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        探知識本質(zhì)之理 展說理課堂之美

        2021-09-10 07:22:44劉文惠
        新教師 2021年4期
        關(guān)鍵詞:商是個位筆算

        劉文惠

        數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個知識框架不斷建構(gòu)和發(fā)展過程,而數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系和隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性,則決定著是否能建立起合理的知識框架和知識脈絡(luò)。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中,教師不但要教會學(xué)生掌握基本知識,還要引導(dǎo)學(xué)生尋求數(shù)學(xué)本質(zhì),探知識本質(zhì)之理,展說理課堂之美。

        一、理解知識本質(zhì),在知識的孕伏處尋理

        教師不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,更要引導(dǎo)學(xué)生在知識的孕伏處入手,厘清知識的來龍去脈,尋找知識背后的道理,深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

        以“循環(huán)小數(shù)”為例,筆者通過舉例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩數(shù)相除的商是無限小數(shù)時,一定會出現(xiàn)循環(huán)。學(xué)生紛紛質(zhì)疑:為什么兩數(shù)相除的商是無限小數(shù)時必然會出現(xiàn)循環(huán)?問題的驅(qū)動推動他們迫不及待地進入新一輪的探究。筆者再出示1.6÷7,學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)余數(shù)分別依次出現(xiàn)2、6、4、5、1、3后,余數(shù)再一次出現(xiàn)了2,根據(jù)豎式中最后的余數(shù)2和十分位上的余數(shù)2相同,可推得商的下一位和百分位一樣都是2;并繼續(xù)推導(dǎo)出下一個余數(shù)和百分位上的余數(shù)一樣,那就必然是6,從而知道商的下一位一定是8。如果繼續(xù)往下除,必然接著依次出現(xiàn)余數(shù)4、5、1、3,商一定是接著出現(xiàn)5、7、1、4。這樣,商的小數(shù)部分將會不斷重復(fù)出現(xiàn)“285714”這組數(shù)字。學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn),若除數(shù)是7,余數(shù)只有0~6這七種可能。如果余數(shù)是0,商是有限小數(shù);如果余數(shù)不是0,則1~6這六個數(shù)作為余數(shù)都出現(xiàn)過之后,六個數(shù)中必然還有某個數(shù)作為余數(shù)再次出現(xiàn)。而余數(shù)的重復(fù)出現(xiàn)必然導(dǎo)致商的循環(huán)。

        教師進一步追問:“如果把除數(shù)改成其他數(shù)呢?例如78.6÷11也會出現(xiàn)這樣的規(guī)律嗎?”學(xué)生再一次進行探究,當(dāng)余數(shù)出現(xiàn)5、6后,余數(shù)再一次出現(xiàn)了5,根據(jù)豎式中最后的余數(shù)5和十分位上的余數(shù)5相同,可推得商的下一位是4,并繼續(xù)推導(dǎo)出下一個余數(shù)必然是6,從而知道商的下一位一定是5,如果繼續(xù)往下除,一定是接著出現(xiàn)余數(shù)5、6,商重復(fù)出現(xiàn)4、5。學(xué)生發(fā)現(xiàn)把除數(shù)改成其他數(shù)也是一樣的道理,因為“余數(shù)一定比除數(shù)小”的規(guī)則依然適用,因此可能出現(xiàn)的余數(shù)只能是有限個,當(dāng)有限個的余數(shù)都出現(xiàn)之后,必然還有某個數(shù)作為余數(shù)再次出現(xiàn),只要余數(shù)出現(xiàn)重復(fù),商就會出現(xiàn)循環(huán)。所以兩數(shù)相除的商是無限小數(shù)時,必然會出現(xiàn)循環(huán)。

        如此過程經(jīng)歷了從經(jīng)驗歸納到邏輯推理的轉(zhuǎn)化,從一個例子擴展到一類例子,從舉例說明上升到結(jié)論論證。在自主探究的過程中,學(xué)生面對一次又一次的困惑,學(xué)會在質(zhì)疑中追問,認(rèn)知逐漸逼近數(shù)學(xué)知識深處的道理。

        二、把握知識本質(zhì),從知識的本源悟理

        數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)呼喚講道理的課堂。教學(xué)關(guān)鍵處,教師要舍得花時間讓學(xué)生深入探究、深入思考,去追溯數(shù)學(xué)知識的本源,經(jīng)歷自主說理、辯理、明理的過程,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識本質(zhì)之理。

        以“三角形的穩(wěn)定性”為例,學(xué)生通過擺小棒的實驗,知道了三角形具有穩(wěn)定性??墒?,學(xué)生還是不理解為什么三角形會有這樣的穩(wěn)定性。教學(xué)中,教師給學(xué)生提供了一個用木條制作的角的學(xué)具,在強烈探究欲望的驅(qū)動下,學(xué)生投入了新的實驗探究。用兩根木條制作成一個角,由于角的兩條邊可以隨意旋轉(zhuǎn),所以角的大小可以任意的變大、變小。怎樣可以讓這個角的大小保持不變呢?實驗中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用第三根木條把這兩條邊固定起來。第三條邊(如圖1中的邊BC)越短,角1越小,第三條邊越長,角1越大。如果第三條邊的長度固定了,那么角1的大小就被固定了。學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)同樣的道理,對于角2來說,AC的長度固定了,角2的大小就不會改變了;對于角3來說,AB的長度固定了,角3的大小也就無法改變了。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,通過合作探究、自主說理,領(lǐng)悟到了三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)屬性,即在三角形ABC中,只要保證三條邊長度不變,三個角的大小就分別被三條邊固定了,三角形的形狀和大小自然就不會再改變了。

        三、挖掘知識本質(zhì),從規(guī)則的背后明理

        在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,要讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)規(guī)則的合理性和必要性,使學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角切實知道它是什么,還要真正明白為什么。教師要敢于放手,讓學(xué)生在深入探究的過程中完善思維,在反思質(zhì)疑中深挖規(guī)則背后的知識本質(zhì),明確數(shù)學(xué)規(guī)定的合理性和必要性。

        以“筆算除法”為例,對于筆算除法從高位除起這一法則學(xué)生已經(jīng)達(dá)成共識。但是回顧之前的筆算學(xué)習(xí),筆算加法、減法、乘法都是從個位算起,為什么筆算除法要規(guī)定從高位除起?很多學(xué)生提出困惑,筆算除法是否也可以從個位除起?課堂中教師不急于評價,放手讓學(xué)生分組深入探究。有的學(xué)生嘗試分小棒,以52÷2為例,如果從小單位分(如圖2),要分三次小棒,也就是要進行三次除法運算,最后再把除的結(jié)果加起來。如果從大單位開始分(如圖3),只要分兩次小棒,也就是只進行了兩次除法的運算。學(xué)生從平均分物的過程發(fā)現(xiàn),從小單位分比從大單位分的過程麻煩(這在分?jǐn)?shù)位更多的大數(shù)時會體現(xiàn)得更明顯)。所以在平均分的時候,人們更愿意從大單位開始分,這就對應(yīng)著除法豎式中的從高位算起。

        有的學(xué)生通過舉例發(fā)現(xiàn),像369÷3、48÷4這樣被除數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字都能被除數(shù)整除的除法,如果從個位算起,豎式書寫并不會變得復(fù)雜。但是在除法豎式中,更多的是各數(shù)位上的數(shù)平均分后會出現(xiàn)不夠分或者有剩余的情況。在這種情況下,從個位算起,豎式書寫的過程比較復(fù)雜。學(xué)生還以441÷3為例(如圖4),結(jié)合豎式過程有理有據(jù)地闡明道理。因為個位1除以3不夠除,需要從十位退1,用11除以3商是3,余數(shù)2。余數(shù)2和十位上剩余的3一共32,再算32除以3又遇上了個位不夠除的情況,需要從十位再“退1”,算12除以3商是4,接著百位上的4和十位上剩余的2合起來除以3,這時又遭遇了十位不夠除的情況,需要從百位再“退1”……最后還要把幾次除后所得的商相加。

        學(xué)生通過辨析明白被除數(shù)的位數(shù)越多,從個位算起時遭遇較高位“退1”的步驟可能越多,計算的過程就更復(fù)雜,并且通過豎式也無法完美展現(xiàn)思維的全過程。而從高位算起,能完整地展現(xiàn)思考和計算的過程,學(xué)生對除法豎式中每一步表示的意義都非常明確。所以從豎式的書寫格式來比較,從高位算起更簡潔。

        在課堂上,教師讓學(xué)生從不同角度的說理、辯理,明白了不管是加法、減法和乘法的從個位算起,還是除法的從高位算起,它們的算理在本質(zhì)上是一致的,都是先分后合,計數(shù)相同的計數(shù)單位,加上十進制原則,最后還要符合算法的一致性和簡潔性原則。學(xué)生在追求數(shù)學(xué)核心價值的過程中,思維愈加深入。

        (作者單位:福建省福州市長樂區(qū)海峽路小學(xué) 責(zé)任編輯:王振輝)

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