彭興強(qiáng)

摘要：初中物理光學(xué)作圖根據(jù)成像原理尋找入射點(diǎn)的作圖非常有趣，特別是其作圖步驟和數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問題極其相似，可見數(shù)學(xué)和物理的緊密聯(lián)系。有不少物理問題采用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決，本文將數(shù)學(xué)問題采用構(gòu)建物理模型進(jìn)行解決，增強(qiáng)了此問題的趣味性。

關(guān)鍵字：將軍飲馬;物理模型;最短問題

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題。

如圖 1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？

解題原理這里不再敘述。解題方案是作出A點(diǎn)關(guān)于小河l的對稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交l于點(diǎn)P。那么AP+BP為最短。

這個作圖法和八年級物理中的一道光路作圖極其相似，如圖 2所示。從A點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)平面鏡反射后到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)成像原理找到入射點(diǎn)P和對應(yīng)的入射光線和反射光線。

做完這兩道題后，同學(xué)們?yōu)槲锢砗蛿?shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性無比驚嘆，又為它們的區(qū)別更為神往。

這里還有一道題更為神秘。

如圖 3，AB可以在平行線mn間平移，P為一定點(diǎn)。當(dāng)AB平移到什么位置時可以使AP+BP最短？

將此題變成物理問題的做法如下：將mn構(gòu)造成帶有滑槽的平行導(dǎo)軌，AB為兩端帶有滾輪的金屬棒，P點(diǎn)為一帶有滑輪的固定點(diǎn)。一根長度適宜的橡皮筋的兩端分別固定在A點(diǎn)和B點(diǎn)，橡皮筋跨過P點(diǎn)的滑輪并且能夠一直處于伸長狀態(tài)，如圖 4所示。將AB在滑槽上滑動后松手，那么AB停下后位于什么位置？

這里的夾角相等與“將軍飲馬”問題又有什么關(guān)聯(lián)呢？且看數(shù)學(xué)求解過程。

在數(shù)學(xué)問題中，如圖 5所示，過P點(diǎn)作n的平行線l。那么AB在mn間的平移等效于P在l上的平移。所以此問題就轉(zhuǎn)化為剛開始描述的“將軍飲馬”問題。解法是作出A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，與l相交于P′點(diǎn)，此時AP′+BP′最小。很容易證明AP′和BP′與l的夾角相等。

所以物理方法和數(shù)學(xué)方法得出的結(jié)果是一致的。

將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成物理模型，不僅可以增強(qiáng)問題的趣味性，還可以將物理和數(shù)學(xué)聯(lián)系得更加緊密，讓人體會物理所含的數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)的物理意義。

參考文獻(xiàn)：

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