劉慧

[摘 要]結合教學實踐，對現(xiàn)行小學數(shù)學教材中編寫的圓的周長與圓周率探索活動進行了比較分析。從被測量材料和測量方法兩方面，指出并論證了教材中探究活動設計存在的問題，以及探究很難得出圓的周長、圓周率較為精確的結果的事實和原因;提出了完善教材探索活動的兩個建議，并給出了具體的措施。

[關鍵詞]教材編寫;圓;周長;圓周率;探究

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0001-04

圓的有關知識是小學高年級的重要幾何內(nèi)容之一。國內(nèi)現(xiàn)行各版本教材中，蘇教版教材將其編排在五年級下冊，其他版本教材將其編排在六年級上冊。由于圓形的物體在生活中隨處可見，且有著非常廣泛的應用，故教材的相關內(nèi)容都注重圓與生活的聯(lián)系和探究活動的設計，充分體現(xiàn)了新課改提倡的自主探究、自我構建知識的教育理念。然而，研讀和分析教材的編寫以及教學實證后發(fā)現(xiàn)，教材編寫的一些探究活動很難落實，有必要對其進行二次開發(fā)。本專題研究先對教材的編寫進行比較分析，然后提出教材二次開發(fā)的建議，本文就先對圓的周長與圓周率之探究活動進行比較分析。

一、關于測量圓的周長方法的分析

圓周率的探究離不開測量圓的周長和直徑。由于直徑便于測量，而周長的測量有一定的困難，所以教材都設計了圓的周長的探究測量活動。

1.被測量材料的分析

綜觀教材的設計，被測量的材料包括以下幾方面。

（1）無圓形輔助物，直接測量圓這個圖形。顯然，畫一個圓后測量這個圓的周長，學生是根本不可能做到的。但是，青島版教材（第60頁;如圖1）就是“測量幾個圓的直徑和周長”，且沒有圓形輔助物用于測量。給出的測量方法中，無論是用線圍一圈圓這個圖形的周圍——圍成這個圓（再測量線的長度），還是將這個圓的圖形沿直尺邊沿滾一圈，都是不好操作的。另外，浙教版教材（第63頁;如圖2）給出的第一種方法是“用線圍成一個圓”。這里連圓都不畫，也沒有圓形輔助物可以纏繞，直接用線圍成一個圓對學生來說幾乎不可能。

（2）有圓形輔助物。除青島版教材外，其他版本教材（包括浙教版教材的第二種測量方法）都設計了測量輔助物——圓形物品，但選用的物品不同：

①讓學生自己選擇圓形輔助物。如，人教版教材（第63頁;如圖3） 是讓學生自己“找一些圓形的物品”，由于圓形的物品不好確定，無法判斷是否有利于測量操作;北師大版教材（第9頁;如圖4）則是讓學生自己選“3個大小不同的圓片”，從圖可見圓片比較小，用線圍或滾小圓片測量顯然不是很好操作。

②有固定的圓形物品用于測量。如，西師大版教材（第16頁;如圖5）、冀教版教材（第42、43頁;如圖6、圖7），既給出了一元硬幣用于測量，也讓學生自己選一些圓形的物品用于測量。滬教版教材（第105頁;如圖8）則給出了固定的五角硬幣和一元硬幣用于測量。由于硬幣容易找到，不易變形，這為學生進行測量提供了方便，有利于探究活動的進行。

③學生自己制作圓形卡片。浙教版教材（第64頁;如圖9）和蘇教版教材（第92頁;如圖10）都是讓學生用硬紙板分別剪出幾個大小不同的圓（應為圓片），且浙教版教材明確規(guī)定了直徑的長度，蘇教版教材則是由學生自己確定，這些都有利于培養(yǎng)學生的動手能力?？墒?，學生雖然在硬紙板上用圓規(guī)畫出圓容易，但要剪出圖示標準的或略標準的圓片恐怕有很大難度。再者，用線圍或滾比較?。ǚ駝t剪不出來）的小圓片也不太好操作。

綜上，被測量的圓形物品的材料及其大小都會影響學生的測量探究活動。相對來說，只要方法得當，測量硬幣的周長還是比較符合實際的，但硬幣太小也會給測量增加困難，且容易出現(xiàn)誤差。

2.測量方法的分析

不同版本的教材對于測量圓的周長都設計了兩種方法。

其一，用線（或皮尺）在圓形物品上圍一圈，然后測量線（或皮尺）的長度。這種測量方法比較簡單，也較容易操作，只要被測量的圓形物品合適，相對來說還是能夠得出較為精確的測量結果的。

其二，將被測量的圓形物品在直尺上滾動一圈，然后讀出結果。從圖示可以看出，各教材幾乎都是將圓形物品（圓片）在直尺標有刻度線一側的側面（棱）上進行滾動，既為了好讀數(shù)，也是為了滾動時讓圓形物品沿著直尺邊緣走直線。可是，這樣好操作嗎？眾所周知，現(xiàn)在學生用的直尺大多是塑料或不銹鋼的，厚度往往不超過1毫米，在這么薄的直尺上滾動圓片猶如走鋼絲，甚至比走鋼絲還難，要想獲得比較精確的結果，難度可想而知，更不用說在滾動過程中可能還會滑動。

3.測量很難得出比較精確的結果

可見，即使選擇了比較好測量的圓形物品（如硬幣），且測量方法得當，要想得出比較精確的結果，難度也比較大。不妨看看一些教材上的測量結果。

人教版教材（第62頁;如圖11）用了兩種測量方法。從圖示的測量結果可知，被測量圓片的周長都是6厘米。可從圖示的標尺可見，圓的直徑約為1.6厘米，周長約是5.0265厘米，誤差之大可見一斑。

冀教版教材（如圖6）上顯示，滾的是2001年的第四套人民幣一元的硬幣，從1厘米處開始滾，滾一圈的落點是9.25厘米，即周長是8.25厘米。若按圖上標尺所示，硬幣的直徑約為2.25厘米，周長約為7.0686厘米。實際上，中國人民銀行公布的1元硬幣的直徑為25毫米，周長約為7.8540厘米。誤差顯然不小。

因此，即使選用了合適的圓形物品，不管是用哪種方法去測量，要得到比較精確的結果都有較大難度。

二、圓周率的探究分析

關于圓周率的探究，各版本教材的編排大同小異，可以說，都是在測量了幾個圓的直徑和周長的基礎上，讓學生直接計算出周長除以直徑的商，填在表格中進行比較后再估測。基于上面的分析，周長的測量本身就有較大的誤差;而直徑雖然好測量一些，但肯定也存在誤差，就是好測量的硬幣也是如此。例如，西師大版教材（如圖5）中1元硬幣的直徑是2.4厘米，冀教版教材（如圖6）的是2.25厘米，而標準應是2.5厘米。既然測量直徑和周長都會出現(xiàn)較大的誤差，那計算得出的商，其誤差一般來說就會更大?？赡苷腔诖?，大多數(shù)教材都指出周長是直徑的3倍多一點，然后借助數(shù)學史介紹其數(shù)值，這種設計處理還是符合實際情況的。當然，浙教版教材（如圖9）直接得出了約為3.14的結論，這恐怕是先入為主或憑空想象吧，因為劉徽是計算到圓內(nèi)接正192邊形才得到圓周率約為3.14的。必須指出的是，整個探究過程都是按設計好的“測量—計算—填表—觀察—結論”步驟進行，至于為什么計算周長除以直徑的商，而不計算周長除以半徑的商都沒有說明，這不但不能促進學生思考，還束縛了學生的思維;有的教材甚至連比較都沒有，一次觀察就得出結論。這樣的“探究”有多少思維含量？須知探究式教學的關鍵在于促進學生動腦思考??！

三、思考與建議

一些教材編排的探究活動只是讓學生認識到周長是直徑的3倍多一點，學生幾乎不可能得出“約為3.14”，最后還必須得借助數(shù)學史。下面就新課改的教育理念設計探究活動。

1.讓學生測量大一些的硬的圓形物體

測量的圓形物體比較?。ㄈ缬矌?、小圓片等）且易變形（如圓形紙片）時，學生既不好操作，還容易出現(xiàn)測量誤差，導致緊接著的計算的誤差更大，很難得到較為精確的值。若讓學生測量一些方便攜帶的、熟悉的、較大的圓形物體（如光盤、圓形的小鏡子等），用皮尺（或線）將其圍一圈，既好測量，又可減少誤差。這樣，在學生認識到周長是直徑的3倍多一點后，教師再借助數(shù)學史介紹其數(shù)值即可。當然，不少教材一開始就給出了一些圓形的、大的物體，如車輪、圓飯桌、天壇的地基等，這些不可能搬到課堂上去操作，只能作為聯(lián)系生活的問題提出而已。

2.設計圓內(nèi)接和外切正多邊形讓學生進行測量探究

（1）設計直（半）徑較大（為減少誤差）且為整數(shù)厘米的圓，作出其圓內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形（最好提供給學生現(xiàn)成的材料，因為學生自己作圖很困難）。

（2）讓學生分別測量圓內(nèi)接和外切正六邊形的邊長，計算出周長。

（3）引導學生觀察、比較與思考，使其認識到圓夾在兩個正六邊形之間，周長比圓內(nèi)接正六邊形的周長大，比圓外切正六邊形的周長小，即“圓內(nèi)接正六邊形的周長<圓的周長<圓外切正六邊形的周長”。

（4）計算周長除以直徑的商，即“圓內(nèi)接正六邊形的周長/直徑<圓的周長/直徑<圓外切正六邊形的周長/直徑”，再取兩邊商的平均值，即可得出圓的周長除以直徑的商的近似值。

（5）借助數(shù)學史介紹圓周率。

這樣設計不僅滲透了古人計算圓周率的方法，還滲透了兩邊夾逼的極限思想（實際上是《高等數(shù)學》中兩邊夾法則或迫斂定理的應用）。如果想得到更為近似的結果，也可作圓內(nèi)接與外切正八邊形再完成上述過程。當然，邊數(shù)越多越精確，只是沒有那個必要。

其實，關于圓內(nèi)接或外切正多邊形的圖形在蘇教版、北師大版、青島版等教材中都出現(xiàn)過，遺憾的是知識之間缺乏聯(lián)系，不能實現(xiàn)知識與方法的統(tǒng)一。

總之，讓學生在一節(jié)課上得出圓周率較為精確的值是根本不可能的。因此，只要讓學生借助簡單的操作，再加上動腦思考，認識到圓周率比3大一點，再進行介紹就行了，沒有必要進行過多的、機械式的操作探究活動，更何況，課堂上也沒有這些時間讓學生進行探究。

【本文系“青藍項目：青島市教育學會 2018 年度教育研究項目——關于空間與圖形領域課堂探索活動編寫的比較研究（QES18E152）”研究成果之一。】

（責編金 鈴）