湖北省赤壁市第一初級中學(xué)(437300)李道生

湖北省赤壁市蒲圻初級中學(xué)(437300)劉國勝

湖北省赤壁市實驗中學(xué)(437300)石小東

1 問題提出背景

科學(xué)上許多定理公式定律的發(fā)現(xiàn),對現(xiàn)在的我們而言,已無從知曉科學(xué)家當(dāng)初真實的發(fā)現(xiàn)歷程,但追溯定理公式定律的發(fā)現(xiàn)歷程,重新探討發(fā)現(xiàn)之路,對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力是極為重要的途徑;我們不應(yīng)滿足定理公式結(jié)果的傳授,更應(yīng)注重知識探索的發(fā)現(xiàn)過程.每個定理公式不同的分析思路可能有不同的發(fā)現(xiàn)方法,我們應(yīng)盡可能多的尋找不同的發(fā)現(xiàn)方法,并引導(dǎo)學(xué)生比較其中最合乎思維規(guī)律最科學(xué)自然的發(fā)現(xiàn)之路,這才是數(shù)學(xué)教學(xué)價值所在.由此設(shè)想,當(dāng)初科學(xué)家如若按此最合乎思維規(guī)律最科學(xué)自然的發(fā)現(xiàn)之路去分析思考,一定會少走彎路,直接快速發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的定理公式.不斷總結(jié)最佳的發(fā)現(xiàn)之路,優(yōu)化思維方法,是提高自我創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)能力的重要方式,數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)如此挖掘深化,這比簡單做幾道所謂的難題更有意義.

展現(xiàn)數(shù)學(xué)真實發(fā)現(xiàn)歷程的“真實”,不一定是數(shù)學(xué)家當(dāng)初真正的發(fā)現(xiàn)歷程,但一定是符合思維規(guī)律的發(fā)現(xiàn)歷程,可另行獨立發(fā)現(xiàn)之路的發(fā)現(xiàn)方法;科學(xué)上不是常有不同科學(xué)家各自獨立發(fā)現(xiàn)同一數(shù)學(xué)規(guī)律方法的現(xiàn)象嗎?我們的教學(xué)設(shè)計也應(yīng)在學(xué)生不知曉所學(xué)定理公式定律的前提下去重新探索獨立發(fā)現(xiàn)它,這是設(shè)計教學(xué)程序引導(dǎo)學(xué)生進行探索性思維活動所應(yīng)注意的首要問題,使學(xué)生提出和發(fā)現(xiàn)問題成為必然,而不是“撞大運”.

教材給出的數(shù)學(xué)體系是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué),它直接給出發(fā)現(xiàn)的結(jié)果而隱去了發(fā)現(xiàn)的過程,可是這種發(fā)現(xiàn)過程可以加深對知識的理解和記憶,特別是可以有效地發(fā)展創(chuàng)新思維能力.因此,如何從數(shù)學(xué)思維的結(jié)果出發(fā),回溯數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)思維過程,就成為設(shè)計教學(xué)程序的一個重要課題.

再次強調(diào)的是,這里所指的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的思維過程,不是指數(shù)學(xué)家當(dāng)年真實的發(fā)現(xiàn)過程,而是指合乎數(shù)學(xué)思維規(guī)律,適合學(xué)生思維水平與知識水平的經(jīng)過教師加工的發(fā)現(xiàn)過程,稱之為“再發(fā)現(xiàn)過程”.

2 再發(fā)現(xiàn)教學(xué)情景展現(xiàn)

下面將“圓面積公式”再發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)設(shè)計及實施過程以師生對話的形式表述如下,具體說明數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般思維過程及如何設(shè)計再發(fā)現(xiàn)教學(xué)程序引導(dǎo)學(xué)生進行探索性思維活動.

教師:圓面積公式這是大家早已熟悉的,但它是怎樣發(fā)現(xiàn)的?你能發(fā)現(xiàn)它嗎?

學(xué)生:小學(xué)我們學(xué)過圓面積公式的發(fā)現(xiàn)方法:將圓分成若干等份,再拼接成近似矩形,即可由矩形面積公式S=ab發(fā)現(xiàn)圓面積公式S=πR2.

教師:對,這里運用“轉(zhuǎn)化”的思想,通過分割、拼接,將未知面積公式的圓轉(zhuǎn)化為已知面積公式的矩形,由此發(fā)現(xiàn)圓面積公式.其過程為:

圖1

分析以上過程,我們會問:數(shù)學(xué)家怎么會想到將圓分成2n等份(而不是2n+1 等份)?又怎么會想到將此2n等份按兩個半圓(各n等份)展開、對接?既然如此思維過程不是我等“凡夫俗子”所能想到的,難道說數(shù)學(xué)家是“天子下凡”,具有超凡的思維能力?當(dāng)然不是,實際上,如此“發(fā)現(xiàn)過程”并不是數(shù)學(xué)家真實的思維過程,而是“事后諸葛亮”之輩,人為設(shè)計的一種所謂“發(fā)現(xiàn)式教學(xué)程序”,充其量只能算作檢驗(或解釋說明)圓面積公式正確性的一種實驗方法.

評注如此“發(fā)現(xiàn)式教學(xué)程序”并不能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)思維能力,如此類似的有:發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和定理”的所謂“剪拼法”;發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的所謂“度量法”等.

教師:假設(shè)大家從未見過圓面積公式,你能設(shè)計一套自然流暢的符合我們“常人”思維的發(fā)現(xiàn)方法嗎?

學(xué)生:……

教師:如果你不能發(fā)現(xiàn)圓面積計算方法,那么你能發(fā)現(xiàn)其一部分面積的計算方法嗎?

學(xué)生:……

教師:什么是圓的一部分?怎樣得到圓的一部分?

學(xué)生:啊!分割!作半徑可將圓分割成若干部分.

教師:你能求出分割后每一部分的面積嗎?

學(xué)生:……

教師:觀察分割后每一部分的結(jié)構(gòu)形態(tài),再試試看.

學(xué)生:對了!分割后每一部分近似三角形,我們可借助三角形面積公式來計算圓的每一部分的面積.

教師:很好!請計算一下.

教師:反思一下小學(xué)發(fā)現(xiàn)圓面積公式的操作過程:分割→展開→拼接.現(xiàn)在看來完全是畫蛇添足;既然分割后的每一部分近似于三角形,那么,直接由三角形面積公式發(fā)現(xiàn)圓面積公式豈不更快,何必舍近求遠,硬要拼接成近似矩形,再由矩形面積公式去發(fā)現(xiàn)圓的面積公式呢?

另外,由于分割后的圖形是“近似”三角形,故由此所發(fā)現(xiàn)的圓面積公式也給我們一種“近似”的感覺,究竟是否是真正的圓面積公式,我們?nèi)孕拇娼娴贈]有把握.正確與否,最終要經(jīng)過嚴格的邏輯證明才能確定.不過,在證明之前,倘若我們還能采用其它方法發(fā)現(xiàn)同樣形式的圓面積公式,則我們會更進一步相信所獲發(fā)現(xiàn)的正確性,再行證明就不會做徒勞之功.

圖2

你還能用其它方法發(fā)現(xiàn)它嗎?

學(xué)生:……

教師:你還有其它方法獲得圓的一部分嗎?你見過其它形式的圓的一部分嗎?

學(xué)生:對了,圓環(huán)!在小學(xué)六年級的數(shù)學(xué)習(xí)題中經(jīng)常見到這類圖形.

教師:對,圓環(huán)是圓挖去一個同心小圓后的剩余部分,現(xiàn)在的問題是,若發(fā)現(xiàn)了圓環(huán)面積的計算公式,就能由此發(fā)現(xiàn)圓面積的計箅公式嗎?

學(xué)生:能,因為當(dāng)圓環(huán)的內(nèi)圓縮成一點時,圓環(huán)就變成了圓,也就是說,圓可看成是內(nèi)圓周長為零的圓環(huán).因此,發(fā)現(xiàn)了圓環(huán)面積的計算公式也就同時發(fā)現(xiàn)了圓的面積計算公式.

教師:好!你能發(fā)現(xiàn)圓環(huán)面積的計算公式嗎?

學(xué)生:……

教師:請大家仔細觀察圓環(huán)結(jié)構(gòu)特征,看從中有何啟發(fā).

學(xué)生:圓環(huán)中間的寬度處處一樣.(見圖3)

圖3

教師:非常重要,這一特征你能產(chǎn)生什么聯(lián)想,

你能發(fā)現(xiàn)其面積嗎?

學(xué)生:我發(fā)現(xiàn)了!圓環(huán)的面積應(yīng)等于中間的寬度AB乘以它掃過一周所掃過的周長C,C應(yīng)取正中間那一個圓的周長.即

教師:你能解釋一下,你作出這一猜想的理由嗎?

學(xué)生:說不清楚,但我總感到只有這樣計算才合理些.

教師:大家能幫助他把理由講清楚嗎?

學(xué)生:……

教師:我們知道,丙同學(xué)是在看到圓環(huán)的特征——中間寬度處處相同的前提下,作出猜想的,大家能由此幫他作出解釋嗎?

學(xué)生:……

教師:什么圖形與圓環(huán)有類似特征?

學(xué)生:平行線,

教師:對,平行線中間距離處處相等;由此馬上使我們產(chǎn)生類比聯(lián)想,AB繞圓環(huán)一周,正好相當(dāng)于AB沿平行線l1、l2掃過一段路程a(見上圖4 所示),而后者的面積為AB乘以掃過的路程a.于是會想到:圓環(huán)的面積應(yīng)為AB乘以沿圓環(huán)掃過一周的周長C,這應(yīng)是他作出如上猜想的原因.至于如何想到取正中間那一個圓的周長,那即是“平均”思想作用的結(jié)果.

圖4

經(jīng)過剛才的分析,大家還有什么想法?

學(xué)生:老師,圓環(huán)中間寬度不變,但內(nèi)外周長不同,正好類似于梯形特征——梯形上下底平行,從而中間等距,但上下底長不同.由此我想,將圓環(huán)看作一個梯形,上底長為內(nèi)圓周長C內(nèi),下底長為外圓周長C外,高為圓環(huán)寬度AB(AB=R-r),則可借助梯形面積公式發(fā)現(xiàn)圓環(huán)面積公式(見圖5).

圖5

教師:很妙,計算一下試試看.

學(xué)生:

學(xué)生:令r=0,則圓環(huán)內(nèi)圓縮成一點,圓環(huán)變成半徑為R的“整”圓,于是,我們又可發(fā)現(xiàn)半徑為R的圓面積公式:

教師:對!這里,我們又一次感受到類比發(fā)現(xiàn)的重大功能,從圓環(huán)與梯形的結(jié)構(gòu)特征相似,聯(lián)想到其面積的計算方法應(yīng)有相似性,這一重要的思維方法在科學(xué)研究中經(jīng)常發(fā)揮重要的作用,大家應(yīng)細心體會,認真掌握.

以上類比發(fā)現(xiàn)過程可圖示如下:

圖6

評注與前面相比,這里所采用的類比發(fā)現(xiàn)法更具理性成份,想法更高明,結(jié)論更可靠.如果說前面的發(fā)現(xiàn)法為實驗操作法(具有直觀近似性的特點),則后者可視為理性分析法(具有抽象精確性的特點),由此設(shè)計的再發(fā)現(xiàn)教學(xué)程序更利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力,我們應(yīng)鼓勵如此形式的再發(fā)現(xiàn)教學(xué)程序的設(shè)計方法.

教師:大家還有什么見解,盡管表述,不要受我的支配.

學(xué)生:上面的發(fā)現(xiàn)啟發(fā)我,若將圓環(huán)沿AB剪開,再朝相反方向均勻拉伸,且不改變中間寬度,那么圓環(huán)就變成了一個等腰梯形.有些書上說圓環(huán)不能展開,這里怎么展開了呢?

教師:問得好!敢于質(zhì)疑,這正是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要條件之一.但你注意到?jīng)]有,剪開圓環(huán)的地方在變?yōu)樘菪蔚难箝L度增加了(見上圖5).

學(xué)生:這樣看來,還是不能展開.

教師:對,雖然如此,但從圓環(huán)與梯形的結(jié)構(gòu)特征相似方面看,可以說,你將圓環(huán)“理想化”地“展成”了梯形.

學(xué)生:老師,我有一個問題,如果認為圓環(huán)能“理想化”地“展成”梯形,那么我想:圓環(huán)之間的每一個內(nèi)圓周相應(yīng)地展直為梯形兩底之間的一條與底平行的線段,從而兩者之間應(yīng)有一一對應(yīng)相等的關(guān)系.只有這樣,我才認為圓環(huán)能“展成”梯形,才感到“展開”的梯形面積與圓環(huán)的面積相等,否則,我將懷疑上述發(fā)現(xiàn)的正確性.

教師:你上來計算一下試試看.

學(xué)生:如圖7,取圓環(huán)之間的任一內(nèi)圓周,設(shè)半徑為r+h(0 ≤h≤R-r),則其周長為2π(r+h)

圖7

真巧,完全相同,我不懷疑了.

學(xué)生:老師,這里啟發(fā)我作出這一猜想:“兩平面圖形,若能建立線段之間的一一對應(yīng)相等關(guān)系,那么這兩個圖形的面積相等”.

教師:大家對他的猜想的正確性有何看法?

學(xué)生:憑直覺好象是這么回事.

教師:請大家觀察右圖8,看一下以下推導(dǎo)過程:在ΔABC中,令A(yù)C ＞BC,CD⊥AB,很明顯,ΔACD的面積要大于ΔCBD的面積,然而,對于AB的任一條平行線FG而言,如果分別由F、G兩點來作AB的垂線段FH和GJ,則都有FH=GJ,這種對應(yīng)關(guān)系是普遍存在的.換句話說,無論在ΔACD中選擇哪一條垂線段,都可以在ΔCBD中找出一條垂線段與之相等,反之亦然.既然ΔACD與ΔCBD都是由各自的垂線段組合而成,而它們的垂線段之間又有一一對應(yīng)相等的關(guān)系,那么照上同學(xué)的猜想,這兩個三角形的面積應(yīng)該相等了,這顯然與事實不符.

圖8

學(xué)生:真不可思議.

教師:可見,憑直覺的發(fā)現(xiàn)并不完全可靠,只有經(jīng)過實踐檢驗或嚴格的證明,才能斷定發(fā)現(xiàn)的真?zhèn)?

大家還有什么見解,請暢所欲言,各抒己見.

學(xué)生:老師,我們已經(jīng)知道圓環(huán)可看作是“理想化”的等腰梯形;我想:圓作為內(nèi)圓周長為零的圓環(huán),應(yīng)可看作是上底為零的等腰梯形——等腰三角形.其底邊長為圓的周長2πR,高為圓的半徑R,由此,可直接發(fā)現(xiàn)圓的面積公式.即.

學(xué)生:老師,前面你介紹了類比發(fā)現(xiàn)的重要作用,圓與球作為平面與空間的一對對應(yīng)圖形,我們應(yīng)可對照圓面積公式的發(fā)現(xiàn)方法發(fā)現(xiàn)球體積公式,……

教師:妙?繼續(xù)講.

學(xué)生:根據(jù)圓對應(yīng)一個等積的“等腰三角形”,底為圓的周長,高為圓的半徑,則球應(yīng)對應(yīng)一個等積的“等腰圓錐”,底面為球的表面,高為球的半徑.其間的對應(yīng)變化關(guān)系可圖示如下:

圖9

教師:這里,我們又一次看到類比發(fā)現(xiàn)的偉大功能,歷史上,人們對球體積公式的發(fā)現(xiàn),經(jīng)歷了復(fù)雜曲折的過程,這里,被大家輕而易舉地發(fā)現(xiàn)了.可見,科學(xué)的思維方法是進行科學(xué)研究獲得發(fā)現(xiàn)的銳利武器,大家一定要切實掌握好.

3 再發(fā)現(xiàn)教學(xué)程序特征總結(jié)

縱觀圓面積公式發(fā)現(xiàn)過程的“對話”,我們看到,設(shè)計再發(fā)現(xiàn)教學(xué)程序,引導(dǎo)學(xué)生進行探索性思維活動時,必須注意以下幾個問題:

第一,教師親自體驗定理、公式的探索過程,以便憑自己直接真實的感受,制訂出符合思維規(guī)律的教學(xué)程序.

第二,設(shè)計教學(xué)程序,應(yīng)充分暴露數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過程,不掩蓋數(shù)學(xué)思維的任何一個環(huán)節(jié),充分揭示知識的發(fā)展過程.

第三,在引導(dǎo)學(xué)生進行探索性思維活動時,應(yīng)控制學(xué)生的思維朝正確的方向發(fā)展,但又可以不受拘束地自由交換意見.互相啟發(fā),互相補充,克服力所能及的困難.最大限度地調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性.

第四,再發(fā)現(xiàn)方案,要順其自然,合乎情理,不能為了發(fā)現(xiàn)而發(fā)現(xiàn),要讓學(xué)生成為探索者,而不要把學(xué)生看成是老師的工具,為此,要做到:(1)不要回避“發(fā)現(xiàn)”的失敗,相反地,應(yīng)該體現(xiàn)出發(fā)現(xiàn)的曲折過程,讓學(xué)生從成功與失敗的比較中受到教益.(2)要因勢利導(dǎo),不要強行推行教師的預(yù)定方案,必要時要放棄預(yù)定方案,順著學(xué)生的思路前進.

第五,由于發(fā)現(xiàn)思維往往表現(xiàn)為頓悟和靈感,是分析思維的高度簡約,有時連發(fā)現(xiàn)者本身也不明了這個簡約的過程,有講不清發(fā)現(xiàn)過程的現(xiàn)象但是作為教學(xué)過程我們不應(yīng)的停留在這種認識上,因為這樣做,不可能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,特別是直覺思維本身,這樣做實際上是掩蓋了數(shù)學(xué)思維的某些環(huán)節(jié),我們必須對數(shù)學(xué)思維的某些環(huán)節(jié)作慢鏡頭的解剖,找出被它簡約的環(huán)節(jié),為直覺發(fā)現(xiàn)的產(chǎn)生鋪設(shè)一條邏輯通道.

第六,通過探索得到某種結(jié)論固然重要,但我們更著重于總結(jié)獲得這種結(jié)論的思維規(guī)律.

總的說來,數(shù)學(xué)教師是通過自己的創(chuàng)造性思維活動,指導(dǎo)調(diào)控學(xué)生的思維活動,使學(xué)生的思維活動與成功的數(shù)學(xué)思維活動“同步”,以重新獲得數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維已經(jīng)取得的成果,并通過的這個過程,逐步實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家思維結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化,最終達到提高學(xué)生創(chuàng)造性思維活動的目的.