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        基于改進Jensen不等式的中立型時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

        2021-08-11 08:51:44楊明明
        河南科學 2021年7期
        關鍵詞:自由權時滯導數(shù)

        楊明明, 邵 荃,丁 嘯

        (1.南京航空航天大學民航學院,南京 210016;2.上海農村商業(yè)銀行總行,上海 201210)

        時滯現(xiàn)象是引起系統(tǒng)振動和不穩(wěn)定的關鍵因素,在工業(yè)過程、神經網(wǎng)絡等實際生產生活中隨處可見.近年來,許多學者對于時變時滯系統(tǒng)的區(qū)間顯著性過程進行了大量的研究.He等[1]推動了最初的區(qū)間變時滯的發(fā)展,確定了基本的穩(wěn)定性判據(jù),并在文獻[2]通過自由權矩陣方法,提出了有關區(qū)間時變時滯的神經網(wǎng)絡更低保守性的研究成果.文獻[3-7]使用的自由權矩陣方法和Jensen積分不等式對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性進行進一步研究.文獻[8-11]通過結合構造新的Lyapunov函數(shù)進一步改善了時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性結論.彭丹和華長春[12]通過引入2-D Jensen不等式并結合Lyapunov函數(shù)給出了新的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性準則.孫欣、高躍[13-14]將Writinger積分不等式應用于時滯系統(tǒng),證明其與Jensen不等式相比有更低的保守性.

        本文基于現(xiàn)有時滯系統(tǒng)的研究成果,通過將Jensen不等式轉化為保守性更低的Wirtinger型不等式,并構建新的Lyapunov-Krasovskii泛函,結合自由權矩陣得到了基于線性矩陣不等式形式(Linear matrix inequality,LMI)的時滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)并進行了證明.

        1 基本概念

        1.1 Jensen不等式

        Jensen不等式是反映凸函數(shù)的基本不等式,對于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m,M=MT>0,標量γ>0,向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有以下Jensen積分不等式:

        1.2 Wirtinger型不等式

        與Jensen不等式相比,Wirtinger不等式的保守性更小[13].因此本文對Jensen不等式進行改進,得到新的Wirtinger型不等式.

        Wirtinger不等式的形式為:對于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m,M=MT>0,向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有:

        1.3 自由權矩陣

        利用Park不等式或Moon不等式結合模型變換是解決時滯問題的主要方法,即在穩(wěn)定性分析過程中用Leibniz-Newton公式來取代Lyapunov-Krasovskii泛函導數(shù)中的時滯項,即使用固定權矩陣來處理Leibniz-Newton公式間各項的關系,無法取代所有的時滯項,存在極大的局限性.

        因此,為了克服固定權矩陣的保守性,自由權矩陣方法被引入用來表示Leibniz-Newton公式中各項的相互關系.通過求解LMI進行自由權矩陣優(yōu)化,獲得具有較低保守性的時滯相關穩(wěn)定條件.自由權矩陣方法在處理Lyapunov-Krasovskii泛函導數(shù)時,不利用交叉項界定技術或模型變換,而是將x?(t)用系統(tǒng)方程x?(t)=Ax(t)+Ad x(t-h(t))替換后將該式左側恒為零值的項加入Lyapunov-Krasovskii泛函導數(shù)中,從而得到時滯相關的穩(wěn)定條件:

        其中N1,N2是自由的,其最優(yōu)值通過LMI的解求出,從而避免了固定權矩陣方法導致的高保守性.

        2 穩(wěn)定性分析

        2.1 問題描述

        考察以下中立型時滯系統(tǒng):

        其中,x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量,0≤h1≤h(t)≤h2,h12=h2-h1,且φ(t)∈C1(h2)為連續(xù)可微函數(shù),定義域為[- 2h2,0].

        2.2 改進的Jensen不等式

        證明

        可以發(fā)現(xiàn),

        可推得:

        即定理1得證.

        2.3 時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

        做如下定義:

        相應地分塊矩陣如下:

        則該時滯系統(tǒng)可寫作:

        定理2 若存在矩陣P∈Rn×n,Q1∈Rn×n,Q2∈Rn×n,Q3∈Rn×n,R1∈Rn×n,R2∈Rn×n,滿足線性矩陣Ξ<0,那么中立型時滯系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

        證明 構造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函:

        依次求導后可得:

        由定理1可推知:

        構造線形矩陣Ξ:

        可得:

        當Ξ<0時,V?(t)<0,即時滯系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

        引入自由權矩陣,定義

        其相應的分塊矩陣如下:

        那么時滯系統(tǒng)有如下自由權不等式:

        其中M為任意的合適維數(shù)的矩陣.結合該自由權不等式及定理2,可得定理3.

        定理3 若存在矩陣P∈Rn×n,Q1∈Rn×n,Q2∈Rn×n,Q3∈Rn×n,R1∈Rn×n,R2∈Rn×n以及任意的M∈R8n×n,滿足線性矩陣Ξ<0,時滯系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

        其中:

        3 結論

        本文以中立型時滯系統(tǒng)作為研究對象,將Jensen不等式進一步構建成為保守性更低的Wirtinger型積分不等式,利用Lyapunov第二方法構造新的Lyapunov-Krasovskii泛函,并引入自由權矩陣來表示Leibniz-Newton公式中各項之間的關系,最終得到了保守性更低的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù).

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