秦旺林， 劉士明， 李 聰， 孟麗霞

（沈陽建筑大學 機械工程學院， 遼寧 沈陽 110168）

0 引言

汽車起重機臂架因高層建筑施工需要而變得高聳，長細比增大， 從而導致臂架變形呈現(xiàn)非線性變化而無法預期。 因此， 對汽車起重機臂架的變形分析顯得尤為重要，其非線性變形分析成為研究焦點之一[1-2]。 文獻[3]采用撓度放大系數法， 得到了伸縮臂端部在承受復雜載荷情況下的撓度表達式。王鑫[4]對大長度伸縮臂的撓度問題進行研究時， 考慮了軸力二階效應和鉸支梁變形對臂架變形的影響。 文獻[5]應用Timoshenko 梁理論，采用位移、轉角獨立插值的方法，獲得了適用于變截面梁、等截面梁以及組合式梁桿結構的切線剛度矩陣。王欣[6]針對承受橫向均布載荷的壓桿進行了幾何非線性分析， 提出了一種新的解決方法。 上述文獻在對起重機臂架的撓度分析時，理論研究多集中在單一種類臂架。而對于結構復雜的主副臂結構，其撓度問題雖然有一些學者進行了研究，但多是借助有限元軟件進行仿真分析[7-8]。 由伸縮主臂與格構式固定副臂組成的主副臂結構為大長細比結構， 采用線性理論計算主副臂結構的變形會引起較大的誤差[9]，需進行幾何非線性分析。 同時《起重機設計規(guī)范》GB/T3811-2008中沒有給出主副臂結構幾何非線性變形的數據和計算公式[10]，研究人員也沒有給出相關的理論計算公式。

本文以汽車起重機的伸縮主臂與慣性矩沿截面二次變化的格構式固定副臂組成的主副臂結構為研究對象，基于二階理論， 采用微分方程法建立主副臂結構的撓曲微分方程，獲得其撓度表達式。 利用撓度表達式和有限元軟件ANSYS 對主副臂結構進行撓度計算，將公式計算結果和仿真結果進行對比分析， 以驗證本文所推導的撓度表達式的正確性。

1 主副臂結構撓度表達式的建立

由于汽車起重機變幅油缸的軸向剛度遠遠大于伸縮臂的側向剛度， 變幅油缸與伸縮主臂鉸接點以下及起重機工作臺形成一個穩(wěn)定的三角形區(qū)域， 在工作中這部分基本不會產生變形。 因此，在圖1 所示的主副臂結構中，將主副臂實際結構等效為根部固定的懸臂梁，將伸縮主臂部分等效為多級階梯柱模型， 變截面格構式固定副臂部分等效為慣性矩沿截面二次變化的變截面實腹式模型[6]，則圖1 實際主副臂結構等效為圖2（a）的主副臂結構計算模型。 圖2（b）為主副臂結構在軸向力P、 側向力Q 以及彎矩M 作用下主副臂結構的變形曲線， 臂端撓度值為δ。

圖1 具有主副臂結構的起重機施工現(xiàn)場

圖2 主副臂結構幾何非線性計算模型

圖2（a）中，伸縮主臂總長為l，各臂節(jié)到固定端的長度為li（i=1，2，…，n），每節(jié)伸縮臂的截面慣性矩為Ii（i=1，2，…，n）；固定副臂部分長度為b，大端面截面慣性矩Ig1，小端面截面慣性矩為Ig2，副臂任意截面處截面慣性表示為Ig（x）=Ig2（L-x）2/a2，a 為固定副臂錐度部分長度；主副臂結構總長度L=l+b，其材料的彈性模量為E，L=l+a+b。

基于小變形理論， 由圖2 列寫出考慮軸力二階效應的主副臂結構撓曲微分方程：

設ki2=P/（EIi）（i=1，2，…，n），則式（1）的通解：

結合式（13）、（14）則式（11）表示為：

將式（10）代入式（15）中，得到系數An+1、Bn+1的遞推表達式：

2 主副臂結構非線性變形的算例分析

以圖3 所示6 節(jié)伸縮主臂與變截面格構式固定副臂組成的主副臂結構模型為例，在主副臂結構的臂端施加軸向力P、側向力Q 以及彎矩M，并對其進行非線性變形分析，將有限元軟件ANSYS 的仿真分析結果與撓度表達式（20）計算結果進行對比，驗證所推撓度表達式的正確性。

圖3 6 節(jié)伸縮主臂的主副臂結構受力模型

2.1 主副臂結構參數的說明

在圖3 中，伸縮主臂總長度l=70m，基本臂截面慣性矩I1=0.04326m4， 各 臂 節(jié) 長 度l1=0.2l，l2=0.4l，l3=0.6l，l4=0.8l，l5=0.9l，l6=l， 各臂節(jié)截面慣性矩I2=I1/1.3，I3=I2/1.3，I4=I3/1.6，I5=I4/1.6，I6=I5/1.6。 固定副臂部分，錐度系數λ=4，副臂大端面橫截面為方形H=0.75m， 主弦桿橫截面為方形hx=0.072m，斜腹桿橫截面為方形hxf=0.06m，橫腹桿橫截面為方形hhf=0.06m，斜腹桿與主弦桿的夾角為α，固定副臂單層高0.5m，副臂長度b=0.5n。 主副臂結構總長度L=l+b，彈性模量為E=2.05×1011Pa。 在圖4 中給出了工程中常用的4 種四肢變截面格構式結構展開圖。

圖4 常見變截面構件腹桿布置形式

式（20）計算所用大端面截面慣性矩Ig1=Idx，Idx采用式

（21）計算[11]，小端面截面慣性矩Ig2=Ig1/λ2。

式中：Idx—等截面格構式結構等效為實腹式結構的慣性矩；I—肢桿對中性慣性矩之和（I=H2hx2+hx4/3），hx—主弦桿尺寸；η—腹桿影響系數，見表1。

表1 腹桿影響系數

表 中λ1=1/（EAxH2），λ2=1/（EAxfH2cos2αsin2α），λ3＝tanα/（EAhf），b—副臂長度，Ax、Axf、Ahf分別為主弦桿截面面積、斜腹桿截面面積、 橫腹桿截面面積；H—固定副臂大端面截面尺寸；n—副臂層數。

2.2 算例分析

在ANSYS 中建立6 節(jié)伸縮臂與格構式固定副臂的仿真模型見圖5， 其伸縮主臂采用Beam44 單元建立，實際的變截面格構式固定副臂采用Beam188 單元建立。

圖5 ANSYS 模型

以6 節(jié)伸縮主臂和不同固定副臂組成的4 種主副臂結構為例，利用理論公式（20）和有限元軟件ANSYS 對由圖3 中伸縮主臂與圖4 中格構式副臂組成的4 種主副臂結構進行幾何非線性分析。表2、表3、表4 和表5 給出給出了A 型、B 型、C 型和D 型4 種主副臂結構在軸向力P=100kN，側向力Q=30kN 及彎矩M=80kN·m 作用下的撓度值，誤差為ANSYS 仿真結果與理論公式式（20）計算結果之間的誤差。

由表2、表3、表4 和表5 可知，不同形式的格構式固定副臂組成的4 中主副臂結構， 其理論公式計算結果與ANSYS 仿真分析結果的最大誤差分別為0.5%、0.15%、0.86%和0.73%，表2 到表5 理論公式計算結果與仿真分析結果之間誤差均小于1%。 算例分析結果表明：本文推導的主副臂結構的非線性變形表達式是正確的， 可以應用于實際主副臂結構的幾何非線性變形計算。

表2 A 型副臂的主副臂結構撓度值

表3 B 型副臂的主副臂結構撓度值

表4 C 型副臂的主副臂結構撓度值

表5 D 型副臂的主副臂結構撓度值

3 結論

本文對伸縮主臂與變截面格構式固定副臂組成的主副結構進行了幾何非線性分析，其研究結論如下：

（1）基于縱橫彎曲理論，建立了主副臂結構的撓曲微分方程，結合各臂節(jié)間的邊界條件，推導了以遞推形式表示的主副臂結構非線性變形表達式。

（2）利用所推導的非線性變形表達式和ANSYS 仿真，計算了6 節(jié)伸縮主臂和不同形式的固定副臂組成的4 種主副臂結構的幾何非線性變形， 并將理論公式的計算結果和ANSYS 仿真結果進行對比分析， 其最大誤差均在1%以內。

（3）分析結果表明：推導的理論計算公式在對多種副臂形式的主副臂結構進行幾何非線性變形計算時， 表現(xiàn)出較高的計算精度， 證明本文推導的主副臂結構非線性變形表達式是正確的，可以滿足工程實際應用。