應(yīng)當(dāng)迅速轉(zhuǎn)移到右側(cè)路肩上或者應(yīng)急車道內(nèi)，并且迅速報警.

問題：結(jié)合我們所建立的函數(shù)模型，說一說法律法規(guī)中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)“50米至100米”“100米以上、不得少于50米”“一百五十米以外”建立的依據(jù)是什么？

例如，選擇誤差較小的模型[d=0.010 6v2-0.410 2v+][16.669]來解決問題，如表11所示.

【設(shè)計意圖】利用模型解決實際生活中的問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活，從而解決生活中的問題，是實現(xiàn)本節(jié)課育人目標(biāo)的重要載體. 讓學(xué)生了解法規(guī)內(nèi)容，體會法規(guī)中數(shù)據(jù)的科學(xué)性，明確遵守法律、法規(guī)的重要性，也為行車安全提出了建議.

5. 反思小結(jié)

學(xué)生回憶本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師引導(dǎo)學(xué)生從多方面來敘述，學(xué)生自述，教師補充總結(jié)，完善板書. 由于時間關(guān)系，很多學(xué)生都意猶未盡，課下讓學(xué)生寫下學(xué)習(xí)本節(jié)課的收獲與體會.

（1）函數(shù)建模的基本步驟，如圖13所示.

[實際背景分析發(fā)現(xiàn)][提出問題數(shù)據(jù)采集][分析] [實際問題的解][檢驗函數(shù)模型][求解函數(shù)模型][符合實際] [選擇函數(shù)模型] [不符合實際][圖13]

（2）學(xué)法、知法、守法.

6. 模型延伸

（1）問題思考.

《中華人民共和國道路交通安全法》第二十二條：機動車駕駛?cè)藨?yīng)當(dāng)遵守道路交通安全法律、法規(guī)的規(guī)定，按照操作規(guī)范安全駕駛、文明駕駛. 飲酒、服用國家管制的精神藥品或者麻醉藥品，或者患有妨礙安全駕駛機動車的疾病，或者過度疲勞影響安全駕駛的，不得駕駛機動車. 任何人不得強迫、指使、縱容駕駛?cè)诉`反道路交通安全法律、法規(guī)和機動車安全駕駛要求駕駛機動車.

提出問題：司機疲勞駕駛或酒后駕駛對停車距離有什么影響？

【設(shè)計意圖】問題思考的設(shè)置既是課堂育人功能的延伸，也為下一次數(shù)學(xué)建模活動的開展做好鋪墊.

（2）作業(yè)布置.

基礎(chǔ)作業(yè)：完成學(xué)案上的第1小題和第2小題.

【設(shè)計意圖】學(xué)生獨立完成，考查學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型及應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的能力.

拓展作業(yè)：① 完成“函數(shù)應(yīng)用：停車距離問題”課題研究結(jié)題報告;② 以小組為單位收集司機在疲勞駕駛或酒后駕駛的狀態(tài)下停車距離的相關(guān)數(shù)據(jù)，為下一次數(shù)學(xué)建?；顒诱n做好準(zhǔn)備.

【設(shè)計意圖】為第3課時結(jié)題交流活動的開展和下一次數(shù)學(xué)建?；顒幼龊脺?zhǔn)備，課后小組合作完成.

六、課后反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計建立在“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教育理念上，融入了《標(biāo)準(zhǔn)》的思想內(nèi)涵. 《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出要讓學(xué)生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，強調(diào)了學(xué)生親身經(jīng)歷建模過程的重要性. 因此，本節(jié)課從學(xué)生的展示活動出發(fā)，通過學(xué)生的展示，結(jié)合學(xué)生和教師的評價實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計中突出體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位. 經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐活動后，對于數(shù)學(xué)建模活動的開展有以下幾點思考.

1. 數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展應(yīng)該常態(tài)化、系列化

在實際教學(xué)活動中，有些教師和學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的重視程度不夠，在教授這部分內(nèi)容時，按照教材完成教學(xué)任務(wù)后將更多的時間留給了“刷題”. 這次建模活動中學(xué)生表現(xiàn)出非常高的積極性，學(xué)生的綜合能力得到了明顯提升. 數(shù)學(xué)建模活動的開展應(yīng)該常態(tài)化、系列化.

2. 教師指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)注意“度”的把控

學(xué)生在課下進行探究活動時，教師應(yīng)該及時關(guān)注學(xué)生，在必要的時候給予學(xué)生指導(dǎo). 在日常教學(xué)過程中，教師常常強加給學(xué)生“正確”的解決問題的方法，而不是讓學(xué)生自己經(jīng)過分析、抽象得到，這樣學(xué)生解決問題的能力并不能得到真正提升. 因此，對學(xué)生的指導(dǎo)應(yīng)該注意“度”的把握，應(yīng)該如何把握“度”還需要教師在教學(xué)實踐活動中慢慢體會.

3. 嘗試讓學(xué)生親歷選題

本次建?；顒邮窃诮o定課題和相關(guān)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上完成的，學(xué)生未經(jīng)歷選題和收集數(shù)據(jù)的過程，后期開展建?；顒訒r可以嘗試讓學(xué)生經(jīng)歷討論選題和收集數(shù)據(jù)的過程，這更有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

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