周群利

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣與自動化學(xué)院，安徽蕪湖 241006 )

0 引言

混沌運動是一種廣泛存在于數(shù)學(xué)、物理、生物、化學(xué)、地質(zhì)以及某些技術(shù)性科學(xué)中的動力學(xué)行為，它具有對初始條件極度敏感、遍歷性以及類似于隨機系統(tǒng)的偽隨機性等性質(zhì).混沌現(xiàn)象由某些確定性的系統(tǒng)產(chǎn)生，并由耗散和非線性兩種運動共同作用而形成的結(jié)果.它在耗散型的作用下在宏觀上表現(xiàn)為相體積的收縮和穩(wěn)定的現(xiàn)象，而在非線性運動的作用下導(dǎo)致了混沌系統(tǒng)軌道的不穩(wěn)定性，從而使得運動軌道逐漸地局部分離，混沌運動和混沌現(xiàn)象就是在宏觀的穩(wěn)定與微觀的不穩(wěn)定的共同作用下產(chǎn)生的[1].相比于低維的混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)(維數(shù)大于 3)具有更多正 Lyapunov 指數(shù)，具有更為復(fù)雜的動力學(xué)行為[2]，從而使得超混沌系統(tǒng)的動態(tài)特性更加復(fù)雜、混沌程度更高.超混沌系統(tǒng)被廣泛用于各個領(lǐng)域且具有非常廣闊的應(yīng)用前景[3-4].此外，超混沌系統(tǒng)的混沌吸引子也不具有幾何直觀性，所以相比于現(xiàn)有的低維混沌系統(tǒng)形狀同步的研究成果，高維混沌系統(tǒng)控制的研究具有更高的難度[5].在一些實際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)顯得較為簡單，已不能滿足人們的需要，因此對超混沌系統(tǒng)的深入研究對于理論和實際運用都具有重大意義[6].

混沌控制在工程技術(shù)上有著重大的研究價值和廣闊的應(yīng)用前景，引起了國際上非線性動力系統(tǒng)和工程控制專家的極大關(guān)注[7-10].自混沌與超混沌的概念被提出以來，學(xué)者們一直致力于對混沌與超混沌系統(tǒng)的研究，并將其應(yīng)用于保密通信、信息安全與工業(yè)等領(lǐng)域[11].

Liu等在2004年提出了一種三維自治混沌系統(tǒng)[12]，文獻[13]在已有的三維Liu 系統(tǒng)基礎(chǔ)上通過增加一個新的狀態(tài)變量和微分方程來構(gòu)造一個全新的超混沌系統(tǒng).本文對此超混沌系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，采用自適應(yīng)控制方法通過設(shè)計合適的控制器對系統(tǒng)進行控制，并用Matlab(R2014a)數(shù)值仿真證明該方法的有效性，為這一類超混沌系統(tǒng)的控制問題提供一種行之有效的控制思路.

1 一個新的超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

文獻[13]在Liu系統(tǒng)的模型基礎(chǔ)上，提出了一種新的超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)由十項構(gòu)成，含有四個非線性項，其形式如下：

(1)

當系統(tǒng)參數(shù)取值為：a=19，b=8，c=42，d=2時，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，文獻[13 ]分析計算了它的混沌特性參數(shù)，在此不再贅述.由Matlab(R2014a)軟件編程計算結(jié)果可知，系統(tǒng)有3個平衡點，分別為：Q1(0,0,0,0)，Q2(38.08,8.823,42,185.292)，Q3(-38.08,-8.823,42,-185.292)，利用此軟件可求出系統(tǒng)在這些平衡點處的特征值.經(jīng)Matlab軟件編程求解發(fā)現(xiàn)：每個平衡點處所對應(yīng)的特征值均存在正實部的特征根，所以系統(tǒng)的3個平衡點均不是穩(wěn)定的平衡點，屬于不穩(wěn)定的鞍點.

當在該組參數(shù)下系統(tǒng)初值取[x,y,z,w]T=[0.01,0.01,0.01,0.01]T時，系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1所示，從圖1可以看出，該超混沌系統(tǒng)蘊含著非常豐富的動力學(xué)特性，系統(tǒng)狀態(tài)變量變化毫無規(guī)律可循，其相軌跡在混沌吸引子內(nèi)盤繞折疊，呈現(xiàn)出總體吸引，但局部排斥且有界的精細的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是典型的混沌系統(tǒng)所具有的，在初始參數(shù)取值下，系統(tǒng)最終進入非周期的混沌運動.

圖1 一個新的超混沌系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of a new hyperchaotic system

2 一個新的超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制

控制系統(tǒng)最重要的特性是它的穩(wěn)定性，一個不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)不但無法完成預(yù)期的控制任務(wù)，而且還存在一定的潛在危險性.穩(wěn)定性指的是，如果一個系統(tǒng)在靠近其期望工作點的某處開始運動，且總是能保持在期望工作點附近運動，那么就稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.在許多工程應(yīng)用中，僅有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定是不夠的.一些工程要求由漸近穩(wěn)定性概念來表達.對于一個自治系統(tǒng)，如果平衡點xe=0是穩(wěn)定的，而且存在δ>0，使得當

受控的新的自治超混沌系統(tǒng)為：

(2)

其中U=[u1,u2,u3,u4]T為要設(shè)計的控制器，在系統(tǒng)參數(shù)未知的情況下，采用自適應(yīng)控制方法，對系統(tǒng)(1)式設(shè)計控制律和參數(shù)自適應(yīng)律，使新的超混沌系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定到系統(tǒng)的任意一個不穩(wěn)定的平衡點Q(x0,y0,z0,w0).在系統(tǒng)的任意一個不穩(wěn)定平衡點Q(x0,y0,z0,w0)處，對新的超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(1)式進行坐標變換，狀態(tài)變量設(shè)為

(3)

將(3)式代入受控的新的超混沌系統(tǒng)(2)式得：

(4)

從而將超混沌系統(tǒng)(1)式控制到任意一個不穩(wěn)定平衡點Q(x0,y0,z0,w0)的問題轉(zhuǎn)化為變換后的系統(tǒng)(4)式在坐標原點的鎮(zhèn)定問題.

定理對于變換后的系統(tǒng)(4)式設(shè)計如下的控制器：

(5)

以及參數(shù)自適應(yīng)律

(6)

時，變換后的受控系統(tǒng)(4)式在原點是漸近穩(wěn)定的.即受控的新的超混沌系統(tǒng)(2)式被控制到不穩(wěn)定平衡點Q(x0,y0,z0,w0).(5)、(6)兩式中a1,b1,c1,d1分別為對未知參數(shù)a,b,c,d的估計值，控制增益k1,k2,k3,k4均大于零.

證明：(5)、(6)兩式代入(4)式得：

(7)

對V求導(dǎo)并化簡可得：

3 系統(tǒng)仿真結(jié)果

采用自適應(yīng)控制方法對一個新的超混沌系統(tǒng)進行控制，使其鎮(zhèn)定到系統(tǒng)的任意一個不穩(wěn)定平衡點，假定這個平衡點取為Q2(38.08,8.823,42,185.292)，假設(shè)“已知”系統(tǒng)參數(shù)為(a,b,c,d)=(5,5,4,8)，系統(tǒng)初始狀態(tài)取值((x(0)，y(0)，z(0),w(0))=(0.01,0.01,0.01,0.01)，系統(tǒng)參數(shù)估計值初始值取為((a1(0)，b1(0)，c1(0),d1(0))=(7,4,-5,-2)，系統(tǒng)控制增益取值為(k1,k2,k3,k4)=(6,8,7,10).

下面利用Matlab軟件進行系統(tǒng)仿真.從圖2可以看出超混沌系統(tǒng)(1)式在所設(shè)計的控制器及自適應(yīng)律作用下四個狀態(tài)變量在1.5s左右穩(wěn)定控制在系統(tǒng)的其中一個不穩(wěn)定平衡點Q2(38.08,8.823,42,185.292)，圖3為參數(shù)a1,b1,c1,d1對未知參數(shù)a,b,c,d的估計收斂曲線，在2s左右的時間里參數(shù)a1,b1,c1,d1即可穩(wěn)定收斂于其相應(yīng)的估計值.當適當增加系統(tǒng)控制增益時，超混沌系統(tǒng)(1)式四個狀態(tài)變量被穩(wěn)定控制在其中一個不穩(wěn)定平衡點Q2(38.08,8.823,42,185.292)的速度加快，同時系統(tǒng)參數(shù)a1,b1,c1,d1穩(wěn)定收斂于其相應(yīng)的估計值的速度也加快了，從而提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，滿足了控制要求.當取系統(tǒng)控制增益(k1,k2,k3,k4)=(20,13,12,15)時仿真結(jié)果如圖4、圖5所示，從仿真結(jié)果可以看出四個狀態(tài)變量在1s內(nèi)即可穩(wěn)定收斂于不穩(wěn)定平衡點Q2(38.08,8.823,42,185.292)，系統(tǒng)參數(shù)a1,b1,c1,d1穩(wěn)定收斂于其相應(yīng)的估計值大約只需要1s左右.

圖2 超混沌系統(tǒng)(1)式的狀態(tài)被控制到不穩(wěn)定平衡點Q2Fig.2 The state of hyperchaotic system (1) is controlled to the unstable equilibrium point Q2

圖3 a1,b1,c1,d1對系統(tǒng)未知參數(shù)a,b,c,d的估計收斂曲線Fig.3 Convergence curve of estimation a1,b1,c1,d1 for unknown parameters a,b,c,d of system

圖4 超混沌系統(tǒng)(1)式的狀態(tài)被控制到不穩(wěn)定平衡點 Q2(仿真)Fig.4 The state of hyperchaotic system (1) is controlled to the unstable equilibrium point Q2(Simulation)

圖5 a1,b1,c1,d1對系統(tǒng)未知參數(shù)a,b,c,d的估計收斂曲線(仿真)Fig.5 Convergence curve of estimation a1,b1,c1,d1 for unknown parameters a,b,c,d of system(Simulation)

以上仿真結(jié)果表明自適應(yīng)控制方法對超混沌系統(tǒng)(1)式的控制是完全有效的.也可以設(shè)計合適的控制器和參數(shù)自適應(yīng)律，將超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)控制到其他的不穩(wěn)定平衡點，在此不再贅述.

4 結(jié)論

對一個新的超混沌系統(tǒng)采用自適應(yīng)方法進行控制，設(shè)計了合適的控制器以及參數(shù)自適應(yīng)律，在其作用下可將超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)快速地控制到系統(tǒng)的任意一個不穩(wěn)定平衡點，同時還可對超混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)進行估計，在極短時間內(nèi)可使未知參數(shù)的估計值收斂于一個恒定值.仿真結(jié)果表明自適應(yīng)控制方法是處理參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的有效方法，為其它非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制提供了一種行之有效的解決思路.