王道俊，王洪申

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

0 引言

在計(jì)算機(jī)視覺和模式識(shí)別中，形狀相似性度量是一個(gè)重要的研究課題，在眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，如圖像檢索、文字識(shí)別、目標(biāo)識(shí)別、醫(yī)學(xué)圖像分析、人臉識(shí)別、機(jī)器人導(dǎo)航以及傳感器網(wǎng)絡(luò)等。在形狀相似性度量問題中，兩條曲線的相似性度量是基本問題。在進(jìn)行模型的相似性評(píng)價(jià)時(shí)，研究人員通常對(duì)模型進(jìn)行特征提取，即提取出能夠代表模型本質(zhì)特征的因素，再通過對(duì)模型特征的相似度計(jì)算評(píng)價(jià)模型的相似性。特征提取方法較多，其中形狀分布算法[1]因其原理直觀，性能魯棒而被廣泛采用。趙俊莉等[2]以平均測(cè)地距離作為評(píng)價(jià)依據(jù)，研究3D人臉形貌的相似性比較；馬元魁等[3]以形體的形狀分布曲線作為識(shí)別圓環(huán)體間形狀差別的評(píng)價(jià)度量；ALCZAR J G等[4]運(yùn)用曲線的曲率和撓率評(píng)價(jià)曲線間的相似性；BUCHIN K等[5]通過計(jì)算Fréchet 距離作為相似性度量，研究了運(yùn)動(dòng)曲線的相似性；呂科等[6]以解決空間曲線匹配來達(dá)到文物碎片的復(fù)原，運(yùn)用輪廓線的哈希矢量分析曲線段的相似度。王堅(jiān)等[7]針對(duì)封閉輪廓曲線，計(jì)算各采樣點(diǎn)的弗朗內(nèi)特標(biāo)架和曲率值，利用曲率形成匹配點(diǎn)對(duì)，再通過對(duì)齊弗朗內(nèi)特標(biāo)架獲得匹配矩陣，取匹配誤差最小的矩陣作為最優(yōu)匹配矩陣，實(shí)現(xiàn)空間曲線的匹配。孫曉鵬等[8]運(yùn)用Minkowski距離作為相似測(cè)度，實(shí)現(xiàn)基于統(tǒng)計(jì)形狀特征的三維耳廓點(diǎn)云識(shí)別。王洪申等[9]利用曲線的曲率分布描述空間曲線的幾何特征，并以此衡量三維自由曲線的相似程度。

現(xiàn)有的形狀分布算法通常是：1)定義一個(gè)函數(shù)，在三維模型上計(jì)算該函數(shù)值；2)統(tǒng)計(jì)函數(shù)值，將三維特征描述成函數(shù)值的二維分布圖；3)根據(jù)二維分布圖之間的距離作為相似程度依據(jù)。本文為了研究自由曲線間的相似性，計(jì)算曲線上的點(diǎn)到曲線形心的歐式距離作為描述函數(shù)，并將多個(gè)距離組成集合作為曲線的形狀描述特征，然后直接計(jì)算集合之間的EMD(earth mover’s distance)距離，并以該距離作為評(píng)判相似性的依據(jù)。省去了常規(guī)形狀分布算法的第2)步函數(shù)值的統(tǒng)計(jì)過程，從而減少了信息損失，更簡(jiǎn)潔、直觀地實(shí)現(xiàn)了相似性的評(píng)價(jià)。

1 平面曲線和空間曲線的相似性評(píng)價(jià)算法

EMD即推土機(jī)距離，最初是為了解決運(yùn)輸問題[10]，該算法能通過一次線性規(guī)劃計(jì)算出兩個(gè)大小不同(或相同)的幾何或向量的距離，可用于測(cè)量不同維特征向量之間的相似性。本文以沿曲線等弧長(zhǎng)方向均勻取點(diǎn)，計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到曲線質(zhì)心的歐式距離，以該距離作為曲線的特征，使用EMD算法計(jì)算兩個(gè)曲線特征之間的距離，以該距離的大小描述曲線的相似性。

設(shè)MC={Curve1,Curve2}是含有2個(gè)元素的一個(gè)自由曲線集合，通過運(yùn)算比較集合中元素之間的相似性。算法步驟如下：

1)沿自由曲線Curvei(其中i=1時(shí)，表示自由曲線1，i=2時(shí)，表示自由曲線2)等弧長(zhǎng)取相同的點(diǎn)數(shù)n，得到點(diǎn)集合表示為Pij={Pij，i=1，2；j=1，2，3，…，n；}，獲得每個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)Pij(xi，j，yi，j，zi，j)。

2)計(jì)算自由曲線的質(zhì)心Mi(i=1,2)，計(jì)算質(zhì)心公式寫成坐標(biāo)分量形式，如下：

(1)

其中n為三維點(diǎn)的數(shù)量。得到Curve1的質(zhì)心M1(x1，0，y1，0，z1，0)，Curve2的質(zhì)心M2(x2，0，y2，0，z2，0)。

3)利用歐氏距離公式，計(jì)算自由曲線上等弧長(zhǎng)所取每個(gè)點(diǎn)與質(zhì)心Mi的距離，記為|pijMi|，得到自由曲線上等弧長(zhǎng)取點(diǎn)距離的集合Di={di=|pijMi|,i=1,2;j=1,2,…,n}；

4)步驟3)中計(jì)算的每個(gè)距離集合代表了一條曲線特征，計(jì)算兩個(gè)距離集合的EMD值，EMD值越小，曲線越相似。

記作：

δsim(Curve1,Curve2)=EMD(D1,D2)

(2)

2 算法驗(yàn)證實(shí)例

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證本文曲線相似性評(píng)價(jià)算法的性能，構(gòu)造如表1所示的3組平面自由曲線模型和表2所示的3組空間自由曲線模型。其中：表1所示的3組平面曲線中，第1組為形狀有微小差異的3條平面橢圓曲線，用人眼的直觀相似性評(píng)價(jià)，曲線2和曲線3更相似，計(jì)算值應(yīng)滿足式(3)；第2組為形狀有微小差異的平面B樣條開曲線，用人眼的直觀相似性評(píng)價(jià)，曲線1和曲線2更相似；第3組為形狀有微小差異的平面B樣條閉曲線，用人眼的直觀相似性評(píng)價(jià)，曲線1和曲線2更相似。第4、第5組為形狀有微小差異的空間B樣條開曲線，第6組為形狀有微小差異的空間B樣條閉曲線。第2組至第6組實(shí)驗(yàn)，以人眼直觀觀察，實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)滿足式(4)。實(shí)驗(yàn)中，分別在每條曲線上以等弧長(zhǎng)方法取相同數(shù)量的點(diǎn)(設(shè)取點(diǎn)數(shù)量為m)，計(jì)算所取點(diǎn)與曲線質(zhì)心的歐氏距離，作為EMD度量的參數(shù)，將平面曲線和空間曲線上得到的歐氏距離的依次帶入式(2)，計(jì)算兩兩曲線的EMD值。

δsim(Ellip2,Ellip3)<δsim(Ellip1,Ellip2)<δsim(Ellip1,Ellip3) (3)

δsim(Curve1,Curve2)<δsim(Curve2,Curve3)<δsim(Curve1,Curve3)

(4)

表1 算法對(duì)平面曲線有效性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

表2 算法對(duì)空間曲線有效性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

1)針對(duì)平面曲線的算法有效性驗(yàn)證

應(yīng)用構(gòu)造的第1-第3組平面曲線，設(shè)計(jì)3組實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證算法的有效性與可行性。由式(2)計(jì)算兩平面曲線的EMD值，根據(jù)所取點(diǎn)數(shù)的不同，得到表3所示的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)滿足式(3)、式(4)，與人的直觀評(píng)價(jià)一致。

表3 算法對(duì)平面曲線有效性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

2)針對(duì)空間曲線算法有效性驗(yàn)證

運(yùn)用構(gòu)造的第4-第6組空間曲線，設(shè)計(jì)3組實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證算法的有效性與可行性。由式(2)計(jì)算兩曲線的相似度量值，根據(jù)所取點(diǎn)數(shù)的不同，得到表4所示的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)滿足式(3)、式(4)，與人的直觀評(píng)價(jià)一致。

表4 算法對(duì)空間曲線有效性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

3)算法魯棒性驗(yàn)證

應(yīng)用構(gòu)造的第3組平面曲線的Curve1、Curve2和第5組空間曲線的Curve1、Curve2，分別設(shè)計(jì)3個(gè)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證算法對(duì)平移和旋轉(zhuǎn)的魯棒性。組號(hào)分別記為X-Ⅰ、X-Ⅱ、X-Ⅲ(X取3、5)。X-Ⅰ組不進(jìn)行任何變換，比較兩曲線的相似性；X-Ⅱ組曲線Curve1與Curve2分別平移不同的距離，比較兩曲線的相似性；X-Ⅲ組曲線Curve1與Curve2分別進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，比較曲線的相似性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示，X-I組和X-II組的相似值相同，表明相似性評(píng)價(jià)結(jié)果與曲線的平移無關(guān)；X-I組和X-III組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比可知，相似性評(píng)價(jià)結(jié)果與曲線的旋轉(zhuǎn)無關(guān)。因此，算法具有平移、旋轉(zhuǎn)不變性。

表5 算法魯棒性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

3 結(jié)語

本文提出了曲線的相似性評(píng)價(jià)算法，適用于平面曲線和空間曲線。首先在曲線上取點(diǎn)計(jì)算該點(diǎn)到曲線質(zhì)心的歐氏距離，作為該曲線的特征，然后用EMD算法計(jì)算曲線特征的距離，用于度量空間曲線的相似性，計(jì)算簡(jiǎn)便，方法可靠。算法評(píng)價(jià)的空間曲線相似性結(jié)果符合人的感官判斷，能夠很好地反映空間曲線的相似程度。通過大量的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，算法可行有效。