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        基于改進(jìn)Jensen不等式的中立型時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

        2021-08-11 08:51:44楊明明
        河南科學(xué) 2021年7期
        關(guān)鍵詞:自由權(quán)時(shí)滯導(dǎo)數(shù)

        楊明明, 邵 荃,丁 嘯

        (1.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院,南京 210016;2.上海農(nóng)村商業(yè)銀行總行,上海 201210)

        時(shí)滯現(xiàn)象是引起系統(tǒng)振動和不穩(wěn)定的關(guān)鍵因素,在工業(yè)過程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等實(shí)際生產(chǎn)生活中隨處可見.近年來,許多學(xué)者對于時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的區(qū)間顯著性過程進(jìn)行了大量的研究.He等[1]推動了最初的區(qū)間變時(shí)滯的發(fā)展,確定了基本的穩(wěn)定性判據(jù),并在文獻(xiàn)[2]通過自由權(quán)矩陣方法,提出了有關(guān)區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更低保守性的研究成果.文獻(xiàn)[3-7]使用的自由權(quán)矩陣方法和Jensen積分不等式對時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行進(jìn)一步研究.文獻(xiàn)[8-11]通過結(jié)合構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)進(jìn)一步改善了時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論.彭丹和華長春[12]通過引入2-D Jensen不等式并結(jié)合Lyapunov函數(shù)給出了新的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則.孫欣、高躍[13-14]將Writinger積分不等式應(yīng)用于時(shí)滯系統(tǒng),證明其與Jensen不等式相比有更低的保守性.

        本文基于現(xiàn)有時(shí)滯系統(tǒng)的研究成果,通過將Jensen不等式轉(zhuǎn)化為保守性更低的Wirtinger型不等式,并構(gòu)建新的Lyapunov-Krasovskii泛函,結(jié)合自由權(quán)矩陣得到了基于線性矩陣不等式形式(Linear matrix inequality,LMI)的時(shí)滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)并進(jìn)行了證明.

        1 基本概念

        1.1 Jensen不等式

        Jensen不等式是反映凸函數(shù)的基本不等式,對于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m,M=MT>0,標(biāo)量γ>0,向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有以下Jensen積分不等式:

        1.2 Wirtinger型不等式

        與Jensen不等式相比,Wirtinger不等式的保守性更小[13].因此本文對Jensen不等式進(jìn)行改進(jìn),得到新的Wirtinger型不等式.

        Wirtinger不等式的形式為:對于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m,M=MT>0,向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有:

        1.3 自由權(quán)矩陣

        利用Park不等式或Moon不等式結(jié)合模型變換是解決時(shí)滯問題的主要方法,即在穩(wěn)定性分析過程中用Leibniz-Newton公式來取代Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中的時(shí)滯項(xiàng),即使用固定權(quán)矩陣來處理Leibniz-Newton公式間各項(xiàng)的關(guān)系,無法取代所有的時(shí)滯項(xiàng),存在極大的局限性.

        因此,為了克服固定權(quán)矩陣的保守性,自由權(quán)矩陣方法被引入用來表示Leibniz-Newton公式中各項(xiàng)的相互關(guān)系.通過求解LMI進(jìn)行自由權(quán)矩陣優(yōu)化,獲得具有較低保守性的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件.自由權(quán)矩陣方法在處理Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)時(shí),不利用交叉項(xiàng)界定技術(shù)或模型變換,而是將x?(t)用系統(tǒng)方程x?(t)=Ax(t)+Ad x(t-h(t))替換后將該式左側(cè)恒為零值的項(xiàng)加入Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中,從而得到時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定條件:

        其中N1,N2是自由的,其最優(yōu)值通過LMI的解求出,從而避免了固定權(quán)矩陣方法導(dǎo)致的高保守性.

        2 穩(wěn)定性分析

        2.1 問題描述

        考察以下中立型時(shí)滯系統(tǒng):

        其中,x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量,0≤h1≤h(t)≤h2,h12=h2-h1,且φ(t)∈C1(h2)為連續(xù)可微函數(shù),定義域?yàn)閇- 2h2,0].

        2.2 改進(jìn)的Jensen不等式

        證明

        可以發(fā)現(xiàn),

        可推得:

        即定理1得證.

        2.3 時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

        做如下定義:

        相應(yīng)地分塊矩陣如下:

        則該時(shí)滯系統(tǒng)可寫作:

        定理2 若存在矩陣P∈Rn×n,Q1∈Rn×n,Q2∈Rn×n,Q3∈Rn×n,R1∈Rn×n,R2∈Rn×n,滿足線性矩陣Ξ<0,那么中立型時(shí)滯系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

        證明 構(gòu)造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函:

        依次求導(dǎo)后可得:

        由定理1可推知:

        構(gòu)造線形矩陣Ξ:

        可得:

        當(dāng)Ξ<0時(shí),V?(t)<0,即時(shí)滯系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

        引入自由權(quán)矩陣,定義

        其相應(yīng)的分塊矩陣如下:

        那么時(shí)滯系統(tǒng)有如下自由權(quán)不等式:

        其中M為任意的合適維數(shù)的矩陣.結(jié)合該自由權(quán)不等式及定理2,可得定理3.

        定理3 若存在矩陣P∈Rn×n,Q1∈Rn×n,Q2∈Rn×n,Q3∈Rn×n,R1∈Rn×n,R2∈Rn×n以及任意的M∈R8n×n,滿足線性矩陣Ξ<0,時(shí)滯系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

        其中:

        3 結(jié)論

        本文以中立型時(shí)滯系統(tǒng)作為研究對象,將Jensen不等式進(jìn)一步構(gòu)建成為保守性更低的Wirtinger型積分不等式,利用Lyapunov第二方法構(gòu)造新的Lyapunov-Krasovskii泛函,并引入自由權(quán)矩陣來表示Leibniz-Newton公式中各項(xiàng)之間的關(guān)系,最終得到了保守性更低的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù).

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