趙爽 錢守旺

【編者按】社會科學的高速發(fā)展，對人們的數(shù)學素養(yǎng)提出了更高的要求，而這也促使基礎教育必須做出相應的變化?；诖?，兼具能力發(fā)展與實踐操作等豐富內容的數(shù)學拓展課進入了廣大教師的視野。一線教師如何提升自身專業(yè)素養(yǎng)，如何遵循《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》要求、學生發(fā)展規(guī)律等要素設計出高水平的數(shù)學拓展課？本期話題圍繞“小學數(shù)學拓展課的設計與實踐”展開探討。

縱觀數(shù)學史，許多著名的數(shù)學結論都是從猜想開始。雖然數(shù)學猜想的結論不一定正確，但它作為一種創(chuàng)造性的思維活動，是科學發(fā)現(xiàn)的一種重要方法?？梢哉f，數(shù)學猜想不僅是推動數(shù)學理論發(fā)展的強大動力，也是推動科學發(fā)展的強大動力之一。猜想作為一種創(chuàng)造性的思維活動，該怎么教呢？如果能引導學生像數(shù)學家一樣去思考，經(jīng)歷大膽猜想、小心求證的過程，無疑是培養(yǎng)學生猜想能力、提高創(chuàng)新能力、發(fā)展推理能力、激發(fā)學習興趣以提升核心素養(yǎng)的有效途徑?；谝陨纤伎迹P者將世界三大數(shù)學猜想之一的“四色猜想”引入課堂，開發(fā)了五年級思維拓展課。

一、營造寬松的學習氛圍，讓學生敢于猜想

心理專家指出，緊張的學習氣氛制約著人們智慧潛能的發(fā)揮，而寬松民主的學習環(huán)境，可以誘發(fā)學生創(chuàng)新潛能的萌動。一個人的創(chuàng)造力只有在他感覺心理安全和心理自由的條件下，才能獲得最優(yōu)的表現(xiàn)和發(fā)展。學生只有在這樣的課堂環(huán)境中，才會敢想、敢說、敢問、敢猜、敢辯。

《最強大腦》節(jié)目以“讓科學流行起來”為口號，以“讓更多年輕人愛上科學”為目標。節(jié)目中的智力游戲有助于提高選手和觀眾的觀察力、記憶力、空間力、創(chuàng)造力、推理力和計算力。其中有兩期節(jié)目是以“四色問題”為主題的，一期是拿破侖的四色禮物，一期是盧浮宮四色金字塔，正好與本節(jié)課教學內容相契合。因此，創(chuàng)設此情境，無論是形式還是內容，都為接下來的學習埋下伏筆，可謂一舉多得。

課前，先讓學生欣賞一段《最強大腦》比賽視頻。以視頻為媒介，借談話導入新課，消除了緊張的氣氛，拉近了師生的距離，調動了學生的情緒，激發(fā)了學習的興趣，為接下來的猜想從心理上做了充分的準備。課中，現(xiàn)實版的“最強大腦”填色游戲貫穿始終，吸引著學生全程積極參與，加上教師激勵性的評價語言，讓每一個學生都樂于猜想。教師尊重每一個學生的發(fā)言，答錯了也能體面地坐下，讓每一個學生都敢于猜想。

二、設計有趣的推理游戲，讓學生科學猜想

數(shù)學猜想是以一定的數(shù)學事實為根據(jù)，包含著以數(shù)學事實作為基礎的可貴的想象成分。沒有數(shù)學事實作根據(jù)，隨心所欲地胡亂猜想得到的命題不能稱之為“數(shù)學猜想”。數(shù)學猜想通常是應用歸納、類比的方法提出的。歸納猜想是一種由特殊到一般的推理形式，其思維過程為“特例—歸納—猜測”。類比猜想是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維過程為“聯(lián)想—類比—猜測”。四色猜想屬于歸納猜想。不管哪種猜想，都是一種合情推理，其結論具有或然性，不一定正確，需要進一步證明。

基于以上認識，筆者設計了現(xiàn)實版的“最強大腦”推理游戲，給泰森多邊形填色。游戲分初級、中級和高級挑戰(zhàn)三個層級，每一級勝出的學生都有資格進入最后的腦王爭霸賽，讓學生在填色游戲中經(jīng)歷大膽猜想、小心求證的過程，不斷體驗挑戰(zhàn)的樂趣。隨著游戲不斷升級，學生的學習也從淺表逐漸走向深入。具體操作如下。

游戲規(guī)則：給泰森多邊形填色，要求每相鄰兩個多邊形顏色不能相同，使用顏色種類最少、用時最短并且填色均勻者為勝，顯示不全看不到公共邊的兩個圖形視為不相鄰。泰森多邊形對小學生來說是陌生的，但北京水立方像肥皂泡一樣的圖案卻是學生熟悉的，將兩者建立聯(lián)系，一下便拉近了學生和泰森多邊形之間的距離。

游戲從初級挑戰(zhàn)開始，要求按游戲規(guī)則給圖1填色。完成后對比觀察，發(fā)現(xiàn)最少是三種顏色。教師追問：“用四種顏色的能不能減少一種呢？”學生很快發(fā)現(xiàn)，紅色多邊形和黃色多邊形是不相鄰的，可以用同一種顏色來填。因此，把黃色改成紅色即可（圖4）。

游戲需要學生根據(jù)規(guī)則步步推理。既要保證相鄰兩個多邊形顏色不能相同，又要保證使用顏色種類盡可能少。對于規(guī)則，比賽之前筆者沒有做過多的解釋與提醒，學生出錯在所難免。而恰恰是在出錯、糾錯的過程中，提高了學生的推理能力，強化了對游戲規(guī)則的理解，為接下來的猜想埋下伏筆。

游戲進入中級挑戰(zhàn)，要求按游戲規(guī)則給圖2填色。教師先鼓勵學生大膽猜想：“多邊形數(shù)量增多，再用三種顏色，還夠嗎？”大部分學生猜不夠，認為圖形數(shù)量越多，用的顏色種類也越多。大膽猜想，小心求證，是科學研究的基本方法，也是培養(yǎng)學生的科學探究精神和創(chuàng)新能力，發(fā)展合情推理能力的有效措施。缺乏思考的驗證是盲目的，親歷失敗后，教師不用做過多強調，學生自會總結經(jīng)驗教訓，先認真思考，再小心填色，多了理性，少了盲目，使驗證更加有效。通過對比觀察，學生發(fā)現(xiàn)三種顏色不夠，最少用四種。在匯報交流方法時，學生的發(fā)言特別精彩。一個學生說：“我先把中間的多邊形填上藍色，它周圍一圈的多邊形就不能用藍色了，我用‘紅—綠—紅—綠—紅—綠’交替著填，當填到周圍一圈的最后一個時，發(fā)現(xiàn)不增加顏色就撞色了，于是又增加了黃色?！保▓D5）另一個說：“我是先把左下角的一個填上紅色，然后根據(jù)規(guī)則推理，把所有可能填紅色的都填上。再選綠色，把所有可能填綠色的都填上，以此類推，直到填滿?！边@些都是最優(yōu)的策略。筆者的評價“思維縝密、推理嚴謹”直指核心素養(yǎng)，給全班同學指明努力的方向。學生也在對話交流中分享收獲的喜悅，初步學會了科學合理地提出猜想，小心謹慎地驗證猜想。

三、制造尖銳的矛盾沖突，讓學生修正猜想

猜想是一種合情推理，其結論具有或然性。有的猜想被驗證為正確，成為定理，如本節(jié)課研究的四色猜想，現(xiàn)在可以稱為四色定理;有的猜想被驗證為錯誤，如歐拉猜想;還有一些猜想正在驗證過程中，如哥德巴赫猜想。教師在教學過程中需要有意設計，讓學生經(jīng)歷“猜想—修正—再猜想”的過程，體會猜想的道路并不總是一帆風順，有時需要調整方向。

中級挑戰(zhàn)結束后，教師再讓學生用最優(yōu)策略給圖6、圖7填色。很快得出結論：圖6最少用三種顏色，圖7最少用四種顏色。面對結論，學生產(chǎn)生了三個疑問：（1）為什么圖6和圖2多邊形數(shù)量相同，卻用了三種顏色？（2）為什么圖7多邊形數(shù)量較少，卻用了四種顏色？（3）顏色種類的多少，到底和什么有關呢？這些都是筆者期待的很有價值的問題。筆者啟發(fā)學生比較圖6和圖7中間圖形的邊數(shù)，再聯(lián)想涂色過程，很快發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘：圖6中間圖形是六邊形，邊數(shù)為偶數(shù)，周圍相鄰的圖形按照“紅—綠—紅—綠—紅—綠”的順序正好填完，而圖2中間圖形是七邊形，邊數(shù)為奇數(shù)，按照同樣的順序填，最后會單出一個，不增加顏色就撞色，圖7也同樣。由此發(fā)現(xiàn)，顏色種類的多少和中間圖形的邊數(shù)有關。如果中間圖形邊數(shù)是奇數(shù)，則最少需要4種顏色。

教師巧設矛盾沖突，打破了原有的平衡，引發(fā)質疑，激發(fā)學生進一步探究。學起于思，思源于疑。小疑則小進，大疑則大進。新的發(fā)現(xiàn)，迫使學生對之前的猜想進行修正。帶著新發(fā)現(xiàn)，進入游戲的高級挑戰(zhàn)，要求按游戲規(guī)則給圖3填色。學生自覺地觀察“中間圖形”（周圍有一圈多邊形的圖形）邊數(shù)，發(fā)現(xiàn)圖3的“中間圖形”不止一個，并且五邊形、六邊形、七邊形都有。根據(jù)剛才新發(fā)現(xiàn)推測，3種顏色肯定不夠。多邊形的數(shù)量增加了很多，邊數(shù)也復雜了很多，4種也可能不夠，所以猜5種。驗證猜想時，學生又提出填色時能不能只涂一個點代替，在此啟發(fā)下又想到可不可以用數(shù)字代替，省下?lián)Q彩筆的麻煩。學習就是這樣一個認真傾聽、相互啟發(fā)、不斷改進的過程。遇到復雜的問題能想到化繁為簡，用抽象的數(shù)學符號代替填色，說明學生已經(jīng)在自覺地用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界了。

驗證猜想時學生驚奇地發(fā)現(xiàn)，大部分同學的猜想是錯誤的，原來4種顏色能填滿（圖8）。出乎大家預料，并沒有像猜的那樣，多邊形數(shù)量越多，需要的顏色種類越多。合情未必是真理，合情推理得出的結論有可能是對的，也有可能是錯的，這是本環(huán)節(jié)學生最真切的體會。筆者追問：“如果多邊形數(shù)量再增加一倍，甚至更多，你猜結果會怎樣？”學生大膽猜想，不管圖形數(shù)量增加多少，都是最少用4種顏色。此時，學生提出的猜想就是著名的四色猜想。當學生發(fā)現(xiàn)自己的猜想竟和數(shù)學家一模一樣時，心里是滿滿的自豪感。“四色猜想”這節(jié)拓展課的價值不在于了解四色問題是什么，而在于引導學生經(jīng)歷數(shù)學家猜想的過程，學習用數(shù)學思想方法解決問題，感受數(shù)學思想的魅力。

四、感受執(zhí)著的科學精神，讓學生延續(xù)猜想

不經(jīng)邏輯證明的猜想永遠是猜想。經(jīng)過一代又一代數(shù)學家的不懈努力，四色猜想終于得到證明，由四色猜想變成了四色定理。由猜想走向定理的過程充滿了艱辛，但也充滿了魅力，吸引一代又一代數(shù)學家獻出畢生的精力。觀看科普視頻，了解四色猜想證明的過程，學生從中感受到了什么是科學精神。數(shù)學猜想與發(fā)現(xiàn)，就像數(shù)學領域中的兩顆耀眼的明珠，放射著人類智慧的光芒，是科學寶庫中無價的財富。相信數(shù)學家嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，會激勵著學生們在“大膽猜測、小心求證”這條道路上繼續(xù)前行，勇攀科學高峰。

中小學數(shù)學教育的核心目標在于：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。本節(jié)課以培養(yǎng)學生猜想能力為目標，從喜聞樂見的《最強大腦》開始，在層層遞進的填色游戲中推進，在數(shù)學家生命不息、探索不止的故事中升華，在緊張激烈的腦王爭霸賽中結束。將冰冷的美麗還原成火熱的思考，師生共同經(jīng)歷了一段美好的智慧之旅。教師借助一定的活動情境帶領學生超越表層的知識符號學習，進入知識內在的邏輯形式和意義領域，挖掘知識內涵的豐富價值，完整地實現(xiàn)知識教學對學生的發(fā)展價值。

（作者單位：山東省濟南市章丘區(qū)清照小學 北京市朝陽區(qū)教育研究中心）