卓琳芬

（福建省羅源縣教師進(jìn)修學(xué)校附屬小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出了“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的核心概念，其指的是學(xué)生直接或間接參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中所獲得的感性認(rèn)識、理性認(rèn)識、情緒體驗的總和。學(xué)生思維發(fā)展是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的共同聚焦，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生在“做”和“思考”中積淀數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，不斷發(fā)展學(xué)生的思維能力。

一、喚醒已知經(jīng)驗，讓思維發(fā)展有根可尋

數(shù)學(xué)教學(xué)活動的設(shè)計要以學(xué)生原有的基本活動經(jīng)驗為基礎(chǔ)，了解他們參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“前經(jīng)驗”，激活他們原有基本活動經(jīng)驗并尋找新舊知識的聯(lián)結(jié)點，讓新經(jīng)驗在“前有孕伏”中得到積累。

在“平行四邊形面積”的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)有了計量長方形面積時計數(shù)面積數(shù)的“前經(jīng)驗”。因此，在教學(xué)中，我們可以抓住這一思考原點，從引導(dǎo)學(xué)生數(shù)方格開始。我出示了方格紙上兩行三列的一個長方形，（如圖1）讓學(xué)生回顧學(xué)習(xí)“長方形的面積”時是如何計量及推導(dǎo)長方形面積計算公式的。

圖1

從計數(shù)面積單位到發(fā)現(xiàn)規(guī)律并得出運算公式，使學(xué)生回憶起了面積計算的本質(zhì)是對二維面積的度量，是幾個單位面積的累加，成功喚醒了他們“將未知轉(zhuǎn)化成已知”的原有幾何操作經(jīng)驗。平行四邊形面積的推導(dǎo)緣于如何將一個平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個長方形，這個方法對于學(xué)生而言是很難憑空想象而產(chǎn)生的。我做這樣一個活動，先是充分調(diào)動了學(xué)生的原有基本活動經(jīng)驗，然后進(jìn)行了整合、轉(zhuǎn)化，并由此產(chǎn)生新的經(jīng)驗，豐富了學(xué)生的基本活動經(jīng)驗系統(tǒng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)變成了他們下一個基本活動經(jīng)驗的“前經(jīng)驗”。

二、逐層建構(gòu)經(jīng)驗，讓思維源泉聚合內(nèi)生

教師設(shè)計一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)活動，逐層建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從本質(zhì)上就是讓學(xué)生獲得學(xué)科發(fā)展的思維源泉。從數(shù)方格紙出發(fā)，可以引導(dǎo)學(xué)生在推導(dǎo)平行四邊形面積公式的過程中，經(jīng)歷計數(shù)面積數(shù)所涉及到四個層次的活動。

【層次一】一格一格地數(shù)，不滿一格的按半格計算。

數(shù)方格是一種最基本的面積測量方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形和正方形的面積時就遇到過，但像平行四邊形這樣兩邊不成直角的圖形該怎樣數(shù)？教材中有一個規(guī)定：“不滿一格的都按半格計算”。仔細(xì)深究不難發(fā)現(xiàn)，教材中圍成平行四邊形的線段的端點都在方格線的交點上，每個不完整的方格都被線段切割成了兩部分，在這種特定情況下，不滿一格都按半格計算才適用。實際上，還有每個不完整的方格都被線段切割成三部分甚至更多更復(fù)雜的情況，這時不滿一格按半格計算就不能夠準(zhǔn)確計量平行四邊形的面積，具有局限性（如圖2～3）。

圖2

圖3

【層次二】一格一格地移，找到對應(yīng)的格子湊成了整數(shù)格計數(shù)。

不足一個單位的面積究竟要如何數(shù)？按照學(xué)生的思維模式，他們大多數(shù)人會上下移動，把不足一個單位的面積拼湊完整。（如圖4、圖5、圖6）我通過有效設(shè)問：“為什么要移動？不移能數(shù)嗎？”“兩位同學(xué)的移法、數(shù)法一樣嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？”讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：平行四邊形尖角的地方在方格紙上不是完整的小正方形，移動以后通過割補(bǔ)就能得到完整的面積單位。先數(shù)原本就完整的方格，再數(shù)通過割補(bǔ)以后形成的完整方格，或是待割補(bǔ)后都拼成完整方格，再行計數(shù)。這樣，就能讓學(xué)生初步感受到，雖然在移動割補(bǔ)以后圖形的形狀發(fā)生改變，但是面積不變。

圖4

圖5

圖6

【層次三】一整塊地移，用每行幾格×幾行計數(shù)。

學(xué)生經(jīng)歷了上一個活動，積累了割補(bǔ)的幾何操作經(jīng)驗，呈現(xiàn)了更多元化的割補(bǔ)方式。（如圖7）我展示了前兩個學(xué)生的作品，追問：“有沒有更簡便快捷的方法？”引導(dǎo)他們仔細(xì)觀察這些作品，思考有沒有更好的割補(bǔ)方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以從不足一個面積單位的割補(bǔ)到整塊割補(bǔ)，形成完整的長方形。這樣，就順利地從不完整的平面圖形過渡到完整的平面圖形。

圖7

【層次四】用割補(bǔ)的方法，尋找平行四邊形的底、高與長方形長、寬的對應(yīng)關(guān)系。

我繼續(xù)提問：“整塊割補(bǔ)的效率更高，能給我們帶來什么啟示呢？”“剛才是怎么剪下去的？剪在哪里？又是怎么拼的？”學(xué)生大多已學(xué)會過平行四邊形其中一個頂點作高，沿著這條高剪，將三角形和梯形拼接成一個長方形。我更進(jìn)一步地追問：“轉(zhuǎn)化后的圖形，什么變了，什么不變？”學(xué)生通過觀察得出：轉(zhuǎn)化后圖形的形狀發(fā)生改變，但面積是不變的；轉(zhuǎn)化后長方形的長就是原來平行四邊形的底，長方形的寬就是原來平行四邊形的高。（如圖8）

圖8

學(xué)生經(jīng)歷了兩輪計數(shù)面積數(shù)的操作經(jīng)驗，抓住“每行幾個，有幾行”這樣的數(shù)學(xué)幾何模型，在頭腦中開始逐步勾連起平行四邊形和長方形的關(guān)系。根據(jù)長方形面積計算公式，推導(dǎo)得出平行四邊形面積的計算公式S平行四邊形=底×高。

三、調(diào)試遷移經(jīng)驗，讓思維本原持續(xù)涵育

學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動，逐步積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，不斷調(diào)試遷移，融合應(yīng)用，漸至明朗，最后盤旋上升。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的這種特質(zhì)，通過調(diào)試遷移，能讓思維本原持續(xù)涵育。

在“平行四邊形面積”的教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比來發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積數(shù)與長方形邊的長度數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，以突破教學(xué)的難點。進(jìn)而，通過追問：為什么不是用“平行四邊形的底乘鄰邊”來計算平行四邊形的面積？引導(dǎo)學(xué)生理解：底邊一定時，是行數(shù)決定了平行四邊形面積的大小。突出了高的作用。通過問題：為什么要沿高剪開，再進(jìn)行拼接？只能沿一條高剪開嗎？驅(qū)動學(xué)生通過回顧思考，明白了只要沿著平行四邊形的任意一條高剪下來，把長方形的直角“變”出來，就可以把一個平行四邊形轉(zhuǎn)變成一個長方形。（如圖9）

圖9

在思辨的過程中，學(xué)生借助想象、辨析、小結(jié)，使操作、語言與思維有機(jī)結(jié)合，積累了面積公式的推導(dǎo)經(jīng)驗。這樣的轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生把已知經(jīng)驗調(diào)試遷移，一層一層地對對應(yīng)關(guān)系深入理解，對割補(bǔ)法深度認(rèn)識，直指知識的本質(zhì)，為思維的縱深發(fā)展打開了空間。

在平行四邊形、三角形和梯形面積的教學(xué)中，轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗是一脈相承的。在探究三角形、梯形的面積計算公式的推導(dǎo)過程中，學(xué)生所理解的面積公式背后的支撐點，就蘊(yùn)藏在前面所學(xué)知識的基本活動經(jīng)驗之中。在三角形、梯形面積教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生看到我給出的方格紙時，自然地調(diào)試出了經(jīng)驗中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，支撐了對知識點的理解。隨著探究活動的層層深入，圖形之間轉(zhuǎn)化前后的邏輯關(guān)聯(lián)、圖形面積計算公式的推導(dǎo)也水到渠成。

四、整合梳理經(jīng)驗，讓思維內(nèi)涵富有張力

教師設(shè)計的學(xué)習(xí)活動，必須著力于學(xué)生富有層次的“深度學(xué)”，為其今后獨立面對其它同類學(xué)習(xí)內(nèi)容留下認(rèn)知經(jīng)驗和思考方法。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的內(nèi)涵建構(gòu)，應(yīng)該是通過整合建立一定的數(shù)學(xué)思維模式，讓學(xué)生“會想問題”“會做事情”。

圖形面積計數(shù)知識間的聯(lián)系是十分緊密的。在學(xué)習(xí)了平行四邊形、三角形及梯形的面積以后，通過整合梳理積累的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，打通知識塊的整體脈絡(luò)，能讓學(xué)生的思維內(nèi)涵合理外延，走向更深更遠(yuǎn)的地方。

我出示如圖10 中的一組思考題，并提出問題：請你仔細(xì)觀察這組平行線內(nèi)的梯形，有什么發(fā)現(xiàn)？如果繼續(xù)往后想，你會想到什么圖形？往前想呢？

圖10

追問：用梯形的面積計算公式能否算出其它三個圖形的面積？

通過多媒體動態(tài)演示，這組平行線內(nèi)，高一定，當(dāng)梯形的上底和下底之和不變時，面積是守恒的。這種守恒，隨著梯形上下底的不斷變化，演變成其它圖形時依然存在。當(dāng)上述這組平行線內(nèi)的梯形上底為0時，梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切?，S三角形=（0+下底）×高÷2=底三角形×高÷2；當(dāng)梯形的上底和下底相等時，調(diào)整梯形兩腰的角度，梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅位蜷L方形，S平行四邊形=（上底+下底）×高÷2=底×2×高÷2=底×高，同理可得S長方形=長×寬。從數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗出發(fā)，滲透極限思想，能將長方形、平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式勾連整合，如此一來，便巧妙地打通了計算長方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積之間的聯(lián)系，勾連了算法，能讓學(xué)生體悟到更富張力的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動后形成的過程化知識，其核心是如何思考的經(jīng)驗。教師要立足數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，把數(shù)學(xué)之根深植于數(shù)學(xué)基本活動之中，把握好知識塊脈絡(luò)的整體呈現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識走向知識樹，從知識樹走向思維發(fā)展。