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        一種質(zhì)量塊-彈簧自參數(shù)共振壓電俘能器研究

        2020-10-28 05:05:26陳忠成解小東
        壓電與聲光 2020年5期
        關(guān)鍵詞:質(zhì)量系統(tǒng)

        陳忠成,解小東,謝 進(jìn)

        (西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,四川 成都 610031)

        0 引言

        近年來,收集環(huán)境振動(dòng)能量為微電子設(shè)備提供電能的俘能器研究越來越多[1-3]。其中,壓電俘能器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能量密度高而備受關(guān)注[4-5]。

        目前多數(shù)壓電俘能器是以直接激勵(lì)方式工作。但有研究表明,參數(shù)激勵(lì)比直接激勵(lì)更能產(chǎn)生高的響應(yīng)幅值[6]。Daqaq等[7]建立了參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器的集中參數(shù)模型,并在該模型中考慮了幾何非線性和慣性非線性。Abdelkef等[8]建立了參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器的分布參數(shù)模型。Lan等[9]研究了帶末端質(zhì)量塊的參數(shù)激勵(lì)俘能器的內(nèi)共振特性。

        參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器存在的主要問題是激勵(lì)閾值高及工作帶寬窄。為了克服存在的問題, Jia等[10-12]通過引入一個(gè)兩端固支的水平梁作為直接激勵(lì),提出了一種自參數(shù)共振的參數(shù)激勵(lì)俘能器,實(shí)驗(yàn)證明,與傳統(tǒng)俘能器相比,該俘能器激勵(lì)閾值低,工作帶寬寬。Yan等[13-14]推導(dǎo)了自參數(shù)共振參數(shù)激勵(lì)俘能器的理論模型,進(jìn)一步揭示了其工作特性及其原理。Yang等[15]引入了一個(gè)水平梁,通過直接激勵(lì)的水平梁和參數(shù)激勵(lì)的豎直梁間的磁耦合來實(shí)現(xiàn)降低激勵(lì)閾值及提高工作帶寬的功能。這些新型的自參數(shù)共振參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)均增加一個(gè)水平梁作為直接激勵(lì),以此對(duì)激勵(lì)起放大作用,進(jìn)而降低了參數(shù)的激勵(lì)閾值,提高俘能帶寬。實(shí)際上,水平梁的增加是為系統(tǒng)增加了一個(gè)新的自由度,但加大了俘能器的結(jié)構(gòu)尺寸。

        本文借鑒自參數(shù)共振的參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器增加一個(gè)自由度以降低激勵(lì)閾值及增加俘能帶寬的思路,提出在壓電梁末端增加質(zhì)量塊-彈簧的二自由度參數(shù)激勵(lì)俘能器,并對(duì)該俘能器發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的激勵(lì)閾值與俘能帶寬進(jìn)行分析和討論。

        1 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

        1.1 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)方程

        本文提出的質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。該俘能器在參數(shù)激勵(lì)俘能器壓電梁的末端加裝一個(gè)彈簧和質(zhì)量塊。當(dāng)俘能器受到外界沿z方向上的振動(dòng)激勵(lì)時(shí),壓電梁在末端質(zhì)量塊及彈簧的共同作用下發(fā)生參數(shù)共振。圖中,h為彈簧的高度,m0為末端質(zhì)量塊質(zhì)量,l1為壓電片距離地面的距離,ls為梁長(zhǎng)度,bs為梁的寬度,hs為梁的厚度,lp為壓電片長(zhǎng)度,bp為壓電片寬度,hp為壓電片厚度,z(t)為外界激勵(lì)位移。

        圖1 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)

        圖1所示結(jié)構(gòu)與現(xiàn)有的一些參數(shù)激勵(lì)俘能器的主要區(qū)別是:本文提出的結(jié)構(gòu)是在質(zhì)量塊與壓電梁之間增加一個(gè)彈簧,相當(dāng)于系統(tǒng)增加了一個(gè)自由度。本文假設(shè)壓電梁末端的滑動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量和彈簧質(zhì)量都很小,可忽略不計(jì),且彈簧為線性彈簧。

        采用擴(kuò)展哈密頓原理推導(dǎo)出俘能器的機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型。擴(kuò)展哈密頓原理的表達(dá)式為

        (1)

        式中:q為壓電梁的廣義位移;s為末端質(zhì)量塊相對(duì)于壓電梁末端的廣義位移;V為壓電片的電壓;t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間;L=T-U-W為拉格朗日函數(shù),T為系統(tǒng)的動(dòng)能,U為系統(tǒng)的勢(shì)能;W為壓電片電勢(shì)能;δw為非保守力所做虛功的變分,且:

        (2)

        俘能器的動(dòng)能為壓電梁的動(dòng)能和末端質(zhì)量塊的動(dòng)能之和,即:

        (3)

        當(dāng)梁足夠細(xì)長(zhǎng),假設(shè)梁不可伸展,梁的橫向位移和軸向位移間的關(guān)系為

        (4)

        俘能器的機(jī)械勢(shì)能包括梁應(yīng)變的勢(shì)能、梁的重力勢(shì)能、末端質(zhì)量塊的重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能,則總機(jī)械勢(shì)能為

        z(t)]dx+m0g[s(t)+z(t)+u(l,t)]+

        (5)

        式中:(′)為對(duì)位移求導(dǎo);k為彈簧的剛度;s(t)為末端質(zhì)量塊與壓電梁末端的間距;u(l,t)為壓電梁末端與地面的軸向間距;z(t)為地面上下振動(dòng)位移;EI為梁抗彎剛度。

        壓電片電勢(shì)能為

        (6)

        式中:θp為壓電片的機(jī)電耦合系數(shù);Cp為壓電片的壓電電容。

        為了得到系統(tǒng)的離散模型,假設(shè)一階振型占主導(dǎo),壓電梁的橫向位移w(x,t)為

        w(x,t)=φ(x)q(t)

        (7)

        式中:q(t)為只與時(shí)間相關(guān)的廣義位移;φ(x)為該系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)。對(duì)于兩端固支的邊界條件,模態(tài)函數(shù)為

        (8)

        將式(3)、(5)、(6)代入式(1)可得到質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的機(jī)電耦合方程:

        (9)

        為了對(duì)比分析質(zhì)量塊-彈簧對(duì)壓電俘能器俘能特性的影響,式(9)中令k=0,可得無彈簧的壓電俘能器,即現(xiàn)有的一些壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)方程為

        (10)

        1.2 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的系統(tǒng)參數(shù)及動(dòng)力學(xué)性能

        本文中取壓電俘能器的系統(tǒng)參數(shù)及幾何尺寸如表1所示。表中,Es、Ep為楊氏模量,ρs、ρp為梁的密度,d31為壓電常數(shù),ε33為介電常數(shù)。

        表1 壓電俘能器的系統(tǒng)參數(shù)及幾何尺寸

        k2q+k4q3=0

        (11)

        當(dāng)k2>0時(shí),壓電梁不屈曲,系統(tǒng)僅一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(0,0); 當(dāng)k2<0時(shí),壓電梁發(fā)生屈曲,此時(shí)系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn), 其中1個(gè)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(0,0),另外兩個(gè)為穩(wěn)定平衡點(diǎn),即

        (12)

        k2=0為壓電梁屈曲與不屈曲的分界點(diǎn),對(duì)應(yīng)的末端臨界質(zhì)量用Mc表示。當(dāng)m0

        (13)

        當(dāng)m0>Mc時(shí),壓電梁的固有頻率為

        (14)

        由表1中的系統(tǒng)參數(shù)和幾何尺寸及式(12)~(14)可得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和壓電梁的f1隨m0的變化規(guī)律,如圖2所示。

        圖2 壓電梁的平衡點(diǎn)和固有頻率

        由圖2可知,Mc≈0.033 kg。當(dāng)m0Mc時(shí),系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn),其中2個(gè)為穩(wěn)定平衡點(diǎn),用實(shí)線表示,一個(gè)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn),用虛線表示(見圖2(a));當(dāng)m0Mc時(shí),隨著m0的增加f1增大(見圖2(b))。

        彈簧-質(zhì)量塊的固有頻率為

        (15)

        當(dāng)m0

        2 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器俘能特性分析

        根據(jù)文獻(xiàn)[17],系統(tǒng)的輸出功率與均方根電壓(Vrms)的平方成正比。本文以Vrms作為俘能器的評(píng)價(jià)指標(biāo),則有:

        (16)

        本文主要研究壓電梁在未發(fā)生屈曲時(shí)的自參數(shù)共振系統(tǒng)的俘能性能。根據(jù)1.2節(jié)的分析,選取m0=0.003 5 kg

        本文采用數(shù)值分析法進(jìn)行分析,在未特別說明的情況下,其仿真的初始值均取為0,R取為5 MΩ。

        圖3為有、無彈簧時(shí)Vrms和壓電梁的位移隨著激勵(lì)幅值(A)變化的關(guān)系曲線。由圖可知,無論是否有彈簧,該系統(tǒng)都存在一個(gè)激勵(lì)閾值,只有A大于激勵(lì)閾值時(shí),壓電梁才會(huì)發(fā)生參數(shù)共振。有彈簧時(shí)激勵(lì)閾值為0.5 m/s2,無彈簧時(shí)激勵(lì)閾值為4.2 m/s2。由此可知,在質(zhì)量塊與壓電梁之間加裝彈簧能夠大幅降低俘能器的激勵(lì)閾值。

        圖3 Vrms和位移隨A變化的關(guān)系曲線

        為了進(jìn)一步分析質(zhì)量塊-彈簧的直接共振與梁的參數(shù)共振,取A=0.3 m/s2<0.5 m/s2,梁的初始位移取5 mm,作出質(zhì)量塊和壓電梁時(shí)域圖,如圖4所示。

        圖4 A=0.3 m/s2時(shí)壓電俘能器的時(shí)域圖

        由圖4(a)可知,彈簧的振幅在1 s內(nèi)先快速增大,然后又減小到一定值,這是因?yàn)閺椈蓪⒁徊糠帜芰總鬟f給了壓電梁。由圖4 (b)可知,梁的振幅經(jīng)歷了緩慢減小的過程,由于有彈簧的作用,減小的速率較慢。

        當(dāng)A=1.2 m/s2>0.5 m/s2,梁的初始位移為5 mm,作出質(zhì)量塊和壓電梁時(shí)域圖,如圖5所示。

        圖5 A=1.2 m/s2時(shí)壓電俘能器的時(shí)域圖

        由圖5可知,質(zhì)量塊-彈簧發(fā)生直接共振,而壓電梁發(fā)生了參數(shù)共振。質(zhì)量塊-彈簧與壓電梁之間能量轉(zhuǎn)換過程為:剛開始激勵(lì)時(shí),彈簧首先發(fā)生直接共振,經(jīng)過一段時(shí)間后,將能量傳遞給壓電梁,促使壓電梁發(fā)生參數(shù)共振,再經(jīng)過一段時(shí)間,彈簧的位移減小為一定值。由此可知,壓電梁的參數(shù)共振是外部激勵(lì)和彈簧共同作用的結(jié)果。

        當(dāng)A=5 m/s2時(shí),俘能器的Vrms對(duì)于不同Ω的頻率響應(yīng)如圖6所示。

        圖6 A=5 m/s2時(shí)壓電俘能器頻率響應(yīng)

        由圖6(a)可知,無彈簧時(shí),俘能器的正、反向掃頻有微小差別,俘能帶寬為20.70 Hz-19.95 Hz =0.75 Hz,均方根電壓峰值為1.2 V。由圖6(b)可知,有彈簧的俘能器的正、反向掃頻差異較明顯,說明加裝彈簧后系統(tǒng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的軟化和硬化相結(jié)合的特性,增強(qiáng)了參數(shù)共振,俘能帶寬為22.4 Hz-17.4 Hz=5 Hz,帶寬提高了6倍以上,均方根電壓峰值為2.4 V,提高了近2倍。

        如果進(jìn)一步增大激勵(lì)幅值,差別會(huì)更明顯,圖7為A=8 m/s2時(shí)壓電俘能器頻率響應(yīng)。此時(shí),俘能帶寬從5 Hz增加到6 Hz,均方根電壓峰值從2.4 V 增加到3.4 V。

        圖7 A=8 m/s2時(shí)壓電俘能器頻率響應(yīng)

        3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)俘能器的運(yùn)動(dòng)及俘能特性影響

        3.1 m0及k對(duì)激勵(lì)閾值的影響

        圖8為在不同m0下,俘能器的激勵(lì)閾值隨k的變化曲線,圖中水平線為未加彈簧時(shí)的激勵(lì)閾值。

        圖8 激勵(lì)閾值變化曲線

        由圖8可知,隨著k的增大,激勵(lì)閾值先減小后增大,呈下凹的變化趨勢(shì)。對(duì)于不同的m0,當(dāng)k大于某一特定值,有彈簧時(shí)俘能器的激勵(lì)閾值均小于無彈簧時(shí)俘能器的激勵(lì)閾值,這說明只要加裝彈簧的k大于某一特定值,便具有減小俘能器激勵(lì)閾值的效能。

        在f1∶f2=1∶2時(shí),有彈簧的俘能器出現(xiàn)最小激勵(lì)閾值,這說明只有在系統(tǒng)出現(xiàn)了自參數(shù)共振時(shí),俘能器的激勵(lì)閾值達(dá)到最小。

        3.2 m0與最佳剛度(K)

        由圖2(b)可知,當(dāng)m0

        將滿足f1∶f2=1∶2的彈簧剛度k稱為最佳剛度K,得到的m0和K間的關(guān)系如圖9所示。圖中,當(dāng)m0=Mc時(shí),f1=0,則K=0。

        圖9 m0與K關(guān)系曲線

        圖10為取最佳剛度時(shí),質(zhì)量塊-彈簧俘能器的最小激勵(lì)閾值隨m0變化的曲線。由圖可知,m0越大,最小激勵(lì)閾值就越小,當(dāng)m0>0.03 kg時(shí),最小激勵(lì)閾值接近0。

        圖10 m0與激勵(lì)閾值關(guān)系曲線

        圖11為A=5 m/s2,取不同m0及其對(duì)應(yīng)的最佳彈簧剛度時(shí),質(zhì)量塊-彈簧俘能器的頻率響應(yīng)圖。由圖可知,m0越大,俘能帶寬就越大,且Vrms也增大。由于隨著m0的增加,f1減小,則圖11中的參數(shù)共振頻率隨著m0的增大逐漸向左偏移。

        圖11 不同質(zhì)量下梁的頻率響應(yīng)

        4 結(jié)束語

        本文提出了質(zhì)量塊-彈簧參數(shù)共振壓電俘能器的結(jié)構(gòu),利用加裝在質(zhì)量塊與壓電梁間的線性彈簧,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的自參數(shù)共振。

        利用擴(kuò)展哈密頓原理得到俘能器的機(jī)電耦合方程。數(shù)值仿真結(jié)果表明,加裝的彈簧剛度大于某一特定值,便可以減小俘能器激勵(lì)閾值,而此特定值與末端質(zhì)量塊的質(zhì)量相關(guān)。當(dāng)質(zhì)量塊-彈簧的固有頻率為壓電梁固有頻率的2倍時(shí),系統(tǒng)可發(fā)生自參數(shù)共振,此時(shí)俘能器的激勵(lì)閾值達(dá)到最小,同時(shí)俘能帶寬也得到擴(kuò)展。

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