王 林 肖桂娜 耿鈺超

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

研究扭擺振動(dòng)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容，扭擺實(shí)驗(yàn)是利用光電門傳感器測(cè)量扭擺振動(dòng)周期，此方法難以描繪扭擺的振動(dòng)圖像，而扭擺的振動(dòng)圖像是研究扭擺振動(dòng)的重要步驟，通過振動(dòng)圖像能分析出扭擺在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的阻尼振動(dòng)情況.

本文利用Tracker軟件自動(dòng)追蹤功能，獲得相應(yīng)的數(shù)據(jù)與振動(dòng)圖像，利用數(shù)據(jù)分析功能，研究在短時(shí)間內(nèi)扭擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，分析不同擺角對(duì)振動(dòng)周期的影響，通過對(duì)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)扭擺振動(dòng)進(jìn)行圖像擬合，研究扭擺阻尼振動(dòng)規(guī)律，并且計(jì)算出阻尼系數(shù).

1 實(shí)驗(yàn)原理

由于扭擺在振動(dòng)的過程中受摩擦力矩與空氣力矩的共同影響，扭擺在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)屬于一種阻尼振動(dòng)，這種力矩稱為阻力矩.在振動(dòng)角速度較小的情況下，可認(rèn)為阻力矩的大小正比于扭擺的角速度大小，則阻力矩為

(1)

式中c為扭擺的阻力系數(shù)，扭擺在回復(fù)力矩與阻力矩的作用下，可得到

(2)

其中I為扭擺沒有放置物體時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，k為扭擺的扭轉(zhuǎn)系數(shù).在式(2)中將I除遍各項(xiàng)，得

(3)

令

(4)

式中ω0是扭擺振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，β是振動(dòng)的阻尼因數(shù)，將式(4)代入式(3)，可得

(5)

我們通過簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)可知，扭擺振動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是欠阻尼狀態(tài)，則式(5)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(6)

其中A為扭擺振動(dòng)的振幅，φ為振動(dòng)的初相位，它們都是初始條件.通過式(6)可以看出扭擺運(yùn)動(dòng)的振幅Ae-β t是隨時(shí)間的推移成指數(shù)的形式衰減的，最終衰減為零，整個(gè)振動(dòng)則以ω1為圓頻率做周期性變化.

由于扭擺的衰減較小，在短時(shí)間內(nèi)扭擺的轉(zhuǎn)動(dòng)可以看成一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其回復(fù)力矩

Mc=-kθ

(7)

根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

(8)

(9)

其中ω為扭擺振動(dòng)的圓頻率[1].

2 實(shí)驗(yàn)操作與數(shù)據(jù)采集

2.1 Tracker軟件說明

Tracker軟件屬于一款視頻跟蹤操作分析軟件，同時(shí)它還是面向物理教育的免費(fèi)開源軟件, Tracker軟件解決了過去物體教學(xué)過程中只能觀察物體運(yùn)動(dòng)過程而不能描繪出物體具體運(yùn)動(dòng)軌跡的問題，同時(shí)它還能對(duì)記錄下的物體運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行定量分析.通過視頻拍攝技術(shù)將物體的運(yùn)動(dòng)過程記錄下來，將其導(dǎo)入進(jìn)Tracker軟件中，利用Tracker軟件中的定標(biāo)、建立坐標(biāo)系、自動(dòng)追蹤等功能，根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)軌跡按原比例描繪圖像，同時(shí)軟件還可以記錄每一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的速度、加速度、角速度、擺角等數(shù)據(jù)，利用Tracker軟件中的數(shù)據(jù)擬合功能，觀察實(shí)驗(yàn)曲線與我們的理論擬合曲線是否重合，從而來判斷實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性.同時(shí)在此過程中可以將物體的運(yùn)動(dòng)圖像與數(shù)據(jù)提取出來進(jìn)行分析.

2.2 實(shí)驗(yàn)操作

(1)將扭擺置于水平面上，并且調(diào)平.為了便于軟件追蹤，在扭擺的金屬托盤擺動(dòng)位置貼一個(gè)異于背景顏色的彩色紙片.實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.

(2)本實(shí)驗(yàn)利用的是視頻畫質(zhì)為4K,60 fps的數(shù)碼相機(jī)或手機(jī)相機(jī)，筆者采用的是數(shù)碼相機(jī).將實(shí)驗(yàn)器材按圖1擺放.這里最好能將相機(jī)放置在扭擺的正上方，這樣能清晰地拍攝視頻.將扭擺轉(zhuǎn)至離平衡位置90°左右，松手并開始記錄.

(3)將記錄的視頻導(dǎo)入Tracker軟件中，建立坐標(biāo)軸，將坐標(biāo)原點(diǎn)放在托盤中心，豎軸與扭擺平衡位置重合.然后根據(jù)事先放好的實(shí)物長(zhǎng)度定標(biāo)，并隱藏坐標(biāo)線與定標(biāo)尺.

圖1 研究扭擺振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

(4)點(diǎn)擊創(chuàng)建窗口，建立質(zhì)點(diǎn)，然后按住Shift+Ctrl鍵選擇標(biāo)記帶顏色的質(zhì)點(diǎn)，拖動(dòng)方框選擇匹配區(qū)域，點(diǎn)擊自動(dòng)搜索，軟件將會(huì)自動(dòng)搜索出標(biāo)記位置在不同時(shí)間內(nèi)的坐標(biāo)，根據(jù)需要將縱橫坐標(biāo)調(diào)整為擺角與時(shí)間的關(guān)系，如圖2所示.同時(shí)可以得到在不同時(shí)間內(nèi)擺角、角速度、角加速度大小等數(shù)據(jù).

(5)數(shù)據(jù)點(diǎn)采集完成后，雙擊圖進(jìn)入圖像數(shù)據(jù)處理界面，將圖像調(diào)至合適大小，如圖3所示.

(6)通過圖3可看出扭擺的振幅在逐漸衰減，根據(jù)式(6)可知扭擺的振幅將隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，選擇Tracker軟件中的數(shù)據(jù)擬合的自定義公式，擬合包絡(luò)線方程，在自定義公式的界面中編輯公式：θ=A*exp(-β*t)，手動(dòng)調(diào)節(jié)變量，使包絡(luò)線與實(shí)驗(yàn)圖像的各個(gè)波峰相交，最終包絡(luò)線的方程為:θ=1.6*exp(-0.026*t)，包絡(luò)線圖像如圖4所示.

圖2 質(zhì)點(diǎn)追蹤軌跡界面圖

圖3 實(shí)驗(yàn)散點(diǎn)連線圖

圖4 阻尼振動(dòng)包絡(luò)線圖

(7)因?yàn)榕[的振動(dòng)是一個(gè)欠阻尼狀態(tài)，阻尼因數(shù)應(yīng)該小于1，由包絡(luò)線方程可知，扭擺的阻尼因數(shù)為0.026 s-1，符合理論.根據(jù)式(6)可以編輯阻尼振動(dòng)公式:θ=A*exp(-β*t)*cos(ωt+φ)，手動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)使擬合圖像與實(shí)驗(yàn)圖像吻合，如圖5所示.

圖5 振動(dòng)擬合圖像

圖5中的方點(diǎn)為扭擺振動(dòng)在不同時(shí)刻的位置數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)線曲線為扭擺振動(dòng)的擬合圖像，擬合函數(shù)為

θ=1.6e0.026tcos(9.054t-2.53)

(10)

根據(jù)式(6)可知扭擺的振動(dòng)圓頻率理論值

(11)

而實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果振動(dòng)圓頻率為9.054 rad/s，相對(duì)誤差為0.871%，說明實(shí)驗(yàn)結(jié)果有效.

(8)雙擊坐標(biāo)軸，用質(zhì)點(diǎn)振幅與角速度建立阻尼振動(dòng)的相圖，如圖6所示，通過圖6可知，扭擺振動(dòng)的相軌跡是橢圓，表示扭擺的振動(dòng)隨著時(shí)間的推移，旋轉(zhuǎn)的振幅與最大角速度都在衰減，最終停止[2].

圖6 阻尼振動(dòng)相圖

3 利用Tracker軟件探究不同擺角對(duì)周期的影響

在扭擺振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，一般要求在擺角為90°左右釋放，扭擺擺角的大小對(duì)扭擺振動(dòng)是否有影響？現(xiàn)在運(yùn)用Tracker軟件與光電門傳感器兩種方法探究不同的擺角對(duì)振動(dòng)周期的影響，以光電門傳感器測(cè)量的數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)，探究Tracker軟件測(cè)量周期是否準(zhǔn)確，同時(shí)觀察擺角的不同是否會(huì)對(duì)周期產(chǎn)生影響.根據(jù)式(9)可知扭擺在短時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)可以看成簡(jiǎn)諧振動(dòng).

按照上述實(shí)驗(yàn)操作，用視頻記錄擺角從20°～110°扭擺的振動(dòng)過程，將記錄的不同擺角的視頻分別導(dǎo)入Tracker軟件中.以30°擺角為示例，選擇視頻區(qū)域?yàn)閮蓚€(gè)周期左右，打開數(shù)據(jù)圖像功能，點(diǎn)擊數(shù)據(jù)擬合，編輯公式

θ=Acos(ωt+φ)

手動(dòng)調(diào)整參數(shù)，使擬合函數(shù)與實(shí)驗(yàn)圖像吻合，如圖7所示.

圖7 30°擺角的振動(dòng)擬合圖

由圖可得擬合函數(shù)

θ=0.58cos(9.08t+0.2)

得到振動(dòng)周期

采用同樣的操作，利用Tracker軟件測(cè)量擺角在20°～110°范圍內(nèi)其他角度的周期.

同時(shí)利用光電傳感器也測(cè)量出擺角20°～110°范圍的扭擺振動(dòng)周期，統(tǒng)計(jì)用Tracker軟件與光電門傳感器測(cè)量的不同擺角的周期，如表1所示

表1中T0代表光電門傳感器所測(cè)量的扭擺振動(dòng)周期，T1代表Tracker軟件所測(cè)量的扭擺振動(dòng)周期，E表示相對(duì)誤差.通過表格數(shù)據(jù)分析，光電門傳感器所測(cè)量的振動(dòng)周期方差小于1，可以得到振動(dòng)的離散程度小，說明扭擺振動(dòng)的擺角的大小對(duì)周期的影響可以忽略.以光電門傳感器所測(cè)量的周期為理論值，Tracker軟件測(cè)量的不同擺角的周期數(shù)據(jù)相對(duì)誤差都小于1%，說明利用Tracker軟件測(cè)量的扭擺振動(dòng)周期精確度高.同時(shí)觀測(cè)兩種方法所測(cè)量不同擺角的振動(dòng)周期大小變化太小，由此可以得出扭擺的擺角大小對(duì)周期的影響可以忽略.因此在實(shí)驗(yàn)過程中沒有必要強(qiáng)調(diào)擺角是90°，只要擺角在擺動(dòng)限度內(nèi)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果不會(huì)受到影響[3].

表1 Tracker軟件與光電傳感器記錄不同擺角振動(dòng)周期列表

4 結(jié)論

本文通過Tracker軟件追蹤功能研究分析扭擺的振動(dòng)，根據(jù)軟件中的數(shù)據(jù)分析功能得到擬合方程、包絡(luò)線方程、相位圖等.Tracker軟件幫助實(shí)驗(yàn)者將不可描繪出來的運(yùn)動(dòng)軌跡可視化，使實(shí)驗(yàn)者更加清晰地了解扭擺的振動(dòng)過程.同時(shí)實(shí)驗(yàn)者還可以通過手機(jī)記錄運(yùn)動(dòng)過程，使實(shí)驗(yàn)更加地便捷與高效.通過Tracker軟件研究扭擺振動(dòng)的方法，操作簡(jiǎn)單、便捷、高效、實(shí)驗(yàn)結(jié)果精確度高，值得采用.