趙炳熒，冀孟達(dá)，王 盟

(西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 710129)

圖譜理論是代數(shù)圖論的一個重要研究課題，而圖的能量則是圖譜理論的重要研究內(nèi)容.圖G的能量是指圖G的鄰接矩陣特征值的絕對值之和.1978年Gutman首次給出了圖的能量的概念[1]，從此圖能量的相關(guān)研究受到了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注，取得了大量的圖能量的研究成果[1-4].2010年，Adiga等[5]首次給出了定向圖斜能量的概念，文獻(xiàn)[10-11]分別研究了競賽圖和定向圖斜能量的一些性質(zhì)，文獻(xiàn)[12-13]分別研究了競賽圖斜能量的下界和定向圖斜能量關(guān)于斜秩和最大度的上界.文獻(xiàn)[6]中Li和Lian提出問題“如何構(gòu)造一些具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類”.在文獻(xiàn)[14]中Ramane等人利用兩個定向圖的聯(lián)圖構(gòu)造了具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類.Adiga等[15]給出了一些新的方法構(gòu)造了等斜能量的定向圖類.劉香香等[16]通過將無向圖上的頂點冠和鄰接冠推廣到定向圖上，構(gòu)造等斜能量定向圖.本文推廣定義了定向圖的廣義頂點冠和廣義鄰接冠，得到了相應(yīng)的斜譜，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了新的具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類.

1 一些定義與引理

這一節(jié)推廣了文獻(xiàn)[16]的定向圖的頂點冠和鄰接冠的定義，并給出了一些有用的引理.

圖1 定向圖和廣義頂點冠Fig.1 The oriented graphs and

圖2 定向圖和廣義鄰接冠★Fig.2 The oriented graphs and the generalized neighborhood corona ★

定義5[18]矩陣A∈Cm×n和B∈Cp×q的直積用A?B表示，具體如下所示：

引理1[17]設(shè)M、N、P、Q為矩陣，若其中M為可逆矩陣，則

若其中Q為可逆矩陣，則

引理2[18]矩陣A∈Cn×n，則矩陣A是正規(guī)矩陣的充分必要條件是，存在酉矩陣Q，使得A酉相似于一個對角陣，即

其中,λ1，λ2，…，λn是A的特征值.

2 主要結(jié)果及證明

本節(jié)給出了定向圖廣義頂點冠和廣義鄰接冠的斜譜，在此基礎(chǔ)上，給出了兩種構(gòu)造具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類的方法.

其中,i=1，2，…，n，j=2，3，…，m，k=1，2，…，n.

證明根據(jù)廣義頂點冠的定義，Gσ的斜鄰接矩陣如下：

其中,

e為m維全為1的列向量.

其中e1=(1，0，0，…，0)T為m維列向量，

則

綜上所述，定向圖Gσ的斜譜如下：

其中,i=1，2，…，n;j=2，3，…，m;k=1，2，…，n.

并且根據(jù)定理1它們的斜譜不同.

圖3 定向圖和Fig.3 The oriented graphs

其中，i=1，2，…，n;j=2，3，…，m;k=1，2，…，n.

證明根據(jù)廣義鄰接冠的定義，Gσ的斜鄰接矩陣如下：

其中，

e為m維全為1的列向量.

其中，e1=(1，0，0，…，0)T為m維列向量，

記

綜上所述，Gσ的斜譜如下：

其中,i=1，2，…，n;j=2，3，…，m;k=1，2，…，n.

證明根據(jù)定理3可以得到Gσ的斜譜，再根據(jù)斜能量的定義，該定理得證.