周鳳，繆炳榮，李澤，楊昌休

(1. 重慶交通職業(yè)學(xué)院，重慶402247；2. 西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

0 引言

載荷識別在機(jī)械動態(tài)結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)控、可靠性分析和故障診斷中都起著至關(guān)重要的作用[1]。然而，在許多工程實(shí)踐中，例如風(fēng)機(jī)葉片上的風(fēng)力載荷、飛機(jī)上的空氣動載荷、鐵路軌道和車輪之間的相互作用力等，這些載荷由于技術(shù)或經(jīng)濟(jì)的限制直接進(jìn)行測量是很困難的，甚至是不可能的。所以，利用載荷識別技術(shù)來反求載荷的時間歷程和位置是非常有必要的。

在過去的幾十年里，動態(tài)載荷識別問題已經(jīng)得到了廣泛的研究。提出的方法中主要包含頻域方法[2-7]和時域方法[8-13]兩種。與頻域方法相比，時域方法可以識別包括沖擊載荷在內(nèi)的各種載荷，識別結(jié)果具有明確的物理意義。時域方法在工程中具有良好的應(yīng)用前景。

載荷識別作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)中第二類逆問題，具有典型的不適定性，無論是對于頻域方法還是時域方法，都需要正則化技術(shù)來找到準(zhǔn)確的解決方案。目前，常用的正則化方法有截斷奇異值分解(TSVD)、Tikhonov正則化和迭代正則化方法[14-17]。

上述的載荷識別方法基本上都是關(guān)于簡單的梁和板上所作用載荷的識別。但關(guān)于復(fù)雜大型結(jié)構(gòu)的載荷識別研究較少。本文在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上，利用Landweber迭代正則化求解反問題，以提高載荷識別的精度以及抗噪性，并利用模型減縮技術(shù)中的子結(jié)構(gòu)分析，對大型有限元結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階處理，得到其子結(jié)構(gòu)模型，在保證響應(yīng)計算精度的同時，極大地縮短求解時間，提高計算效率。

另外，目前載荷識別在鐵道車輛中的運(yùn)用主要集中在輪軌力上的識別[19]，而關(guān)于車體表面動態(tài)載荷的識別研究還基本處于空白。本文利用提出的子結(jié)構(gòu)技術(shù)與Landweber迭代正則化來識別比例車體有限元模型上的載荷。

1 載荷識別原理

1.1 正問題模型的建立

具有n自由度的比例阻尼系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(1)

假定系統(tǒng)對單位脈沖的響應(yīng)，即由載荷作用點(diǎn)到響應(yīng)測量點(diǎn)的Green函數(shù)G(t)，則根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)所受外載荷所引起的動態(tài)響應(yīng)為

(2)

考慮零初始條件系統(tǒng)，將上式卷積積分以Δ(t)為離散的采樣時間間隔，m為采樣點(diǎn)數(shù)，離散為一組線性方程組，其矩陣形式表示如下：

(3)

進(jìn)一步，式(3)可以簡單表示為

Y=GF

(4)

其中：yi、Gi、fi分別為t=i△(t)的響應(yīng)、Green函數(shù)和待求的外載荷；G為下三角矩陣，是由有限元求解得到的Green脈沖核函數(shù)響應(yīng)建立的。

當(dāng)響應(yīng)中含有噪聲時，通過方程式(4)求解外部載荷就變成一個病態(tài)的、不適定問題，就需要正則化技術(shù)解決這類病態(tài)問題。

1.2 Landweber迭代正則化方法

考慮抽象的算子方程：

Ax=y

(5)

其中A:X→Y為有界線性算子，X和Y均為可分的Hilbert空間。

Landweber迭代法的迭代格式為

xk=xk-1+wA*(y-Axk-1)

(6)

fk=fk-1+wGT(y-Gfk-1)

(7)

式中的k與式(6)中的一樣為迭代次數(shù)，發(fā)揮著正則化參數(shù)的作用。初始解向量f0可設(shè)置為f0=0。

1.3 子結(jié)構(gòu)分析方法

在利用上述迭代方法進(jìn)行載荷識別時，需要計算有限元仿真系統(tǒng)的動響應(yīng)。對于大型復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，其有限元模型的網(wǎng)格質(zhì)量決定了仿真的精度，而越密的網(wǎng)格會導(dǎo)致求解動響應(yīng)的時間也就越長，有時候甚至求解困難。采用子結(jié)構(gòu)法將大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)按照一定的原則劃分成若干個子結(jié)構(gòu)，先將每一個子結(jié)構(gòu)減縮為很少自由度的模型，然后根據(jù)各子結(jié)構(gòu)之間關(guān)系，組裝得到整體結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。本文采用的子結(jié)構(gòu)分析方法屬于模型減縮技術(shù)中的一種。

子結(jié)構(gòu)法就是將一組單元用矩陣凝聚為一個超單元的過程。系統(tǒng)的運(yùn)動平衡方程為

(8)

將u分為主自由度us和從自由度uc兩部分，并令

u=Tus

(9)

其中T為轉(zhuǎn)換矩陣。

采用 Guyan縮減方法，將相同的轉(zhuǎn)換矩陣T擴(kuò)展到式(8)中的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，即

Ms=TTMT,Cs=TTCT

(10)

新的平衡方程變?yōu)?/p>

(11)

此時自由度數(shù)縮減為主自由度數(shù)。

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證上述Landweber迭代正則化識別的準(zhǔn)確性、抗干擾性以及子結(jié)構(gòu)分析技術(shù)對識別過程中計算效率改善的正確性，選擇大型復(fù)雜的比例車體結(jié)構(gòu)作為數(shù)值仿真模型。在ANSYS中建立如圖1所示的有限元模型，主體結(jié)構(gòu)采用shell63板殼單元進(jìn)行離散化網(wǎng)格劃分，該比例車體模型是相對高速列車1∶8的簡化模型，長×寬×高為3 022 mm×407 mm×350.8 mm，模型材料為鋁合金，即彈性模量E=6.9×1010Pa，密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比v=0.3。

圖1 比例車體有限元模型

2.1 子結(jié)構(gòu)的應(yīng)用及結(jié)果分析

ANSYS軟件中應(yīng)用Guyan縮減法來計算縮減矩陣，而選取主自由度在矩陣縮減分析中起到關(guān)鍵作用，其準(zhǔn)確程度將取決于主自由度的數(shù)量和分布位置。因此，根據(jù)文獻(xiàn)[20]中主自由度的選取方法對該比例車體結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行主自由度的選取。在模型上選取包括加載點(diǎn)和響應(yīng)測量點(diǎn)在內(nèi)的共301個節(jié)點(diǎn)，縮減自由度后的比例車體有限元模型如圖2所示。分析縮減前后結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率以及響應(yīng)計算效率。

圖2 縮減自由度后的比例車體模型

1)縮減前后模態(tài)對比

表1為比例車體縮減前全自由度和縮減后模態(tài)頻率的對比情況(去掉前6階剛體模態(tài))。圖3為縮減前后模態(tài)頻率對比圖。從表1和圖3都可以看出，所選取主自由度后的子結(jié)構(gòu)模型能滿足模型的準(zhǔn)確度，且對于前4階模態(tài)，選取前后模態(tài)頻率的相對偏差基本低于1%或在1%附近。這是由于主自由度的選取數(shù)量對低價模態(tài)影響較小，而對高階模態(tài)影響較大。

表1 比例車體主自由度選取前后模態(tài)對比

圖3 比例車體模態(tài)頻率對比圖

2)核函數(shù)響應(yīng)計算效率分析

分別對比例車體原模型和子結(jié)構(gòu)縮減模型求脈沖核函數(shù)響應(yīng)，比較這兩種模型中計算相同時間歷程的核函數(shù)響應(yīng)所需要的實(shí)際CPU時間，如表2所示。其中采樣周期為Δt=0.000 5s。

表2 縮減前后模型核函數(shù)響應(yīng)計算時間

單位：s

由表2可見，相比于全自由度的原模型，子結(jié)構(gòu)模型大大減少了核函數(shù)響應(yīng)計算時間，且所需計算的響應(yīng)時間歷程越長，子結(jié)構(gòu)縮減模型提高計算效率的效果就越明顯。因此，應(yīng)用子結(jié)構(gòu)技術(shù)將大大提高載荷識別過程中計算核函數(shù)響應(yīng)的效率。

2.2 載荷識別結(jié)果分析

1)不同形式載荷下的識別結(jié)果

在比例車體子結(jié)構(gòu)模型的節(jié)點(diǎn)5614上施加垂直于上頂板的載荷，即z向上加載，并選取距離測量點(diǎn)較近的響應(yīng)節(jié)點(diǎn)5795(z向)上的位移作為響應(yīng)用于載荷識別。所施加的載荷分別取如下幾種形式：

1)正弦載荷：

(12)

2)三角載荷：

(13)

3)方波載荷：

(14)

正弦載荷、三角載荷和方波載荷選用不同的采樣頻率，即f1=2000Hz、f2=4000Hz和f3=3 333.33Hz，利用Landweber迭代正則化方法進(jìn)行載荷識別，并對比傳統(tǒng)的Tikhonov正則化。各載荷形式下的識別結(jié)果分別如圖4-圖6所示。

由圖4-圖6可以看出，對于不同形式的載荷，在沒有噪聲的情況下，傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法和Landweber迭代正則化都能準(zhǔn)確地識別載荷，這是由于在響應(yīng)數(shù)據(jù)不含有噪聲時(實(shí)際情況中幾乎是不存在的)，可以直接通過矩陣求逆法反求載荷，即此時有無正則化的識別效果相差不大，所以這兩種正則化方法下的載荷識別結(jié)果相似。但從圖4和圖6也可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)Tikhonov正則化方法在載荷值突變處以及時間起始點(diǎn)處，相比于Landweber迭代正則化的識別誤差較大。

圖4 正弦載荷識別結(jié)果對比

圖5 三角載荷識別結(jié)果對比

圖6 方波載荷識別結(jié)果對比

2)不同噪聲水平下的識別結(jié)果

由于實(shí)際測量的響應(yīng)信號y中總是包含噪聲，在仿真得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)中加入不同水平的隨機(jī)噪聲來模擬測試誤差。帶噪聲的響應(yīng)可表示成如下形式：

ynoise=y(t)+lnoisestd[y(t)]rand(-1,1)

(15)

其中：y(t)為仿真得到的位移響應(yīng)；std[y(t)]為位移響應(yīng)y(t)的標(biāo)準(zhǔn)差；lnoise為噪聲水平的百分?jǐn)?shù)；rand(-1,1)為區(qū)間[-1,1]上的隨機(jī)數(shù)。

首先，對于正弦載荷在噪聲水平分別為3%、5%和10%的載荷識別結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，隨著噪聲水平的增大，Tikhonov正則化識別的誤差逐漸增加，并且到噪聲水平為10%時，已經(jīng)不能識別出所加載荷。圖7(c)中，Tikhonov正則化方法在t=0.03s附近，識別結(jié)果已經(jīng)趨于發(fā)散。而Landweber迭代正則化在這3種噪聲水平下都能較準(zhǔn)確地識別，識別精度并沒有隨著噪聲水平的波動而發(fā)生較大變化。

圖7 在不同噪聲水平(3%、5%、10%)下正弦載荷的識別結(jié)果

為了更進(jìn)一步說明噪聲的影響，選取正弦載荷在噪聲水平為5%下，隨機(jī)5個不同的離散時間點(diǎn)上識別的結(jié)果如表3所示，得到Landweber迭代正則化識別誤差，除了少許的幾個時間點(diǎn)，基本在5%以下，且大部分的識別相對誤差低于Tikhonov方法。同時分析在噪聲水平為5%下，三角載荷和方波載荷的識別結(jié)果如圖8、圖9所示。從這兩幅圖中可以看出，與正弦載荷類似，在5%的噪聲水平下Landweber正則化識別三角和方波這兩種載荷的識別精度明顯高于Tikhonov正則化。

表3 在噪聲水平5%下隨機(jī)5個時間點(diǎn)上正弦載荷的識別誤差

圖8 噪聲水平為5%下三角載荷的識別結(jié)果

圖9 噪聲水平為5%下方波載荷的識別結(jié)果

3 結(jié)語

本文利用Landweber迭代正則化解決載荷識別過程的病態(tài)逆問題。結(jié)合子結(jié)構(gòu)分析技術(shù)，識別作用于比例車體有限元模型上的正弦、三角以及方波載荷，并與傳統(tǒng)的Tikhonov正則化進(jìn)行比較，得到以下結(jié)論：

1)Landweber迭代正則化可以高精度識別作用于比例車體仿真模型的多種形式載荷；

2)應(yīng)用子結(jié)構(gòu)分析的模型縮減技術(shù)可以提高識別過程中計算核函數(shù)響應(yīng)的效率，從而減少整個迭代反求的時間，更快速準(zhǔn)確地求得所加載荷；

3)在識別此類大型復(fù)雜有限元結(jié)構(gòu)上作用的載荷時，Tikhonov正則化方法對噪聲很敏感，達(dá)到一定噪聲水平后其解便趨于發(fā)散，不能識別出所施加載荷，而Landweber迭代正則化能夠有效抑制噪聲，且整體識別精度高。

本文將子結(jié)構(gòu)縮減技術(shù)和Landweber迭代正則化用于求解比例車體有限元模型上所施加的載荷，為識別復(fù)雜的高速列車車體表面動態(tài)載荷的分布及其動態(tài)特性的研究奠定基礎(chǔ)。