【摘 要】推進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，實(shí)現(xiàn)教育思想、理念、方法和手段全方位創(chuàng)新，對于提高教育質(zhì)量、促進(jìn)教育公平、構(gòu)建學(xué)習(xí)型社會和人力資源強(qiáng)國具有重大意義。但目前由于資金和教師的觀念、培訓(xùn)等原因，信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)的融合還處于整合階段，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的主要形式，應(yīng)成為深度融合的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。研究者以軌跡（曲線）問題為例，結(jié)合課題組的實(shí)驗(yàn)研究，探索破解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)困境的方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);幾何畫板;執(zhí)果索因法

【作者簡介】羅宇軍，高級教師，河池市數(shù)學(xué)學(xué)會理事，河池市教育局兼職教研員。

【基金項(xiàng)目】河池市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“畫板技術(shù)介入下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究”（2020B-364） 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出，教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果[1]。2012年3月，教育部印發(fā)的《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011—2020年）》首次提到了信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合[2]。以教育信息化帶動教育現(xiàn)代化，是我國教育事業(yè)發(fā)展的戰(zhàn)略選擇。推進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，實(shí)現(xiàn)教育思想、理念、方法和手段全方位創(chuàng)新，對于提高教育質(zhì)量、促進(jìn)教育公平、構(gòu)建學(xué)習(xí)型社會和人力資源強(qiáng)國具有重大意義。但目前由于資金和教師的觀念、培訓(xùn)等原因，信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)的融合還處于整合階段，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的主要形式，應(yīng)成為深度融合的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)旨在向?qū)W生呈現(xiàn)知識的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過程，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握知識和運(yùn)用知識，形成相應(yīng)的技能。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)往往經(jīng)過某種預(yù)先的組織、設(shè)計(jì)，模擬地創(chuàng)設(shè)一些有利于觀察的數(shù)學(xué)對象和問題情境，促使學(xué)生在對實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作的過程中產(chǎn)生歸納假設(shè)，在分析、修改、驗(yàn)證猜想中形成認(rèn)知體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)在做（建構(gòu)）數(shù)學(xué)中學(xué)（理解）數(shù)學(xué)、用（解釋）數(shù)學(xué)的一種探究性教學(xué)活動[3]。 一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)狀調(diào)查

筆者所在的課題組利用問卷星在網(wǎng)上對209個隨機(jī)樣本進(jìn)行了問卷調(diào)查，樣本涵蓋了廣西大部分的地市、各個年齡段的教師，并且涉及廣西各個類型的學(xué)校。

調(diào)查1：您在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)嗎？

A.經(jīng)常 ? ? ? B.有時

C.很少進(jìn)行D.從未進(jìn)行

調(diào)查結(jié)果顯示，經(jīng)常使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)的教師只有4.31 ，說明大部分教師在教學(xué)中幾乎不使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué);很少進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教師達(dá)到42.11 ，說明雖然教育部在2018年已經(jīng)發(fā)布了《教育信息化2.0行動計(jì)劃》，但是教師在實(shí)際教學(xué)中使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的情況還是令人擔(dān)憂。為了解形成這個現(xiàn)狀的原因，課題組又進(jìn)行了下面的調(diào)查。

調(diào)查2：您準(zhǔn)備一個課時的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件需要多長時間？

A. 2小時以上B. 1～2小時

C. 0.5～1小時D. 0.5小時以內(nèi)

數(shù)據(jù)表明，74.16 的教師準(zhǔn)備一個課時的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件需要2小時以上，這是教師很少進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要原因之一。為了解更深層次的原因，課題組繼續(xù)對教師進(jìn)行了訪談。

訪談結(jié)果表明，教師對軟件不熟悉，以及對課件制作方法感到有一定的困難。因此，要破解當(dāng)前數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的困境，必須從教師的培訓(xùn)和提升課件制作能力入手， 縮短課件制作的時間，提高課件制作的效率。

二、破解策略與對比實(shí)驗(yàn)分析

軌跡問題是學(xué)生認(rèn)識曲線的開始，也是呈現(xiàn)曲線形成過程的必由之路，繞開軌跡談曲線會讓學(xué)生“知其然而不知其所以然”。軌跡問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問題之一，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。因此，很多有經(jīng)驗(yàn)的教師都會以信息技術(shù)的融合方式用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給學(xué)生呈現(xiàn)軌跡的形成過程?？梢哉f，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在軌跡問題的教學(xué)過程中應(yīng)用非常廣泛，但是研究表明，教師在準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)的過程中遇到了很大的困難。因此，本文以軌跡（曲線）問題為例，闡述如何破解高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的困境。

一般地，高中數(shù)學(xué)軌跡問題大致可以分為兩類。

（一）相關(guān)點(diǎn)類

此類問題的特點(diǎn)是待求軌跡的“動點(diǎn)”隨已知軌跡的若干個“動點(diǎn)”（一般是1～2個）而運(yùn)動，兩者之間存在數(shù)量上的關(guān)聯(lián)，大部分探究類的軌跡問題都屬于這一類。

例1（人教版高中數(shù)學(xué)必修2第122頁，例5） 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。

由于學(xué)生第一次接觸軌跡，因此，在教學(xué)中，教師首先要讓學(xué)生認(rèn)識軌跡，經(jīng)歷軌跡的形成過程，理解軌跡的定義和特點(diǎn)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)其他的軌跡奠定基礎(chǔ)。操作步驟如下。

步驟1：作出已知軌跡，在軌跡上任取已知點(diǎn)A。

步驟2：根據(jù)條件作出相關(guān)點(diǎn)M，使用幾何畫板技術(shù)的“追蹤”功能，對已知點(diǎn)A使用“移動”功能呈現(xiàn)M點(diǎn)軌跡的形成過程（如圖1）。

（二）條件類

此類問題的特點(diǎn)是動點(diǎn)滿足某一特定的條件，比如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線問題都屬于這一類，破解了這一類問題就相當(dāng)于破解了大部分的高中數(shù)學(xué)的軌跡問題。

例2 已知點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)O（0，0），D（3，0）的距離的比是0.5，求點(diǎn)M的軌跡方程。

對于這類問題，大多數(shù)教師的做法就是根據(jù)題目條件，構(gòu)造出軌跡。但實(shí)踐證明，這樣操作的難度非常大。筆者基于幾何畫板的研究，做出以下教學(xué)設(shè)計(jì) 。

步驟1：如圖2，在直線上構(gòu)造點(diǎn)A、C，點(diǎn)A為動點(diǎn)，線段AC的中點(diǎn)為點(diǎn)B。

步驟2：如圖3，以O(shè)（0，0）為圓心，CB為半徑構(gòu)造圓O，以D（3，0）為圓心，CA為半徑構(gòu)造圓D，兩圓交點(diǎn)為E、F，使得E、F滿足與兩個定點(diǎn)O（0，0），D（3，0）的距離的比為12，再利用幾何畫板的“構(gòu)造”功能找出交點(diǎn)E、F，并“追蹤”交點(diǎn)E、F。

步驟3：如圖4，利用幾何畫板中使點(diǎn)A運(yùn)動的功能，呈現(xiàn)其運(yùn)動軌跡。

筆者把這個問題交給課題組兩位成員（分別記為實(shí)驗(yàn)A、控制B）進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)兩位教師都沒有在規(guī)定時間內(nèi)（24小時）完成。說明直接根據(jù)條件找出軌跡是比較困難的，特別是當(dāng)條件改為“距離的積是12”時，問題更是難以解決。

為了破解這一難題，課題組成員進(jìn)行了細(xì)致而深入的研究。研究發(fā)現(xiàn)，教師在解決軌跡（曲線）問題的教學(xué)過程中，最大的困難在于如何找到符合條件的軌跡，然而在教學(xué)過程中并不需要展示這個符合條件的軌跡是如何作出來的，而是只需要展示符合條件的點(diǎn)的軌跡（曲線），并且這個軌跡（曲線）上的點(diǎn)必須滿足題目的條件。于是筆者想到了證明不等式方法中的綜合法，并且基于綜合法的思想探尋制作課件的方法，我們稱之為執(zhí)果索因法。具體操作如下。

步驟1：先根據(jù)題目條件推算出軌跡方程為（x+1）2+y2=4。

步驟2：如圖5，作出圓 （x+1）2+y2=4。

步驟3：在圓上任取一點(diǎn)M，連接線段MO，MD，利用“度量”工具度量線段的長度，呈現(xiàn)長度比為1∶2，根據(jù)數(shù)據(jù)表明符合條件，再利用幾何畫板的“隱藏”功能，將圓進(jìn)行隱藏。

步驟4：如圖6，“追蹤”點(diǎn)M軌跡，呈現(xiàn)符合條件的軌跡（曲線）。

為了驗(yàn)證這個方法的效果，課題組對實(shí)驗(yàn)A進(jìn)行了執(zhí)果索因法的相關(guān)培訓(xùn)，然后安排兩位實(shí)驗(yàn)教師進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)1 已知點(diǎn)M到定直線x=-1的距離和到定點(diǎn)F（1，0）的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程。

結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)A在10分鐘內(nèi)就能輕松求出軌跡方程，而控制B在2小時內(nèi)沒有完成。為了排除實(shí)驗(yàn)對象水平差異的因素，課題組對兩個實(shí)驗(yàn)對象進(jìn)行了交換，即對控制B也進(jìn)行了執(zhí)果索因法的相關(guān)培訓(xùn)，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)2 已知點(diǎn)M到定點(diǎn)A（-1，0）的距離和到定點(diǎn)B（1，0）的距離之和為3，求點(diǎn)M的軌跡方程。

對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，兩個實(shí)驗(yàn)對象都能夠在10分鐘內(nèi)完成。通過上面的對比實(shí)驗(yàn)，充分說明了執(zhí)果索因法能夠大幅縮短數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)備時間，降低數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的難度，并且能夠在很大程度上破解當(dāng)前數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)面臨的困境。用執(zhí)果索因法破解軌跡（曲線）問題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)困境流程圖如圖7所示。

執(zhí)果索因法的靈感源于數(shù)學(xué)不等式的證明思路，它結(jié)合教師備課和上課的不同要求，巧妙繞開軌跡的探求過程這一難題，降低了備課的難度，縮短了備課的時間，為破解軌跡（曲線）問題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)困境提供了較好的方法。同時，調(diào)查結(jié)果還表明，要解決這個問題需要老教師和年輕教師進(jìn)行相互合作，把老教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與年輕教師的信息技術(shù)能力相結(jié)合。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的重要形式，也是呈現(xiàn)知識形成過程的有效途徑。軌跡（曲線）問題僅僅是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要組成部分，其他內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的困境如何破解，還需要課題組進(jìn)行更深入的研究。

參考文獻(xiàn)：

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[2]何克抗.信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)“深度融合”的路徑與實(shí)現(xiàn)方法[J].中小學(xué)數(shù)字化教學(xué)，2018（2）：17-20.

[3]張志勇.基于GeoGebra的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與可視化教學(xué)[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2018.

（責(zé)編編輯：陸順演）