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        基于撓曲電效應的懸臂梁式微俘能器動態(tài)響應特性研究

        2021-08-17 01:35:28于健業(yè)李安慶
        齊魯工業(yè)大學學報 2021年4期
        關鍵詞:俘能器撓曲頻響

        于健業(yè),李安慶

        齊魯工業(yè)大學(山東省科學院) 機械與汽車工程學院,濟南 250353

        隨著便攜式電子設備和無線傳感器的快速發(fā)展,如何為這些低能耗的微電子器件供電成為當前人們關注的熱點。微俘能器能直接俘獲環(huán)境能量轉換為電能,實現(xiàn)微電子器件的自供電,從而引起了人們廣泛興趣[1-2]。目前,人們基于壓電效應開展了大量的俘能器研究工作,實現(xiàn)了以振動為基礎的機械能到電能的轉換[3-4]。然而,壓電效應僅存在于非中心對稱介電材料。同時,具有大壓電系數(shù)的材料通常是鐵電體,使得壓電裝置表現(xiàn)出遲滯和非線性行為,并且只能工作于居里溫度以下[5]。這限制了壓電俘能器的應用。

        本文綜合考慮尺寸效應、阻尼和質量塊等因素的影響,建立撓曲電懸臂梁的動力學理論模型,對撓曲電懸臂梁的動態(tài)響應特性進行理論研究,分析材料特性、特征尺寸和質量塊等因素對俘能器輸出功率和能量轉換效率的影響規(guī)律,為撓曲電俘能器的設計、優(yōu)化和應用提供理論依據(jù)。

        1 撓曲電理論

        1.1 各向同性撓曲電理論

        微尺度下,應變梯度的影響趨于明顯。不僅能夠解釋微構件力學性能的尺寸效應,而且在介電體中能夠誘導明顯極化,表現(xiàn)出撓曲電效應。撓曲電理論能夠描述介電體具有尺寸依賴性的力電耦合現(xiàn)象,其內能密度函數(shù)表達為

        (1)

        (2)

        應變張量和應變梯度張量分別定義為

        (3)

        其中,ui為位移矢量。應變梯度張量ηijk的3個分量分別定義為

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        (8)

        (9)

        (10)

        與應變梯度張量ηijk功共軛的高階應力張量τijk是3個高階應力分量的和,表達為

        (11)

        1.2 撓曲電梁理論

        根據(jù)伯努利-歐拉梁假設,以梁中性面為x-y坐標平面建立笛卡爾直角坐標系,且x軸沿著梁長度方向,其位移場可表示為

        (12)

        其中,u、v、w分別是位移矢量在x-、y-、z-方向的分量。假設梁沿著厚度方向發(fā)生極化,其它兩個方向的極化可以忽略,則其極化場可表示為

        P1=P2=0P3=P3(z),

        (13)

        相應的電位移矢量Di的非零分量為

        (14)

        式中,ε0為真空中的介電常數(shù),φ為麥克斯韋自電場的勢。

        把伯努利-歐拉梁的位移方程(12)代入應變、應變梯度的定義式(3),則非零的應變分量和應變梯度分量為

        (15)

        這里需要注意:對于伯努利-歐拉梁h

        (16)

        把非零的應變、應變梯度和極化量代入本構方程式(7)-(10),則功共軛的非零應力、高階應力和電場量為

        (17)

        式中,E記作楊氏模量。

        撓曲電理論中,由于考慮了高階應力項,故伯努利-歐拉梁彎曲的應力合力重新定義為

        (18)

        把非零的應力和高階應力量式(17)代入式(18),同時考慮式(11),則重新定義的高階彎矩為零,而彎矩表達為

        (19)

        極化為

        (20)

        把(20)代入式(19),同時考慮E3=-V(t)/h(V(t)為梁上下表面的電勢差),整理可得

        (21)

        其中,等效長度尺度參數(shù)為

        (22)

        用應力合力表達的梁彎曲平衡方程

        (23)

        2 懸臂梁式撓曲電俘能器理論建模

        考慮一懸臂梁式撓曲電俘能器如圖1所示,梁寬b,高h,長L,在自由端附加質量塊Mt。該撓曲電懸臂梁固定在具有橫向振動g(t)的基礎上。在基礎激勵下,撓曲電懸臂梁發(fā)生彎曲振動,產生動態(tài)應變梯度,從而由撓曲電效應誘導極化,在梁上下表面間產生電勢差。懸臂梁的上下表面覆蓋電極,連接一個電負載R量化電壓輸出V(t)。

        圖1 懸臂梁式撓曲電俘能器簡圖

        2.1 力學方程

        在自由端附加質量塊Mt的伯努利-歐拉梁,其偏微分控制方程為[6]

        (24)

        其中,wrel(x,t)是撓曲電懸臂梁相對于基礎的橫向位移;ξs和ξa分別是應變率和空氣阻尼系數(shù);I是慣性矩;ρL是撓曲電懸臂梁單位長度質量;wb是位移形式的基礎激勵[7],

        wb(x,t)=g(t),

        (25)

        對于伯努利-歐拉梁,高階彎矩為零,彎矩如式(21)所示。顯然式(21)中的最后一項與x坐標無關,當把式(21)代入到式(24)時,最后一項對x的導數(shù)為零。為了保證這一項的存在,本文引入了亥維賽函數(shù)H(x),彎矩重新表達為

        (26)

        把式(26)代入到式(24)中,控制方程變?yōu)?/p>

        (27)

        其中,δ(x)為狄拉克函數(shù)。懸臂梁式撓曲電俘能器的振動響應表達為

        (28)

        式中,φr(x)是質量歸一化本征函數(shù),ηr(t)是第r階振動模態(tài)的模態(tài)系數(shù)

        (29)

        其中,

        (30)

        且特征值(λr>0,r=1,2,…)滿足方程

        (31)

        式中,It記作質量塊的轉動慣量,模態(tài)幅值Cr可通過正交條件獲得。短路條件下,r階振動模態(tài)的無阻尼固有頻率ωr可寫為

        (32)

        把式(28)代入控制方程式(27),同時考慮模態(tài)正交條件,力學方程表達為

        (33)

        其中,模態(tài)撓曲電耦合項為

        (34)

        模態(tài)力函數(shù)為

        (35)

        2.2 電學方程

        俘能器的電路方程為

        (36)

        (37)

        把式(37)代入式(36)中,電路方程進一步寫為

        (38)

        其中,電容C為

        (39)

        2.3 穩(wěn)態(tài)響應

        對于懸臂梁式撓曲電俘能器,由式(33)和(38)可得其力學方程和電學方程最終為

        (40)

        (41)

        其中,ξ是模態(tài)機械阻尼比,滿足

        (42)

        對于簡諧基礎激勵,基礎位移的移動分量表達為

        g(t)=W0ejωt,

        (43)

        其中,W0是移動位移的振幅;j是單位虛數(shù);ω是頻率。把式(43)代入式(35)中,則模態(tài)力函數(shù)為fr(t)=Frejωt,振幅Fr為

        (44)

        相應地,假設力學和電學的穩(wěn)態(tài)響應是相同頻率ω下的簡諧形式

        ηr(t)=Hrejωt,V(t)=V0ejωt,

        (45)

        其中,振幅Hr和V0是復數(shù)值。力學和電學方程重新表達為

        (46)

        (47)

        聯(lián)立方程(46)和(47),可求解振幅Hr和V0。最終,穩(wěn)態(tài)電壓響應表達為

        (48)

        穩(wěn)態(tài)模態(tài)力響應為

        (49)

        相對于基礎的橫向位移響應為

        (50)

        3 俘能特性研究

        懸臂梁式撓曲電俘能器在基礎移動激勵下,輸出振動和電壓響應。由于g(t)=W0ejωt,相應的基礎移動加速度是d2g(t)/dt2=-ω2W0ejωt。根據(jù)式(44),模態(tài)力振幅重寫為

        Fr=-αrω2W0,

        (51)

        其中,

        (52)

        根據(jù)基礎的移動加速度,同時考慮式(51),穩(wěn)態(tài)電壓響應式(48)表達為

        V(t)=κ(ω)(-ω2W0ejωt),

        (53)

        其中,電壓輸出頻響函數(shù)為

        (54)

        同理,穩(wěn)態(tài)振動響應式(50)表達為

        wrel=χ(ω,x)(-ω2W0ejωt)+m(ω,x)(-ω2θ0ejωt),

        (55)

        其中,橫向位移輸出頻響函數(shù)為

        (56)

        懸臂梁式撓曲電俘能器工作在共振頻率ω?ωr時將獲得最大的輸出響應。在該條件下,僅考慮r階振動模態(tài)即可。因此,根據(jù)式(48)和(50),穩(wěn)態(tài)的電壓和橫向位移響應可簡化為

        (57)

        (58)

        同時,在式(53)至(56)的頻響函數(shù)中僅保留r階模態(tài)的貢獻。則穩(wěn)態(tài)的單模態(tài)電壓響應為

        (59)

        其中,

        (60)

        穩(wěn)態(tài)的單模態(tài)位移響應為

        (61)

        其中,

        (62)

        4 俘能器動態(tài)響應特性

        本節(jié)仿真研究懸臂梁式撓曲電俘能器在基礎簡諧式移動激勵下的動態(tài)響應。梁材料為聚偏二氟乙烯。材料特性為E=3.7 Gpa;ρ=1.78×103kg/m3;ε0=8.854×10-12C2/(N·m2);a=1.38×1010N·m2/C2;l=1 μm;f=-179 N·m/C 。

        梁的幾何參數(shù)為h=0.3 μm;b=3 μm;L=30 μm。質量塊質量為Mt=1.5ρbhL。

        懸臂梁式撓曲電俘能器的電壓輸出頻響函數(shù)如圖2所示。從圖2可以看出,不同振源頻率下,撓曲電俘能器的輸出電壓不同。當振源頻率等于俘能器的自振頻率時,俘能器輸出最大的電壓響應。此外,隨著尖端質量的增大,俘能器共振頻率減小,相應的電壓輸出單調增大。尖端質量能夠調整懸臂梁的固有頻率,使之適應環(huán)境振源頻率。

        圖2 不同尖端質量下電壓頻響函數(shù)隨頻率的變化

        懸臂梁式撓曲電俘能器的橫向位移頻響函數(shù)如圖3所示。負載電阻對俘能器的變形撓度也有較大影響。隨著電路從短路到開路(電阻從零增大到無窮大),懸臂梁式撓曲電俘能器的固有頻率從34 701 Hz偏移到35 411 Hz。在某些電阻下,由于電阻的并聯(lián)阻尼,尖端撓度減弱。該現(xiàn)象與壓電俘能器相類似。

        圖3 不同負載下尖端撓度頻響函數(shù)隨頻率的變化

        此外,可以通過|V(t)|2/R計算撓曲電俘能器的電功率,且功率密度頻響函數(shù)如圖4所示。從圖中可以看出隨著電阻的增大,功率密度先增大后減小,表現(xiàn)出相反的趨勢。這說明一定存在一個電阻值使得功率密度達到最大值。對于當前情況,當電阻在100 MΩ左右時,功率密度達到最大值,此時相應的共振頻率為34 830 Hz。

        圖4 不同電負載下電壓頻響函數(shù)隨頻率的變化規(guī)律

        5 結 論

        本文基于撓曲電理論,研究了自由端附加質量塊的撓曲電懸臂梁在基礎激勵下的力電耦合特性。首先,建立了懸臂梁式撓曲電俘能器的理論模型。然后,解析了俘能器在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)力電耦合響應。最后,仿真了基礎移動激勵下懸臂梁式撓曲電俘能器的俘能特性。研究發(fā)現(xiàn),隨著電負載增大,電壓輸出增大,電流輸出減小,而電功率先增大后減小。當電阻在100 MΩ左右時,電功率輸出達到最大值。隨著電負載從零到無窮大(從短路過渡到開路),共振頻率從34 701 Hz偏移到35 411 Hz,尖端質量能夠調整懸臂梁固有頻率,使之與振源頻率相一致。從而使俘能器工作在共振頻率下,顯著提高能量俘獲效率。

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