劉文惠

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個知識框架不斷建構(gòu)和發(fā)展過程，而數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系和隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性，則決定著是否能建立起合理的知識框架和知識脈絡(luò)。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師不但要教會學(xué)生掌握基本知識，還要引導(dǎo)學(xué)生尋求數(shù)學(xué)本質(zhì)，探知識本質(zhì)之理，展說理課堂之美。

一、理解知識本質(zhì)，在知識的孕伏處尋理

教師不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，更要引導(dǎo)學(xué)生在知識的孕伏處入手，厘清知識的來龍去脈，尋找知識背后的道理，深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

以“循環(huán)小數(shù)”為例，筆者通過舉例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩數(shù)相除的商是無限小數(shù)時，一定會出現(xiàn)循環(huán)。學(xué)生紛紛質(zhì)疑：為什么兩數(shù)相除的商是無限小數(shù)時必然會出現(xiàn)循環(huán)？問題的驅(qū)動推動他們迫不及待地進入新一輪的探究。筆者再出示1.6÷7，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)余數(shù)分別依次出現(xiàn)2、6、4、5、1、3后，余數(shù)再一次出現(xiàn)了2，根據(jù)豎式中最后的余數(shù)2和十分位上的余數(shù)2相同，可推得商的下一位和百分位一樣都是2;并繼續(xù)推導(dǎo)出下一個余數(shù)和百分位上的余數(shù)一樣，那就必然是6，從而知道商的下一位一定是8。如果繼續(xù)往下除，必然接著依次出現(xiàn)余數(shù)4、5、1、3，商一定是接著出現(xiàn)5、7、1、4。這樣，商的小數(shù)部分將會不斷重復(fù)出現(xiàn)“285714”這組數(shù)字。學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)，若除數(shù)是7，余數(shù)只有0～6這七種可能。如果余數(shù)是0，商是有限小數(shù);如果余數(shù)不是0，則1～6這六個數(shù)作為余數(shù)都出現(xiàn)過之后，六個數(shù)中必然還有某個數(shù)作為余數(shù)再次出現(xiàn)。而余數(shù)的重復(fù)出現(xiàn)必然導(dǎo)致商的循環(huán)。

教師進一步追問：“如果把除數(shù)改成其他數(shù)呢？例如78.6÷11也會出現(xiàn)這樣的規(guī)律嗎？”學(xué)生再一次進行探究，當(dāng)余數(shù)出現(xiàn)5、6后，余數(shù)再一次出現(xiàn)了5，根據(jù)豎式中最后的余數(shù)5和十分位上的余數(shù)5相同，可推得商的下一位是4，并繼續(xù)推導(dǎo)出下一個余數(shù)必然是6，從而知道商的下一位一定是5，如果繼續(xù)往下除，一定是接著出現(xiàn)余數(shù)5、6，商重復(fù)出現(xiàn)4、5。學(xué)生發(fā)現(xiàn)把除數(shù)改成其他數(shù)也是一樣的道理，因為“余數(shù)一定比除數(shù)小”的規(guī)則依然適用，因此可能出現(xiàn)的余數(shù)只能是有限個，當(dāng)有限個的余數(shù)都出現(xiàn)之后，必然還有某個數(shù)作為余數(shù)再次出現(xiàn)，只要余數(shù)出現(xiàn)重復(fù)，商就會出現(xiàn)循環(huán)。所以兩數(shù)相除的商是無限小數(shù)時，必然會出現(xiàn)循環(huán)。

如此過程經(jīng)歷了從經(jīng)驗歸納到邏輯推理的轉(zhuǎn)化，從一個例子擴展到一類例子，從舉例說明上升到結(jié)論論證。在自主探究的過程中，學(xué)生面對一次又一次的困惑，學(xué)會在質(zhì)疑中追問，認(rèn)知逐漸逼近數(shù)學(xué)知識深處的道理。

二、把握知識本質(zhì)，從知識的本源悟理

數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)呼喚講道理的課堂。教學(xué)關(guān)鍵處，教師要舍得花時間讓學(xué)生深入探究、深入思考，去追溯數(shù)學(xué)知識的本源，經(jīng)歷自主說理、辯理、明理的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識本質(zhì)之理。

以“三角形的穩(wěn)定性”為例，學(xué)生通過擺小棒的實驗，知道了三角形具有穩(wěn)定性?？墒?，學(xué)生還是不理解為什么三角形會有這樣的穩(wěn)定性。教學(xué)中，教師給學(xué)生提供了一個用木條制作的角的學(xué)具，在強烈探究欲望的驅(qū)動下，學(xué)生投入了新的實驗探究。用兩根木條制作成一個角，由于角的兩條邊可以隨意旋轉(zhuǎn)，所以角的大小可以任意的變大、變小。怎樣可以讓這個角的大小保持不變呢？實驗中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用第三根木條把這兩條邊固定起來。第三條邊（如圖1中的邊BC）越短，角1越小，第三條邊越長，角1越大。如果第三條邊的長度固定了，那么角1的大小就被固定了。學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)同樣的道理，對于角2來說，AC的長度固定了，角2的大小就不會改變了;對于角3來說，AB的長度固定了，角3的大小也就無法改變了。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過合作探究、自主說理，領(lǐng)悟到了三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)屬性，即在三角形ABC中，只要保證三條邊長度不變，三個角的大小就分別被三條邊固定了，三角形的形狀和大小自然就不會再改變了。

三、挖掘知識本質(zhì)，從規(guī)則的背后明理

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)規(guī)則的合理性和必要性，使學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角切實知道它是什么，還要真正明白為什么。教師要敢于放手，讓學(xué)生在深入探究的過程中完善思維，在反思質(zhì)疑中深挖規(guī)則背后的知識本質(zhì)，明確數(shù)學(xué)規(guī)定的合理性和必要性。

以“筆算除法”為例，對于筆算除法從高位除起這一法則學(xué)生已經(jīng)達(dá)成共識。但是回顧之前的筆算學(xué)習(xí)，筆算加法、減法、乘法都是從個位算起，為什么筆算除法要規(guī)定從高位除起？很多學(xué)生提出困惑，筆算除法是否也可以從個位除起？課堂中教師不急于評價，放手讓學(xué)生分組深入探究。有的學(xué)生嘗試分小棒，以52÷2為例，如果從小單位分（如圖2），要分三次小棒，也就是要進行三次除法運算，最后再把除的結(jié)果加起來。如果從大單位開始分（如圖3），只要分兩次小棒，也就是只進行了兩次除法的運算。學(xué)生從平均分物的過程發(fā)現(xiàn)，從小單位分比從大單位分的過程麻煩（這在分?jǐn)?shù)位更多的大數(shù)時會體現(xiàn)得更明顯）。所以在平均分的時候，人們更愿意從大單位開始分，這就對應(yīng)著除法豎式中的從高位算起。

有的學(xué)生通過舉例發(fā)現(xiàn)，像369÷3、48÷4這樣被除數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字都能被除數(shù)整除的除法，如果從個位算起，豎式書寫并不會變得復(fù)雜。但是在除法豎式中，更多的是各數(shù)位上的數(shù)平均分后會出現(xiàn)不夠分或者有剩余的情況。在這種情況下，從個位算起，豎式書寫的過程比較復(fù)雜。學(xué)生還以441÷3為例（如圖4），結(jié)合豎式過程有理有據(jù)地闡明道理。因為個位1除以3不夠除，需要從十位退1，用11除以3商是3，余數(shù)2。余數(shù)2和十位上剩余的3一共32，再算32除以3又遇上了個位不夠除的情況，需要從十位再“退1”，算12除以3商是4，接著百位上的4和十位上剩余的2合起來除以3，這時又遭遇了十位不夠除的情況，需要從百位再“退1”……最后還要把幾次除后所得的商相加。

學(xué)生通過辨析明白被除數(shù)的位數(shù)越多，從個位算起時遭遇較高位“退1”的步驟可能越多，計算的過程就更復(fù)雜，并且通過豎式也無法完美展現(xiàn)思維的全過程。而從高位算起，能完整地展現(xiàn)思考和計算的過程，學(xué)生對除法豎式中每一步表示的意義都非常明確。所以從豎式的書寫格式來比較，從高位算起更簡潔。

在課堂上，教師讓學(xué)生從不同角度的說理、辯理，明白了不管是加法、減法和乘法的從個位算起，還是除法的從高位算起，它們的算理在本質(zhì)上是一致的，都是先分后合，計數(shù)相同的計數(shù)單位，加上十進制原則，最后還要符合算法的一致性和簡潔性原則。學(xué)生在追求數(shù)學(xué)核心價值的過程中，思維愈加深入。

（作者單位：福建省福州市長樂區(qū)海峽路小學(xué) 責(zé)任編輯：王振輝）