劉家良
縱觀全國(guó)各地以圓為載體求角大小的中考試題,多以圓周角定理的應(yīng)用為核心,并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)考查,下面舉例介紹.
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[一、結(jié)合等腰三角形性質(zhì)]
等腰三角形的兩腰為半徑,頂角是圓心角.
例1(2020·江蘇·淮安)如圖1,點(diǎn)A,B,C在⊙O上,∠ACB=54°,則∠ABO的度數(shù)是( ).
A. 54° B. 27° C. 36° D. 108°
分析:△ABO是等腰三角形,∠ABO是它的一個(gè)底角. 欲求∠ABO的度數(shù),只需求∠AOB的度數(shù),根據(jù)圓周角定理知∠AOB = 2∠ACB=108°.
解:∵∠ACB=54°,∴∠AOB=2∠ACB=108°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO [=] [12](180° - ∠AOB)=36°. 故選C.
點(diǎn)評(píng):觀察、發(fā)現(xiàn)同弧所對(duì)的圓周角、圓心角,會(huì)用等邊對(duì)等角是解題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).
[二、結(jié)合垂徑定理、“三個(gè)量”的關(guān)系]
過(guò)圓心垂直于弦的直徑,是垂徑定理的條件,同圓中的弧、弧所對(duì)的弦及弧所對(duì)的圓心角這三個(gè)量中若有一組量相等,則其余兩組量分別相等.
例2(2020·湖北·荊門)如圖2,⊙O中,OC⊥AB,∠APC=28°,則∠BOC的度數(shù)為( ).
A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°
分析:由OC⊥AB,得[AC] = [BC],于是∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理得∠AOC = 2∠APC = 56°,進(jìn)而得∠BOC的度數(shù).
解:連接OA,如圖2. 在⊙O中,∵OC⊥AB,∴[AC] = [BC],∴∠AOC = ∠BOC.
由圓周角定理,得∠AOC = 2∠APC=56°,∴∠BOC=56°.
故選D.
點(diǎn)評(píng):通過(guò)垂徑定理和“三個(gè)量”的關(guān)系,就將所求角和已知角間接地轉(zhuǎn)化到同一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角上了.
[三、結(jié)合切線性質(zhì)]
見(jiàn)切線,想垂直. 求與切線相關(guān)的角也要與圓周角定理“打成一片”.
例3(2020·黑龍江·哈爾濱)如圖3,AB為⊙O的切線,點(diǎn)A為切點(diǎn),OB交⊙O于點(diǎn)C,點(diǎn)D在⊙O上,連接AD,CD,OA,若∠ADC = 35°,則∠ABO的度數(shù)為( ).
A. 25° B. 20° C. 30° D. 35°
分析:由AB為⊙O的切線,得AB⊥OA. 所以欲求∠ABO的度數(shù),需求∠AOB的度數(shù),而∠AOB的度數(shù)可根據(jù)圓周角定理求得.
解:∵AB為圓O的切線,∴AB⊥OA,即∠OAB=90°.
∵∠ADC=35°,∴∠AOB=2∠ADC=70°,∴∠ABO=90° - ∠AOB=20°.
故選B.
點(diǎn)評(píng):由圓的切線性質(zhì)得垂直是解題的切入點(diǎn).
[四、結(jié)合圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理]
由圓內(nèi)接四邊形想到其對(duì)角互補(bǔ).
例4(2020·黑龍江·牡丹江)如圖4,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,連接BD. 若[AC] = [BC],∠BDC=50°,則∠ADC的度數(shù)是( ).
A. 125° B. 130° ? C. 135° D. 140°
分析:四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,所以欲求∠ADC的度數(shù),需求∠ABC的度數(shù).由[AC] = [BC],得AC = BC,進(jìn)而得∠ABC = ∠CAB. 由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠CAB = ∠BDC=50°,則∠ABC=50°問(wèn)題得解.
解:連接AC,如圖4,∵∠CAB,∠BDC都為[BC]所對(duì)圓周角,∴∠CAB = ∠BDC=50°. ∵[AC] = [BC],∴AC = BC,∴∠ABC=∠CAB=50°. ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴∠ADC = 180° - ∠ABC = 130°.
故選B.
點(diǎn)評(píng):由“四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O”想到四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵.