謝向生,魏 潔,梁浩文,劉憶琨,周建英

(1.汕頭大學(xué) 物理系，廣東 汕頭515063；2.中山大學(xué) 物理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

1 散斑相關(guān)成像發(fā)展概況

當(dāng)光束通過非均勻介質(zhì)后，光場的振幅和相位(波前)空間分布被打亂，導(dǎo)致光的傳播方向發(fā)生改變，這種現(xiàn)象叫做光的散射. 光所通過的非均勻介質(zhì)統(tǒng)稱為散射介質(zhì)，散射介質(zhì)在日常生活中很常見，例如雨雪霧霾、生物組織、毛玻璃，甚至1張白紙都可以被看作散射介質(zhì). 當(dāng)散射介質(zhì)復(fù)雜度增加時(shí)，其透射光線的空間分布、偏振狀態(tài)以及頻率都會(huì)發(fā)生改變. 散射現(xiàn)象的存在會(huì)使物場發(fā)出的同源光束無法重新會(huì)聚，干擾成像過程，降低圖像的信噪比，因此大多數(shù)情況下，光的散射被認(rèn)為是圖像產(chǎn)生噪聲的主要原因之一，極大地影響了物體的成像質(zhì)量，需要被濾除. 由于大多數(shù)場景均存在散射介質(zhì)，克服散射影響的成像恢復(fù)在日常生活、科研、安保和軍事中均有廣泛的應(yīng)用需求.

隨著研究的深入，研究人員發(fā)現(xiàn)，雖然散射介質(zhì)會(huì)干擾光場，但散射介質(zhì)在一定條件下呈現(xiàn)類似透鏡的物理特性，因此，稱之為散射透鏡. 雖然透射光場形成空間“混亂無章”的散斑或“均勻”的背景，但仍然攜帶物場的本源信息，通過先進(jìn)成像技術(shù)，例如計(jì)算成像技術(shù)(Computational imaging technology，CIT)[1]，可將其用于成像恢復(fù). 有別于傳統(tǒng)光學(xué)成像的“所見即所得”，計(jì)算成像技術(shù)是充分利用信息獲取和計(jì)算處理的成像方式. 隨著新型傳感器性能的多樣化、計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提升以及算法的智能化，計(jì)算成像技術(shù)打破了傳統(tǒng)光電成像技術(shù)對成像過程的分立式表征，以全局觀點(diǎn)描述整個(gè)光學(xué)成像過程，綜合考慮照明、光傳輸、光探測、數(shù)字圖像處理和顯示等過程. 全光參量信息(或稱光場全要素)[2]記錄與重現(xiàn)也逐漸成為研究人員關(guān)注的重點(diǎn)問題.

借助計(jì)算光學(xué)成像，利用混亂光場(或光強(qiáng))分布進(jìn)行成像恢復(fù)已經(jīng)取得了系列成果. 其中散斑相關(guān)成像技術(shù)因所需條件簡單(只需采用非相干光照明)，且具有成像質(zhì)量高、恢復(fù)速度快、易于集成等諸多優(yōu)點(diǎn)，受到了研究人員的關(guān)注[2]. 2012年，J. Bertolotti等人利用激光器在散射介質(zhì)前面進(jìn)行高精度掃描采集散射圖像，并利用迭代算法對其進(jìn)行恢復(fù)，實(shí)現(xiàn)了非接觸式的成像恢復(fù)[3]. 2014年，Ori Katz團(tuán)隊(duì)采用非相干光照明，僅利用1張物體的散斑圖重建出了物體的強(qiáng)度圖[4]. 2016年，Y. Park等人提出了基于散斑相關(guān)散射矩陣的無參考光全息相機(jī)，實(shí)現(xiàn)了無參考光的全息成像[5]. 同年，中山大學(xué)周建英團(tuán)隊(duì)將解卷積技術(shù)應(yīng)用到成像恢復(fù)，得到了實(shí)時(shí)、彩色、大視角和超分辨的成像恢復(fù)結(jié)果[6].

2018年，N.Antipa等人[7]利用特制的準(zhǔn)散射體實(shí)現(xiàn)了無透鏡散射相機(jī). E.Valent等人[8]發(fā)現(xiàn)不同散射介質(zhì)有其特定的散斑譜，可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行機(jī)器訓(xùn)練，并且用線性區(qū)分算法進(jìn)行識(shí)別. 2019年，美國波士頓大學(xué)V.Goyal團(tuán)隊(duì)[9]僅用1臺(tái)普通數(shù)碼相機(jī)拍攝墻上模糊不清的光影，結(jié)合遮擋物評(píng)估算法實(shí)現(xiàn)了視線外(Non-line-of-sight，NLoS)成像. 上海光學(xué)精密機(jī)械研究所韓申生團(tuán)隊(duì)基于光場高階關(guān)聯(lián)優(yōu)化和相位共軛實(shí)現(xiàn)了透過散射體的雙向成像[10]，司徒國海團(tuán)隊(duì)利用已知物的輔助實(shí)現(xiàn)了透過散射介質(zhì)的成像[11]. 西安電子科技大學(xué)邵曉鵬團(tuán)隊(duì)在透散射介質(zhì)的計(jì)算成像方法和水下偏振成像技術(shù)研究方面取得多項(xiàng)成果[12]. 清華大學(xué)戴瓊海、金欣團(tuán)隊(duì)利用散斑相關(guān)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了散斑評(píng)估[13]和超過光學(xué)記憶效應(yīng)范圍的物體自動(dòng)恢復(fù)[14]. 國防科技大學(xué)陳平形、劉偉濤團(tuán)隊(duì)在二階關(guān)聯(lián)的抗散射光學(xué)成像方面,結(jié)合解卷積算法實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)物體的實(shí)時(shí)成像[15]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)趙遠(yuǎn)團(tuán)隊(duì)提出時(shí)間直方圖解卷積方法，實(shí)現(xiàn)了高分辨的NLoS成像[16]. 深圳大學(xué)彭翔團(tuán)隊(duì)采用改良的相位迭代算法實(shí)現(xiàn)了散斑相關(guān)成像恢復(fù)質(zhì)量的提升[17]. 上海交通大學(xué)曾貴華/石劍虹團(tuán)隊(duì)提出了高效有限光子相關(guān)成像技術(shù)[18](快速第一光子鬼成像). 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)袁仁民團(tuán)隊(duì)在大氣邊界層物理、大氣湍流等方面有深入的研究[19]. 龔雷團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了光場透過散射體的三維聚焦[20]. 西安交通大學(xué)朱京平團(tuán)隊(duì)在偏振成像方面(寬波段、光譜特性建模分析、混濁介質(zhì)中偏振成像等)[21]開展了探索工作.

散斑相關(guān)成像恢復(fù)技術(shù)正在蓬勃發(fā)展，探索散射介質(zhì)的物理性質(zhì)成為成像恢復(fù)技術(shù)的關(guān)鍵. 本文從常規(guī)的正透鏡入手，介紹其物理結(jié)構(gòu)和傅里葉變換特性；引入散射介質(zhì)的記憶效應(yīng)和散射透鏡概念，介紹其在結(jié)構(gòu)特性、變換特性以及具有代表性的成像恢復(fù)研究方面的應(yīng)用.

2 透鏡的傅里葉光學(xué)特性

透鏡是成像系統(tǒng)中最重要的元件，忽略吸收和界面反射等光損耗，透鏡的主要功能是波前相位變換. 透鏡能將平行或發(fā)散光會(huì)聚，在其后焦面上可以觀察物體的夫瑯禾費(fèi)衍射，也就是對入射場進(jìn)行了傅里葉變換[22]. 相反，透鏡也能對物場的空間頻譜進(jìn)行傅里葉變換，得到物體的像. 透鏡的2個(gè)基本性質(zhì)——聚焦和傅里葉變換器(包括成像)，使其成為光信息處理最基本、最重要的元件.

2.1 透鏡的透過率函數(shù)

當(dāng)光線水平入射到凸透鏡上，入射波的波前各點(diǎn)在透鏡上都受到了正比于厚度的相位延遲調(diào)制. 在薄透鏡近似下，透鏡近軸的透過率函數(shù)可以表示為

(1)

表示光波通過透鏡上(x,y)點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生的相位延遲與該點(diǎn)到透鏡中心的距離的平方成反比，同時(shí)也與透鏡的焦距f有關(guān)[23-24].

2.2 正透鏡的傅里葉變換特性和條件

透鏡具有對自由空間傳播物光場進(jìn)行傅里葉變換的特性. 標(biāo)準(zhǔn)的點(diǎn)光源不易實(shí)現(xiàn)，而平行光則相對容易獲得. 當(dāng)不限定物體和觀察平面的位置時(shí)，菲涅耳衍射會(huì)產(chǎn)生二次相位因子項(xiàng)[25]，包括與透鏡坐標(biāo)無關(guān)的衍射項(xiàng)以及依賴于透鏡坐標(biāo)的相位項(xiàng). 只有這些項(xiàng)被消除，透鏡才能直接對入射場進(jìn)行傅里葉變換，簡化相關(guān)計(jì)算.

采用平行光照明時(shí)，在3種情況下，物場的二次相位因子可以被忽略，光路如圖1所示，此時(shí)透鏡能對入射場直接進(jìn)行傅里葉變換.

(a)

(b)

(c)圖1 用正透鏡進(jìn)行傅里葉變換的光路

1)物體位于以光軸和透鏡的交點(diǎn)為球心，以z1為半徑的球體表面上,圖1(a)所示.

2)在對具體像點(diǎn)(x,y)處的場有重大貢獻(xiàn)的物場區(qū)域內(nèi)，二次相位因子的相位變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這個(gè)區(qū)域，如圖1(b)所示.

3)物由會(huì)聚的球面波照明，會(huì)聚點(diǎn)是光軸和透鏡的交點(diǎn)，此時(shí)會(huì)聚的球面波剛好與上述的二次項(xiàng)因子抵消，如圖1(c)所示.

上述3個(gè)條件只需滿足其中1個(gè)，二次相位因子就可以被消去. 消去透鏡的二次相位因子的作用，也稱為透鏡定律[25]. 上述3種情況實(shí)際上是共軛光路的3種特例.

2.3 正透鏡的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)及聚焦特性

在信息光學(xué)或傅里葉變換光學(xué)中，點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(Point spread function，PSF)定義為滿足空間平移不變性的線性系統(tǒng)對δ函數(shù)的脈沖響應(yīng)，反映了光學(xué)系統(tǒng)的成像對應(yīng)關(guān)系：

h(xo)*o(xi),

(2)

其中,g(xo)表示像場分布，o(xi)表示物場分布，下標(biāo)i和o分別表示輸入和輸出，光學(xué)上可以描述為物和像. 線性算符L表示光場的可疊加性.xi′表示統(tǒng)一的坐標(biāo)宗量(例如在光學(xué)成像系統(tǒng)中是輸出平移除以放大率)在輸入空間任選的一點(diǎn)，從而可以用h(xo)表示系統(tǒng)的PSF. 當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)的PSF確定，也即點(diǎn)光源的像確定，則成像可以分解成多個(gè)物點(diǎn)所成的多個(gè)PSF光斑的疊加；當(dāng)2點(diǎn)的像光斑距離小于光斑尺寸時(shí)不可分辨，可以推知PSF的大小正好用來描述光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨率.

空間平移不變性在光學(xué)系統(tǒng)中有限定條件，以標(biāo)量場為例，Kirchhoff衍射公式能求解傳統(tǒng)的衍射問題，但是，傾斜因子K(θ)破壞了空間平移不變性，需要采用一定的近似(如傍軸近似)才能將其作為常量，得到標(biāo)量形式的PSF并用于描述菲涅耳衍射和更遠(yuǎn)距離的夫瑯禾費(fèi)衍射. 此時(shí)，像可以看作物和PSF的卷積，也就是說，PSF是標(biāo)量場衍射問題在傍軸近似下的合理近似.

引入PSF極大方便了光學(xué)成像系統(tǒng)的理論描述，一方面可以直接把系統(tǒng)當(dāng)作進(jìn)行卷積運(yùn)算的黑箱，不用逐個(gè)分析光學(xué)元件對光場的具體影響；另一方面可以通過模擬整個(gè)成像過程的理論描述求解系統(tǒng)的PSF，從而推測出任意輸入光對應(yīng)的成像結(jié)果. 此外，PSF在空間頻域的描述為光學(xué)傳遞函數(shù)(Optical transfer function,OTF)，輸入光的頻域分布乘以O(shè)TF得到輸出光的頻域分布，這在信息光學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用.

透鏡的PSF的求解模型如圖2所示[26]，以任意取向的偶極子μ為點(diǎn)源，通過高數(shù)值孔徑物鏡進(jìn)行準(zhǔn)直，形成平行光束. 平行光束被透鏡聚焦所形成的焦場分布則為系統(tǒng)的PSF. 當(dāng)平行光束尺寸大于透鏡孔徑時(shí)，則焦場分布為透鏡的PSF，因此透鏡的PSF能夠描述其聚焦特性.

圖2 透鏡PSF的計(jì)算模型

大部分教科書描述透鏡聚焦也是采用平行光照射透鏡，分析其聚焦光場分布，或者如圖1(a)的情況，直接對透鏡孔徑函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換.

緊聚焦情況下計(jì)算透鏡的PSF，可以采用矢量衍射理論. 結(jié)合近期多參量光場調(diào)控的新型光場調(diào)控技術(shù)的進(jìn)展[27]，采用矢量光場可以更嚴(yán)格地描述光場在多參量調(diào)制下的傳播、緊聚焦以及結(jié)構(gòu)光場與物質(zhì)相互作用的行為. 矢量光場的獨(dú)特性質(zhì)在生物光子學(xué)、量子信息、光學(xué)顯微成像、近場光學(xué)、光學(xué)微操控、激光加速和激光直寫等領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用價(jià)值，并已經(jīng)逐漸被研究人員開發(fā)出來.

(3)

其中Ω為透鏡收集的立體角，可通過調(diào)整環(huán)形光闌改變角度θ的積分區(qū)間. 推導(dǎo)過程需要利用消球差透鏡的正弦條件和強(qiáng)度法則，如圖3所示.

(a)正弦條件

(b)強(qiáng)度法則[26]圖3 消球差透鏡的2個(gè)重要性質(zhì)

如圖2設(shè)定偶極子的振動(dòng)方向是x，強(qiáng)度為μx，求出在像面上的傍軸PSF為[26]

(4)

(5)

同理，可以求出軸向的PSF為

(6)

(7)

3 散射介質(zhì)的光學(xué)特性

任何線性光學(xué)系統(tǒng)均可以采用傳輸矩陣來描述，當(dāng)散射介質(zhì)可以簡化為線性系統(tǒng)時(shí)，則可以采用傳輸矩陣測量法進(jìn)行測量. 此時(shí)傳輸矩陣用來描述散射體出射光場和入射光場之間的數(shù)學(xué)變換關(guān)系，是非常巨大的三維矩陣. 2010年，法國朗之萬研究所S.Popoff小組首次對散射體傳輸矩陣進(jìn)行了測量[30]，利用散射體的傳輸矩陣實(shí)現(xiàn)了對散射出射光場任意控制，并通過散射光場實(shí)現(xiàn)成像恢復(fù)[31]. 2011年，韓國首爾大學(xué)Choi小組測量了散射體在空間頻率域的傳輸矩陣[32]，并實(shí)現(xiàn)了透過散射體的超分辨成像恢復(fù)[33]. 此外，光聲效應(yīng)以及波前調(diào)控技術(shù)也被用于測量散射體的傳輸矩陣[34-35]. 傳輸矩陣測量法的測量過程需要采集大量的輸入光場和輸出光場數(shù)據(jù)，再進(jìn)行計(jì)算. 散射介質(zhì)受到散射體的光學(xué)記憶效應(yīng)限制，因而并非是完全的線性空不變系統(tǒng). 當(dāng)散射介質(zhì)很薄時(shí)，可以用空間隨機(jī)相位函數(shù)來表示. 根據(jù)散射介質(zhì)顆粒度的大小，可以設(shè)置隨機(jī)函數(shù)的像素尺寸(也可以用相應(yīng)半高全寬的高斯函數(shù)與隨機(jī)函數(shù)進(jìn)行卷積).

3.1 散射體的光學(xué)記憶效應(yīng)和散射透鏡

當(dāng)散射介質(zhì)的光學(xué)厚度比較薄時(shí)，通常認(rèn)為光通過介質(zhì)平均只有1次散射，該散射介質(zhì)的透過率函數(shù)的相位項(xiàng)可以用隨機(jī)函數(shù)Rand(x,y)和高斯函數(shù)Gauss(x,y)的卷積來表示[36]：

ts(x,y)=exp [-iRand(x,y)*Gauss(x,y)].

(8)

該式比透鏡的透過率函數(shù)[式(1)]復(fù)雜，但仍然滿足空間平移不變性.

散射介質(zhì)對透過的光波有記憶效應(yīng),具體表現(xiàn)為：光波透過散射介質(zhì)后，在其對應(yīng)的像平面上產(chǎn)生散斑. 散斑是由于散射介質(zhì)的折射率分布不均勻，光束通過散射介質(zhì)后形成的隨機(jī)交替的亮斑和暗斑[37-38]. 在圖像恢復(fù)中散斑常被認(rèn)為是雜亂無序、不攜帶信息的噪音. 近年來的實(shí)驗(yàn)研究表明，散斑分布雖然看似雜亂無序，但仍有某種特定的分布特征，這種分布特征就是散射系統(tǒng)的PSF，可以在一定程度上反映散射系統(tǒng)的光學(xué)成像特性. 即散射介質(zhì)在特殊情況下具有類似透鏡的成像特性，被稱為散射透鏡.

散斑會(huì)受多種因素的影響，因此改變實(shí)驗(yàn)條件后產(chǎn)生的新散斑與原來的散斑不同. 但是由于記憶效應(yīng)，入射光的角度在一定范圍內(nèi)(較小偏轉(zhuǎn)角度)發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)，散斑的強(qiáng)度與偏轉(zhuǎn)之前相比不會(huì)發(fā)生很明顯的變化. 隨著入射角度的改變，散斑圖案會(huì)隨之產(chǎn)生一定的平移，即散射體的光學(xué)記憶效應(yīng). 記憶效應(yīng)在1988年被加利福尼亞大學(xué)Feng等人首次提出[39]. 同年，以色列I. Freund等人通過實(shí)驗(yàn)證明了這一現(xiàn)象的存在[40]. 實(shí)驗(yàn)證明，記憶效應(yīng)的范圍僅與散射介質(zhì)的厚度L有關(guān)，轉(zhuǎn)動(dòng)前后散斑之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)為

(9)

式中q=2π/λ,λ為入射光波波長，L為散射介質(zhì)的厚度. 隨著L的增加，記憶效應(yīng)存在的有效范圍會(huì)減小.

記憶效應(yīng)的定量測量示意圖如圖4(a)所示. 實(shí)驗(yàn)中的散射體是美國Newport公司生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)散射體套裝中的80°聚碳酸酯全息散射片. 準(zhǔn)直擴(kuò)束后的激光照射在散射體上，激光透過散射介質(zhì)后，被散射體后方的CCD接收. 當(dāng)激光的入射角度偏轉(zhuǎn)Δθ時(shí),在CCD上可以同步觀察到散斑的移動(dòng). 圖4(b)是氦氖激光偏轉(zhuǎn)Δθ=36,72,110 mrad時(shí)的散斑. 對散斑的細(xì)節(jié)進(jìn)行放大可看出，偏轉(zhuǎn)角度較小時(shí)(如Δθ=36,72 mrad)，形成的散斑與0 mrad的散斑幾乎相同，無變化;偏轉(zhuǎn)角度Δθ=110 mrad時(shí)，形成的散斑與0 mrad的散斑有很大的差異. 用相關(guān)系數(shù)可以定量地描述不同偏轉(zhuǎn)角度散斑之間的相似程度. 某個(gè)Δθ下的散斑與0 mrad散斑的相關(guān)系數(shù)定義為兩者散斑圖像互相關(guān)的最大值：max[corrx (A,B)][40]，如圖4(c)所示. 從圖4(c)曲線可以看出，散斑相關(guān)系數(shù)隨著偏移角度的增大而逐漸減小，當(dāng)Δθ=80 mrad時(shí)，相關(guān)系數(shù)降低為1/2. 由于對稱性，認(rèn)為在Δθ=±80 mrad的范圍內(nèi)，散斑與原點(diǎn)的散斑相同，此范圍也稱為記憶效應(yīng)的有效范圍.

(a)實(shí)驗(yàn)示意圖

(b)不同偏轉(zhuǎn)角度下的散斑圖以及局部放大圖

(c)偏轉(zhuǎn)后散斑相關(guān)性與偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)系圖4 散射介質(zhì)偏轉(zhuǎn)角度相關(guān)性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

角記憶效應(yīng)雖然被證實(shí)存在，但是由于其對應(yīng)的有效范圍角度太小[約為λ/(2πL)]，很難被廣泛應(yīng)用到散斑相關(guān)成像恢復(fù)技術(shù). 2015年，Judkewitz等人在角記憶效應(yīng)的基礎(chǔ)上提出了平移光學(xué)記憶效應(yīng)[41]，解決了有效范圍角度小的難題. 平移光學(xué)記憶效應(yīng)是當(dāng)入射光平移時(shí)，透過介質(zhì)后的出射光也隨之平移，平移前后的散斑同樣具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性. 因此平移記憶效應(yīng)能應(yīng)用于厚散射介質(zhì)和整個(gè)空間充滿散射介質(zhì)的情形，拓展了散斑相關(guān)成像的應(yīng)用范圍和場景.

3.2 散射體的“聚焦特性”和分辨率

光場經(jīng)過散射介質(zhì)時(shí)，會(huì)發(fā)生隨機(jī)的反射、折射過程，所以散射光場的具體表現(xiàn)形式和光場分布形式難以用理論推導(dǎo)或數(shù)值模擬的方式來探究. 為了更好地研究散射過程，需要從統(tǒng)計(jì)的角度給出物理描述，稱為散斑統(tǒng)計(jì)或散斑統(tǒng)計(jì)光學(xué). 通常對散射光場給出如下假設(shè)[37]：

1)散射光場的相位φn與散射光場的振幅an是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；

2)相位φn的隨機(jī)過程滿足(-π，+π)之間的均勻分布.

基于以上2個(gè)假設(shè)下的光場隨機(jī)游走過程，將導(dǎo)致散射光場中光強(qiáng)I滿足負(fù)指數(shù)統(tǒng)計(jì)分布，即光場中某點(diǎn)光強(qiáng)為I的概率為

自相關(guān)通常用于描述信號(hào)的周期性，表示為1個(gè)信號(hào)平移Δx后與原來信號(hào)之間的相關(guān)性，數(shù)學(xué)上對信號(hào)q(x)的自相關(guān)定義為

對于絕對隨機(jī)的噪音信號(hào)q(x)，任何Δx≠0的平移信號(hào)與其本身的相關(guān)系數(shù)都為0，唯有平移量Δx=0時(shí)相關(guān)系數(shù)為1，即隨機(jī)噪音的自相關(guān)是狄拉克函數(shù)，可以從白噪音的功率譜分析得到.

完全散射光場的自相關(guān)可以從散射體背面到散射空間的菲涅耳衍射進(jìn)行推導(dǎo). 推導(dǎo)中假設(shè)靠近散射體背面光場的自相關(guān)是狄拉克函數(shù). 而在遠(yuǎn)場衍射下散射光場的自相關(guān)卻不再是狄拉克函數(shù)，其具體形式與散射體表面形貌有關(guān)[37]. 例如，對于有效的散射面為l×l的矩形散射體而言，散射光場的強(qiáng)度自相關(guān)為

(10)

其中，λ是輸入光場的波長，z是距離散射表面的垂直距離. 對于有效散射面為直徑D的圓形散射體而言，散射光場的自相關(guān)為

(11)

(a)矩形散射片

(b)圓形散射片圖5 散斑自相關(guān)橫截圖[37]

2種形狀散射片形成的散斑橫向自相關(guān)函數(shù)ΓIr(Δx,Δy)與ΓIc(Δx,Δy)分布相似，包含背景常量和峰函數(shù)2部分. 峰函數(shù)與衍射極限有關(guān)，當(dāng)l或者D很大時(shí)峰函數(shù)會(huì)退化為極窄的狄拉克函數(shù). 當(dāng)l或者D很大時(shí)，散斑光場的自相關(guān)函數(shù)可以近似為ΓI(Δx,Δy)=δ(Δx,Δy)+c,其中c為背景常量. 這個(gè)近似是所有散斑解自相關(guān)技術(shù)的理論基礎(chǔ)[2-4]. 由于散射成像是基于散斑的相關(guān)性來實(shí)現(xiàn)，散射透鏡的成像分辨率等價(jià)于散斑的顆粒度或散斑自相關(guān)的半高全寬. 比較式(4)和式(11)，透鏡對平行相干光場聚焦形成的橫向焦場和散射體形成散斑的橫向自相關(guān)具有幾乎一致的形式(除了均勻背景常量)，因此其分辨率也具有相同的半高全寬. 同時(shí)散斑自相關(guān)軸向的分布函數(shù)，以圓形和方形為例，分別表示為

(12)

(13)

ΓIc(Δz)和ΓIr(Δz)分別為以均勻照明的直徑為D的圓形和l×l的方形散射面形成散斑的自相關(guān). 比較式(6)和式(12)，透鏡對平行相干光場聚焦形成的軸向焦場和散射體形成散斑的軸向自相關(guān)具有一致的形式，除了常量項(xiàng)外連，均勻背景常量也消失了. 均勻背景消失的原因在于軸向散斑的縮放特性導(dǎo)致互相關(guān)為0.

4 散射透鏡成像方法和特性

由于存在記憶效應(yīng)，散射成像系統(tǒng)可以看作是線性平移不變系統(tǒng)，散射體后形成的散斑是物體與散射透鏡PSF的卷積，成像是通過散斑的相關(guān)性來實(shí)現(xiàn).

當(dāng)光透過散射介質(zhì)后，在像面上產(chǎn)生的圖像由艾里斑轉(zhuǎn)變?yōu)樯撸碢SF也會(huì)在像面上表現(xiàn)為散斑圖，該散斑在一定范圍內(nèi)具有平移不變性. 當(dāng)入射光不是點(diǎn)光源時(shí)，可以把入射光源看作無數(shù)個(gè)點(diǎn)光源的疊加，對應(yīng)的PSF(散斑)也可看作是這些點(diǎn)光源所對應(yīng)的PSF(散斑)的疊加. 而整個(gè)成像的過程就可以看作是系統(tǒng)總的PSF和物函數(shù)進(jìn)行了1次卷積. 此過程可以表示為

O(xo,yo)dxodyo]，

(14)

(15)

式中，a和b表示2個(gè)不同的取樣位置，Δqa和Δqb分別表示出入射波的波矢差，其中Δqa=ka-ka′，Δqb=kb-kb′，L是散射體的厚度. 由式(15)可知，F(xiàn)函數(shù)是類鐘形狀的角度函數(shù)，僅當(dāng)物體在記憶效應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，它們才能有相同的散斑圖案，散斑相關(guān)成像特性也只在此范圍內(nèi)成立. 因此F函數(shù)決定散射系統(tǒng)視場的大小[42-45].F函數(shù)與散斑之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)C[式(9)]具有相似的形式，前者是2個(gè)平移物點(diǎn)的散斑互相關(guān)，后者是同一物點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)散射介質(zhì)后的互相關(guān)，因此形式相似.

4.1 基于解卷積的散射透鏡成像方法

基于散射透鏡的成像光路如圖6[7]所示. 為了實(shí)現(xiàn)散射透鏡成像恢復(fù)，需要散射透鏡的PSF和物光場通過散射透鏡后的散斑分布. 這2個(gè)數(shù)據(jù)反映到實(shí)驗(yàn)中為點(diǎn)光源的散斑分布和物體經(jīng)非相干光照射后的散斑分布. 最常見的做法是用CCD分2次采集獲得，如圖7所示.

用點(diǎn)光源(一般為非相干光源，如LED)照射針孔(通常要求針孔直徑小于散射透鏡的分辨率為20～200 μm)來獲得PSF. 由于散射作用，入射光經(jīng)過散射介質(zhì)后分布范圍會(huì)大大增加，而CCD孔徑有限，如圖6(a)所示，大部分的散斑無法被采集用于成像. 為了解決這一問題，莊輝昌等人提出了雙透鏡系統(tǒng)[6]，即在原有的光學(xué)系統(tǒng)中再引入2個(gè)透鏡，如圖6(b)所示. 一個(gè)透鏡放在散射介質(zhì)前，收集非相干光用于散射成像；另一個(gè)透鏡放在在散射介質(zhì)后，收集散斑光傳給CCD. 這種方法不僅能提高系統(tǒng)的視場，還能大幅提升散射光場的相關(guān)性.

(a)常規(guī)的散射透鏡成像系統(tǒng)

(b)視場擴(kuò)大的散射成像系統(tǒng)圖6 常規(guī)與視場擴(kuò)大的散射成像系統(tǒng)的對比(圖中白圈表示出瞳，黑圈表示視場范圍，紅框表示CCD芯片區(qū)域)

圖7 基于解卷積的散射成像恢復(fù)步驟

綜合考慮不同算法恢復(fù)圖像的信噪比和算法運(yùn)行時(shí)間，維納濾波解卷積是比較有效的方法[46]，可以表示為

(16)

其中,I和PSF分別是未知物體的散斑和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，F(xiàn){·}是傅里葉變換操作. 從式(16)可知實(shí)現(xiàn)解卷積運(yùn)算只需要進(jìn)行2步傅里葉變換：矩陣除法和傅里葉逆變換. 離散傅里葉變換具有高效、快速的算法計(jì)算庫，而且傅里葉變換和矩陣除法都采取并行計(jì)算實(shí)現(xiàn). 利用GPU并行計(jì)算，不考慮CCD圖像采集和GPU啟動(dòng)過程的時(shí)間消耗，對2 048×2 048原始圖像進(jìn)行圖像恢復(fù)，實(shí)測進(jìn)行1次圖像恢復(fù)只需要1～3 ms的時(shí)間. 這相比于先前工作中圖像恢復(fù)的時(shí)間(自相關(guān)成像恢復(fù)3 s，波前整形30 min)，解卷積法在速度上具有質(zhì)的飛躍，可以實(shí)時(shí)地進(jìn)行透過散射介質(zhì)成像. 這為實(shí)時(shí)散射成像提供了可能，例如生物組織動(dòng)態(tài)過程的觀察、安防實(shí)時(shí)監(jiān)控等.

4.2 散射透鏡的放大倍數(shù)

成像系統(tǒng)的放大系數(shù)是很重要的參量，對于焦距為f的單透鏡成像而言，利用高斯公式：

(17)

圖8 基于解卷積的散射成像恢復(fù)

4.3 散射透鏡的軸向特性

與傳統(tǒng)透鏡不同，散射透鏡的焦距不是固定的，雖然是由式(17)定義，但是散射透鏡的物距與像距不像傳統(tǒng)光學(xué)透鏡具有嚴(yán)格的一一對應(yīng)關(guān)系. 傳統(tǒng)透鏡的f固定，物距確定，像距也會(huì)隨之確定，但是對于散射透鏡來說，物距和像距在一定范圍內(nèi)可人為決定，因此其焦距也會(huì)隨著物距和像距的變化而發(fā)生改變.

對于固定的散射體，位于其特定深度的PSF(對應(yīng)于坐標(biāo)中的z軸)只能用來恢復(fù)該深度平面上的物體圖像，無法恢復(fù)出其他深度的清晰物體圖像. 為了實(shí)現(xiàn)更大景深范圍內(nèi)的成像，需要獲得相應(yīng)深度的PSF. 如果每個(gè)深度的PSF都要通過測量獲得，會(huì)導(dǎo)致人力、物力消耗過大，其應(yīng)用場景也會(huì)受到限制. 為了解決這些問題，謝向生等人[44]發(fā)現(xiàn)對于同一散射介質(zhì)，不同深度的PSF之間具有很大的關(guān)聯(lián)性. 在已知散射介質(zhì)某一深度處的PSF之后，可以通過縮放因子m推導(dǎo)出其他深度的PSF. 2個(gè)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)之間的關(guān)系式為

(18)

當(dāng)物體軸向移動(dòng)時(shí)，散斑需要通過縮放才能保持其關(guān)聯(lián)性，因此如式(11)和(12)，當(dāng)不對散斑進(jìn)行縮放操作時(shí)，散斑的互相關(guān)沒有均勻的本底背景，這個(gè)現(xiàn)象與散斑橫向平移不同.

4.4 散射透鏡的波長特性

相似地，不同波長情況下的PSF之間也有關(guān)聯(lián). 當(dāng)未知物體的散斑光譜和已知PSF的散斑光譜有重疊時(shí)，二者之間存在串?dāng)_效應(yīng)，所以二者的PSF之間也具有一定的關(guān)聯(lián)性，因此利用已知波長情況的PSF能推導(dǎo)出其他波長情況下的PSF. 2個(gè)PSF之間仍然由縮放因子m聯(lián)系，其關(guān)系為

(19)

(20)

5 結(jié)束語

本文從透鏡的物理結(jié)構(gòu)和傅里葉變換特性出發(fā)，描述了傳統(tǒng)光學(xué)透鏡的基本結(jié)構(gòu)和聚焦特性. 與之對比，提出了散射介質(zhì)的一般結(jié)構(gòu)及其光學(xué)表征方法. 由于透過散射介質(zhì)的光場滿足光學(xué)記憶效應(yīng)，形成的散斑具有空間平移不變性，利用光場相關(guān)運(yùn)算，散射介質(zhì)具有如同透鏡的成像特性，被稱為散射透鏡. 著重介紹了基于散斑相關(guān)的解卷積成像恢復(fù)方法及具有代表性的研究方法和實(shí)驗(yàn)系統(tǒng). 討論了解卷積濾波器的設(shè)計(jì)方法，分析了散斑軸向的相關(guān)性，以及不同光譜散斑的相關(guān)性方法. 雖然本文介紹的散射透鏡成像原理不夠完善，且目前這一方法在實(shí)際中的應(yīng)用仍有較多困難，但散斑相關(guān)成像仍然是非常具有發(fā)展前景的成像手段.