夏翹楚，胡 橋

（1.華南理工大學工商管理學院，廣州 510640；2.廣州市金融服務創(chuàng)新與風險管理研究基地，廣州 510640；3.浙江大學計算機科學與技術學院，杭州 310027）

1 研究背景

在馬科維茨1952年的工作中，投資者僅在收益-風險之間進行權衡［1］.然而，很多研究指出投資者面臨的現(xiàn)實情境遠比此復雜，因此一系列多目標優(yōu)化研究應運而生［2-3］.新引入的目標可以簡單分為財務類和非財務類，越來越多的學者引入社會責任作為第三個標準［4-5］，這可能來源于三個方面的原因：第一，越來越多投資者除了追求安全的未來，也想回饋社會［6］；第二，市面上有預先篩選好的社會責任共同基金可供選擇，學者們可以借此機會調(diào)查相關基金公司是否真正將社會責任納入考慮范疇［7］；第三，除了前述打包好的社會責任型基金，也可以從可持續(xù)性指數(shù)中抽取多個對象公司［8］，或者直接進行個體公司層次的研究：國際上已有獨立評級機構對個體公司進行社會責任評價，以美國為例，有三家權威機構（Thomson Reuters、Bloom?berg和KLD）對眾多上市美國企業(yè)進行了environmental，social and corporate governance（ESG）評級［9］.針對大部分A股上市公司，從2013年起，和訊網(wǎng)每年都會發(fā)布上市公司社會責任報告.基于五個一級指標（股東責任、員工責任、供應商、客戶和消費者權益責任、環(huán)境責任和社會責任）的考慮，不僅給單個公司一個數(shù)字化的“總得分”（上限100），而且還對應分數(shù)段劃分了字母等級.這些條件使得有關社會責任投資的研究具備必要性和可行性.

Bénabou和Tirole［10］指出投資社會責任表現(xiàn)好的公司的股票，這一行為受社會尊重和自尊的驅(qū)使.值得一提的是，這種心理活動與馬斯洛需要層次理論中“尊重需要”不謀而合.Maslow［11］指出人類具有五個層次的需要，其中第四層“尊重需要”由外部尊重（主要指社會尊重）和內(nèi)部尊重（主要指自尊）組成，目前已有部分投資組合研究直接基于該理論.在理論上，De Brouwer［12］對應五層需要分別給出合適的投資方式；馬斯洛需要層次理論的核心在于人類的需要是逐層實現(xiàn)，而不是一次性得到滿足的.因此在模型方面，Li等［13］提出了一個投資組合雙層規(guī)劃模型，考慮了投資者的安全需要和自我實現(xiàn)需要.在這個意義上，多層規(guī)劃尤其適合這種框架.多層規(guī)劃（包括雙層和三層）用于求解多個分散化決策問題，且這些問題的決策變量處于一個層次化的整體中［14］，相比于雙層規(guī)劃，三層規(guī)劃更加貼近現(xiàn)實場景［15］.除此之外，也有一些模型間接反映了人類的需要金字塔.在經(jīng)典的行為投資組合理論（BPT）中［16］，帶有兩個心理賬戶的投資者用其第一個賬戶規(guī)避貧窮，第二個賬戶去追求財富.其中該理論通過一個非線性約束賦予第一個賬戶優(yōu)先權.

然而一方面，現(xiàn)有基于馬斯洛需要的研究多是只量化了安全需要和自我實現(xiàn)需要，極少有投資組合研究繼續(xù)關注余下三層需要；另一方面，盡管社會責任投資被視為一種新的投資標準，但是幾乎沒有研究將其與尊重需要聯(lián)系起來，也就更不會考慮其與傳統(tǒng)二維指標的優(yōu)先次序關系.因此，為了刻畫安全需要、尊重需要和自我實現(xiàn)需要及其相互之間的關系，后文針對投資組合問題提出了一個三層規(guī)劃模型，模型中，下層需要的目標是最小化風險，中層和上層則追求更高的社會績效和財務收益.

同樣還是在均值-方差模型中，Markowitz［1］假設投資者始終風險厭惡，但Friedman和Savage［17］發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)實生活中買保險的人也會買彩票，S型價值曲線表明投資者在面對收益和損失時具有不同的心態(tài)［18］.此外，BPT也隱含了投資者在下層賬戶風險厭惡，在上層賬戶卻風險追尋的事實［19］.之后，通過調(diào)節(jié)收益、概率閾值的取值，獨立的心理賬戶模型直接刻畫了投資者變化的風險態(tài)度［20］.因此，為了更加全面地反映投資者的需要，獨立的投資組合模型應該包含多個風險度量.已有一些學者從定義本身入手研究特定風險度量適合的心理狀態(tài)，Dowd和Blake［21］、Dowd等［22］均指出，譜風險度量、CVaR和VaR分別適合風險厭惡、風險中性和風險追尋三種狀態(tài).本文模型在下層使用方差度量風險，中層和上層分別使用CVaR和VaR.

根據(jù)定義，VaR等風險度量的精確計算需要知道確切的收益分布［23］.為了提高計算效率，Ghaoui等［24］提出VaR的近似表達式.至于CVaR，通常需要先計算VaR，這類風險度量求解問題在多風險度量的模型中尤為突出［25］.為提高求解效率，后文將模型轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃求解器可以直接求解的形式.

風險度量是約束的一種特殊形式，事實上投資者會面臨很多現(xiàn)實約束.比如頻繁地買入賣出帶來的交易費用會侵蝕收益［26］.因此很多研究考慮交易費用，徐永春［27］構建考慮非線性交易費用情形下的M-CVaR模型.楊興雨等［28］提出了帶交易費用的集成專家意見在線投資組合策略.目前，常用三種交易費用形式，包括比例型［29］、二次形式［30］和V型［31］.為了簡單起見，假設交易成本與交易規(guī)模成比例.

總的來說，本文模型有以下四點創(chuàng)新：第一，針對投資組合問題構建三層次模型，反映了投資者的安全需要、尊重需要和自我實現(xiàn)需要以及這三種需要的實現(xiàn)順序，這深化了馬斯洛需要層次理論在投資組合領域的應用.第二，從內(nèi)涵上將社會責任投資與尊重需要聯(lián)系起來，為社會責任標準豐富了動機.第三，通過在每一層次使用不同的風險度量，捕捉了投資者隨目標變化而變化的風險態(tài)度.第四，使用半定規(guī)劃方法，優(yōu)化了求解過程.

2 模型

2.1 假設與參數(shù)設定

2.2 下層（安全需要）模型

對于投資者來說，任何投資的前提是該項投資不會影響他們的生活狀況.換句話說，為了滿足安全需要，他們需要保證初始財富安全.為了描述這種安全需要，假設投資者的目標是最小化投資組合的風險，并且鑒于方差衡量的是總體波動性，這一層使用方差作為風險度量.假設下層投資比例為z=( )z1,z2,…,zn′，則下層模型為：

其中：rl(z)=z′H z為投資組合的方差；G是投資者能夠接受的最低收益率.式（3）是本層的預算約束，由交易成本和投資比例兩部分構成［32］.

2.3 中層（尊重需要）模型

除了傳統(tǒng)的財務績效，通過社會責任投資，投資者收獲社會滿足感，這一行為部分由尊重需要驅(qū)使.為了避免不同基金公司對社會責任型基金的評價標準存在爭議［4］，接下來使用公司層次的社會責任評價數(shù)據(jù)，由獨立的評級機構提供.因此，為滿足尊重需要，投資者希望所選投資組合表現(xiàn)出更好的社會績效.假設θ=(θ1,θ2,…,θn)′為n種風險資產(chǎn)的社會責任報告的得分向量，為了將風險資產(chǎn)的得分劃歸0至1區(qū)間，對其進行如下標準化處理［33］：

參考Dorfleitner和Utz［34］關于社會責任評級的可加性.假設y=(y1,y2,…,yn)′為中層投資比例，則基于尊重需要的目標函數(shù)如下：

關于風險態(tài)度，一個廣為接受的事實是投資者的絕對風險厭惡程度遞減［22］.相比于下層安全需要，在追求中層尊重需要時，投資者的風險厭惡程度減弱.根據(jù)Dowd和Blake［21］，CVaR相比VaR適用的風險態(tài)度更顯中性，因此本層使用CVaR度量風險.為了方便敘述，首先給出VaR定義，在此基礎上定義CVaR.

定義1［35］設損失函數(shù)f(r)，r為隨機收益率向量，給定置信水平α，Ψ(f(r),β)為損失不超過給定閾值β的概率函數(shù)，則VaR可定義為：

定義2［35］給定置信水平α，設隨機收益向量r概率密度函數(shù)為π(r)，CVaR被定義為超過VaR的損失函數(shù)f(r)的期望值，即：

進一步地，中層CVaR約束可表達為（設其取值不超過L）：

注意到式（9）中含有VaR，但直到上層，模型才需要計算VaR.Rockafellar和Uryasev［36］提出了一個輔助函數(shù)并基于歷史數(shù)據(jù)分散性近似取值，可以同時計算VaR和優(yōu)化CVaR.因此，式（9）可以通過下式近似表達：

其中：歷史收益率矩陣r∈?n×T已知.

此外，只有下層安全需要持續(xù)被滿足，投資者才可能會關注中層尊重需要.通過如下方差約束建立兩層之間的聯(lián)系：

其中：rl(y)=y′H y為中層方差，f*=z′H z是下層安全需要的最優(yōu)值.式（11）通過改變參數(shù)δ1的取值，控制安全需要的強度，除此之外，預算約束和賣空限制同樣適用于本層.因此中層模型可以表達為：

2.4 上層（自我實現(xiàn)需要）模型

投資者在實現(xiàn)了上述兩層需要之后，開始追求“自我實現(xiàn)”，表現(xiàn)為取得良好的投資績效［12］.這意味著，上層目標函數(shù)可以表示為最大化投資組合的期望收益.由于上層輸出最終投資比例，故上層的投資比例即為終端投資比例x=( )x1,x2,…,xn′.同時，投資者在上層的風險厭惡程度弱于中層，故上層使用VaR作為風險度量.需要注意的是，式（7）需要確切的分布信息.為了便于計算，借鑒Ghaoui［24］提出的VaR的實用表達式：

同樣地，自我實現(xiàn)需要得到關注的前提是尊重需要持續(xù)被滿足，因此通過引入下式，聯(lián)系中層需要和上層需要.

2.5 三層規(guī)劃模型

標記上層模型為Upper，中層模型為Middle，下層模型為Lower.完整呈現(xiàn)考慮投資者需要層次的投資組合三層規(guī)劃模型：

3 求解

從第2章節(jié)可以看出，下層模型屬于二次規(guī)劃，對此MATLAB有直接的求解函數(shù).中層模型和上層模型都含有一個錐約束，分別為式（11）和式（18）.對于此類約束，首先需要先轉(zhuǎn)化為半定矩陣形式，然后以上層模型為例，繼續(xù)重寫VaR約束式（18），使其能夠運用SDPT3包求解［37］.

3.1 錐約束形式的轉(zhuǎn)化

首先，將中層模型中的方差約束（11）改寫為標準的二階錐形式：

其中矩陣C是協(xié)方差矩陣H的喬里斯基分解矩陣.進一步地，根據(jù)Lobo等［38］，二階錐約束可以等價為一個半正定矩陣，則式（25）可以重寫為：

其中In為n維單位矩陣.

同理，上層模型的VaR約束與以下半正定矩陣等價：

3.2 VaR約束的對偶半定規(guī)劃形式

相比于半定規(guī)劃的原問題，其對偶問題的決策變量是向量形式，因此更易求解，目前大量求解器直接求解對偶問題.簡單起見，以上層模型為代表，根據(jù)Helmberg中式（2.3）［39］，按照如下標準對偶問題中約束的形式重寫VaR約束：

其中：v∈?p是向量變量；Gi(v)代表第i個半定矩陣，i為約束的個數(shù)，Gi(v)可以寫成決策變量分量vi的線性組合；Gi,k是第k個分量的系數(shù)矩陣，k從1開始，所有的Gi,k都必須是對稱矩陣；Gi,0是常數(shù)項矩陣.

于是，首先定義向量形式的決策變量v為：

其中向量v的分量之間存在如下聯(lián)系：

因此式（27）可進一步改寫為：

對應式（28），可得VaR約束的系數(shù)矩陣為：

式中：In(: ,k)表示n維單位矩陣的第k列；In(k,:)為n維單位矩陣的第k行.

4 實證研究

為了說明模型的運用效果，利于A股市場數(shù)據(jù)進行實證研究.與此同時，對比相關模型的結(jié)果，包括：①追求安全需要的MV［1］，簡記為“Safety”；②追求自我實現(xiàn)需要的M-CVaR［40］，簡記為“Self-actu”；③分層次實現(xiàn)這兩個需要的Variance-CVaR MPSM［13］，簡記為“Maslow”.④等權重模型，簡記為“EW”.

4.1 數(shù)據(jù)的選取

假設投資者從A股市場選擇了30只股票，分布于10個行業(yè)，如表1.從銳思金融終端下載得到2014-01-01至2019-12-31收益率周數(shù)據(jù)（309周）.其中，2014-01-01至2018-12-31為樣本內(nèi)期間，余下的一年用來做樣本外效果對比.此外，有關公司層次的社會責任評價，采用和訊網(wǎng)上市公司社會責任報告中的總得分（http://stockdata.stock.hexun.com/zrbg/Plate.aspx）.樣本內(nèi)期間30只股票的部分統(tǒng)計指標見表2.

表1 A股市場股票池Tab.1 Stock pool of A-share market

表2 所選30只股票的統(tǒng)計指標Tab.2 Statistical indicators of 30 selected stocks

4.2 樣本內(nèi)分析

約定相關參數(shù)的取值，包括：①簡單起見，資產(chǎn)交易成本率ci統(tǒng)一設為0.001；②90%的置信水平；③下層可接受的最低周收益率G=0.05/52；④中層模型中，CVaR上限L=0.14；⑤上層模型中，VaR上限M=0.09，得分約束的調(diào)節(jié)參數(shù)δ2有兩種取值，分別為0.06和0.07；⑥為了方便本文模型與Variance-CVaR MPSM模型對比，中層模型中的調(diào)節(jié)參數(shù)δ1的取值將與δ相同，均設為3E-04.為了方便之后研究δ2取值對最優(yōu)結(jié)果的影響，做如下標記：當δ2=0.06時，本文模型記為“Tri*”；當δ2=0.07時，記為“Tri**”.表3為各模型運行后的結(jié)果.

表3 樣本內(nèi)不同模型的最優(yōu)投資策略Tab.3 Optimal investment strategies of different models in the sample

表3結(jié)果顯示，①投資資產(chǎn)的數(shù)量：Safety>Maslow=Tri*=Tri**>Self-actu，且Self-actu只投資于收益率均值最高的資產(chǎn)；②對于期望收益率排名前三的資產(chǎn)1、6、14，Maslow和本文模型均有一半以上的分配比例；③Tri*和Tri**均有共計超過30%的比例投資于得分排名前二的資產(chǎn)11、8.不難理解，以上的結(jié)果與各模型構建的動機一致.Safety為滿足安全需要，盡可能分散化投資，而Self-actu則追求自我實現(xiàn)，僅投資高收益率資產(chǎn)，Maslow兼顧安全需要和自我實現(xiàn)需要，做到了折中.在Maslow的基礎上，本文模型進一步考慮了社會責任得分，因此會投資社會責任得分高的資產(chǎn).

4.3 樣本外績效

按照樣本內(nèi)的最優(yōu)策略，樣本外進行為期一年的投資.圖1反映了累計收益率的變動情況.

圖1 樣本外最優(yōu)投資組合累積收益率Fig.1 Cumulative return rates of optimal portfolios out of the sample

由圖1可以看出，①幾乎在整個區(qū)間，Tri*和Tri**表現(xiàn)得最好，但這兩條曲線幾乎重合，這可能是因為上層模型的得分約束對最終實現(xiàn)收益率沒有直接影響.②各組合期末收益率：Tri*>Tri**>Maslow>Safety>EW>Self-actu.

除了累積收益率對比，表4羅列了其他指標，包括：收益（R）、標準差（Std）、CVaR、VaR以及對應上述三個風險度量的單位風險報酬指標（R/Std、R/CVaR、R/VaR）、確定性等價（CE）以及組合的得分.

表4 樣本外最優(yōu)投資組合指標Tab.4 Investment result indicators of each model out of the sample

表4表明本文模型在大多方面優(yōu)于相關模型：第一，從收益的角度看，本文模型在不同δ2取值下的結(jié)果均優(yōu)于對比模型，而Self-actu策略的收益卻是最低的.第二，本文模型的各類風險處于中間水平，分散化程度最高的EW策略風險最小，這些特征與模型動機是符合的.第三，三類風險度量調(diào)整后的收益反映了投資的效率，總體看來，Tri*和Tri**的表現(xiàn)較好.第四，CE可以間接反映投資者的效用偏好［41］，各模型的最優(yōu)策略CE排名：Tri*>Tri**>Maslow>Safety>EW>Self-actu.另外有關社會責任績效，本文模型也是最優(yōu)的.

5 參數(shù)靈敏度分析

為了清楚最優(yōu)投資策略是否受模型某些參數(shù)的影響以及這種影響是否符合預期.接下來僅針對上層模型中得分約束的調(diào)節(jié)參數(shù)(δ2)和VaR約束的上限（M）進行分析.之所以只考慮上層模型，是因為上層對最終優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生更加直接的影響.圖2展示了這兩個參數(shù)對模型相關指標的影響.

5.1 調(diào)節(jié)參數(shù)δ2的靈敏度分析

由前述分析可知，在上層δ2是關于投資組合得分約束的調(diào)節(jié)參數(shù)，因此接下來僅分析δ2對最優(yōu)投資策略得分的影響.δ2從0.03開始，固定步長0.01，取六個值，相應的最終得分如圖2 a，圖中顯示隨著δ2的增大，投資組合得分隨之降低，這與對應的得分約束邏輯一致.

圖2 樣本外上層參數(shù)靈敏度分析Fig.2 Sensitivity analysis of upper-level parameters out of the sample

5.2 約束上限M的靈敏度分析

不同于上述調(diào)節(jié)參數(shù)，作為風險度量約束的上限，M的取值必須限定在合理范圍內(nèi)，一方面，為了使得最優(yōu)解存在，在其他條件不變的前提下，根據(jù)歷史表現(xiàn)，要求M不能小于0.085；另一方面，為了保證約束效力，要求M不能大于0.11.因此，針對M，取如下六個值，間隔0.005.圖2（b）展示了樣本外VaR相關指標隨VaR上限取值M變化的情況.同樣地，無論是VaR隨著M的增大而增大，還是R/VaR隨著M的增大而減小，都是符合模型預期的.

6 結(jié)論

本文基于馬斯洛需要層次理論，依次量化投資者的安全需要、尊重需要和自我實現(xiàn)需要，分別對應最小化風險、最大化社會責任評分和最大化期望收益三個目標，以此建立投資組合三層規(guī)劃模型.模型在所有層次均考慮比例型交易成本，并在每一層使用不同風險度量，以刻畫投資者隨目標變化的風險態(tài)度.然后，使用求解器SDPT3求解模型，并基于A股數(shù)據(jù)對比相關模型.最后，對部分參數(shù)進行靈敏度分析.結(jié)果表明，在傳統(tǒng)雙目標的基礎上引入社會責任評分可幫助投資者獲得更高的財務收益和社會效用.若投資者降低對于尊重需要的要求，投資組合的社會責任評分會減??；若投資者愿意接受更大風險，投資組合的風險相應增大，單位風險報酬減小.