趙平

【摘? 要】最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是近些年中考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題。本文對(duì)常見(jiàn)的最值問(wèn)題進(jìn)行了分類歸納，總結(jié)出幾種常見(jiàn)的最值模型，提煉出解題的策略與方法，以期助力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效益的提升，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生利用模型解決問(wèn)題的能力及綜合解題能力。

【關(guān)鍵詞】最值類型;解題策略;教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? 文章編號(hào)：0493-2099（2021）17-0143-02

【Abstract】The most value problem is one of the important contents in middle school mathematics， and it is also a hot topic in the middle school entrance examination in recent years. This article classifies and summarizes common most value problems， summarizes several common most value models， and refines problem-solving strategies and methods， in order to help improve the efficiency of mathematics learning， and at the same time cultivate students' ability to use models to solve problems and comprehensively Problem-solving ability.

【Keywords】The most value type; Problem-solving strategy; Teaching practice

最值問(wèn)題的有效解決，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。如何有效突破，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合解題能力，是一線數(shù)學(xué)教師一直反復(fù)思考的問(wèn)題。筆者認(rèn)為，有效解決最值問(wèn)題的有效策略是：識(shí)別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應(yīng)用。以下筆者結(jié)合查閱的資料和課堂的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)常見(jiàn)的最值問(wèn)題及解題策略進(jìn)行梳理和歸納。

一、最值問(wèn)題的常見(jiàn)解題策略

幾何類最值問(wèn)題的基本解題策略是：將相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題（如果是實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)先抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊和大于第三邊”等幾何定理解決的問(wèn)題，并加以解決。其中“兩點(diǎn)間線段最短”是解決幾何最值問(wèn)題中最本質(zhì)、最核心的依據(jù)，因而也是我們進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。在解題中應(yīng)給予十足關(guān)注，才能方向明確，游刃有余。代數(shù)類最值問(wèn)題的基本解題策略是：選擇適當(dāng)?shù)淖兞?，并建立該變量與目標(biāo)變量之間的函數(shù)關(guān)系（含對(duì)應(yīng)關(guān)系、自變量的取值范圍），并利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)（增減性）等相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。其中函數(shù)的連續(xù)性是前提，增減性是保證，而在本質(zhì)上是求函數(shù)值的范圍，因此體現(xiàn)函數(shù)三要素的有機(jī)統(tǒng)一。代數(shù)類最值問(wèn)題也常?？梢酝ㄟ^(guò)配方法將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為完全平方式，并利用完全平方式的非負(fù)數(shù)加以解決;有時(shí)也可利用根的判別式建立不等式模型并加以解決。

二、常見(jiàn)最值問(wèn)題的實(shí)例與賞析

（一）代數(shù)類最值問(wèn)題及賞析

【例1】已知反比例函數(shù)[y=kx]，其中[k>-2]，且[k≠0]，[1≤x≤2]。若該函數(shù)的最大值與最小值的差是1，求[k]的值。

【賞析】本題以反比例為載體求最值問(wèn)題，是很典型的代數(shù)類最值問(wèn)題，基本思路為通過(guò)函數(shù)增減性及自變量取值范圍求解，因?yàn)樵谧宰兞康牟煌≈捣秶鷥?nèi)其最值往往是不同的，所以經(jīng)常需要關(guān)注分類討論，這是代數(shù)類最值問(wèn)題解題的基本方法之一。如果在解題過(guò)程中能結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行輔助性解題，則能更好地體現(xiàn)函數(shù)在求最值中的作用。

【例2】（2017年福建中考改編）已知直線[y=2x+m]與拋物線[y=ax2+ax+b]有一個(gè)公共點(diǎn)[M]（1，0），且[a

【賞析】本題是典型的應(yīng)用函數(shù)或方程或配方求最值的代數(shù)類最值問(wèn)題題目，全面體現(xiàn)了代數(shù)類最值問(wèn)題的基本解法。（1）求[MN]范圍，即為求[MN]最值。解題的關(guān)鍵是在畫好圖形的基礎(chǔ)上（如圖1），求出[MN]的表達(dá)式（用含[a]的代數(shù)式表示），并通過(guò)配方法或函數(shù)的性質(zhì)加以解決。（2）解題的關(guān)鍵是在畫好圖形的基礎(chǔ)上（如圖1），求出[△QMN]的面積[S]的表達(dá)式（用含[a]的代數(shù)式表示），并通過(guò)配方法或函數(shù)的性質(zhì)或根的判別式加以解決。

（二）幾何類最值問(wèn)題及其賞析

【例3】如圖2，長(zhǎng)方形[ABCD]中，[AB=6]，[BC=4]，在長(zhǎng)方形的內(nèi)部以[CD]邊為斜邊任意作[Rt△CDE]，連接[AE]，則線段[AE]長(zhǎng)的最小值是______。

【賞析】本題的解題的關(guān)鍵在于找到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑（軌跡）（如圖3），再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可求出最小值。

【例4】已知拋物線[y=38x2-34x-3]與[x]軸分別交于點(diǎn)[A]，[B]（點(diǎn)[B]在點(diǎn)[A]的右側(cè)），與[y]軸交于點(diǎn)[C]，連接[BC]。（1）試做出符合題意的圖形。（2）過(guò)點(diǎn)[B]作[BF⊥BC]交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)[F]，以點(diǎn)[C]為圓心，以[3]為半徑作[⊙C]，點(diǎn)[T]為[⊙C]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求[55TB+TF]的最小值。

【賞析】

（1）依題意畫圖，為結(jié)合最值的解決提供載體，這是解決幾何最值問(wèn)題的起點(diǎn)。（2）本題俗稱“阿氏圓”問(wèn)題（如圖4），解題的關(guān)鍵是利用“三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例”將[55]。[TB]轉(zhuǎn)化為一條線段，并利用“三角形的兩邊之和大于第三邊” 解決，體現(xiàn)了幾何類最值問(wèn)題的解題本質(zhì)，其中拋物線僅為載體而已。

【例5】如圖5，四邊形[ABCD]是菱形，[AB=6]，且[∠ABC=60°]，[M]是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接[AM]，[BM]，[CM]，則[AM+BM+CM]的最小值為_(kāi)_______。

【賞析】本題俗稱“費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)[60°]構(gòu)造等邊三角形，將三條線段（[AM]，[BM]，[CM]）轉(zhuǎn)化在同一條直線（[AE]）上（如圖6），再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題，很好地體現(xiàn)了幾何類最值的解題本質(zhì)。

總之，識(shí)別模型、解法歸類、分解化歸、熟練應(yīng)用，是有效解決最值問(wèn)題的有效策略，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究中教師應(yīng)給予關(guān)注和強(qiáng)化，以更有效地提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效益。

參考文獻(xiàn)：

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[2]王建芬.借助模型破解中考幾何最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2019（09）.

（責(zé)任編輯? 袁? 霜）