張俊芳，周禮剛，張春芳，徐 鑫，肖 箭

1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601

2.中國民航大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，天津 300300

自Zadeh[1]首次提出模糊集以來，人們對其進(jìn)行了廣泛而深入的研究，使模糊集理論得到了迅速的發(fā)展。隨后，專家學(xué)者們又提出直覺模糊集[2]、猶豫模糊集[3]、Pythagorean 模糊集[4-5]、Pythagorean 猶豫模糊集[6]等，這些傳統(tǒng)的不確定性集合在處理實(shí)際問題時都有著自身的缺陷。由于社會的迅速發(fā)展，使得客觀世界變得越來越復(fù)雜和不確定，同時又因?yàn)槿祟愃季S能力和知識水平的局限性，使得給出的決策信息往往不能以精確數(shù)表達(dá)。一方面，為保留原有數(shù)據(jù)的信息，使得決策結(jié)果更加準(zhǔn)確，人們會以區(qū)間數(shù)[7-8]和猶豫模糊數(shù)的形式來表示決策信息；另一方面，在決策過程中，很多決策者在對備選方案進(jìn)行評估時，往往給出備選方案在某一屬性條件下的滿意度、不滿意度和猶豫度，即涉及到隸屬度和非隸屬度。為此，本文提出了區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊集，并將其運(yùn)用于決策過程中，以彌補(bǔ)上述模糊集理論的缺陷。

信息熵是模糊集理論中的一個重要的課題，用以刻畫模糊集所描述信息的不確定程度。自從Zadeh[9]首先提出了模糊熵的概念之后，熵理論已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域。在直覺模糊集中，Burillo 和Bustince[10]首次對直覺模糊熵進(jìn)行研究，給出了直覺模糊熵的公理化定義和計算公式。之后，很多學(xué)者從不同角度對直覺模糊集的熵[11-13]進(jìn)行研究，并取得了大量的研究成果，其中，部分學(xué)者也將直覺模糊環(huán)境下的熵推廣到了區(qū)間直覺模糊環(huán)境[14-18]中。對猶豫模糊集環(huán)境下的熵，也有了一些研究成果，Xu和Xia[19]從猶豫模糊值與其補(bǔ)集的差異程度，提出了猶豫模糊集的熵公理化定義和具體的計算公式；Farhadinia[20]從猶豫模糊集中各元素與1/2 的距離出發(fā)，提出了新的公理化定義和計算公式；閆和魏[21]在Xu 和Xia 的基礎(chǔ)之上，對其公理化定義進(jìn)行了改進(jìn)，體出了充分體現(xiàn)模糊性和猶豫性的熵公理化定義及公式；Wu[22]給出了一種基于Pythagorean 猶豫模糊集環(huán)境下，基于信息融合技術(shù)的多屬性群決策靈活性的方法；基于之前的研究結(jié)果，本文提出了一種基于區(qū)間Pythagorean猶豫模糊集熵的公理化定義及計算公式，以兼顧對模糊集的模糊性和猶豫性程度的考量。并提出一種基于區(qū)間Pythagorean猶豫模糊熵的多屬性決策方法。首先提出一種CIPHFOWA 算子，定義了一種區(qū)間Pythagorean猶豫模糊熵，即區(qū)間Pythagorean猶豫模糊連續(xù)熵，并給出其熵的定義及計算公式；然后提出了一種基于區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊熵—灰色關(guān)聯(lián)度的多屬性決策方法；最后將新方法應(yīng)用到新型農(nóng)村合作醫(yī)療制度完善程度的評價體系中，驗(yàn)證其可行性和有效性。

1 基本概念

下面，引入猶豫模糊集、Pythagorean 模糊集，Pythagorean猶豫模糊集以及與Pythagorean猶豫模糊集相關(guān)的一些概念。

2 區(qū)間Pythagorean猶豫模糊連續(xù)加權(quán)熵

為了提高區(qū)間數(shù)據(jù)的易處理性，Yager 提出了連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均算子[25]：

3 基于區(qū)間Pythagorean猶豫模糊連續(xù)加權(quán)熵-灰色關(guān)聯(lián)度的多屬性決策方法

根據(jù)熵理論得知，如果各方案針對同一屬性下的熵值越小，說明該屬性的穩(wěn)定性越高，則應(yīng)該被賦予一個較大的權(quán)重。由于屬性權(quán)重的不確定性，本文給出以下屬性權(quán)重的確定方法：

若屬性權(quán)重wj完全未知，可由式（8）計算屬性cj的權(quán)重：

若屬性權(quán)重wj部分已知，令H表示未知權(quán)重滿足的條件集合，并構(gòu)建如下模型求解屬性權(quán)重：

灰色關(guān)聯(lián)度決策方法[26-27]是以評價方案指標(biāo)向量與相對最優(yōu)方案指標(biāo)向量的關(guān)聯(lián)度作為評價方案優(yōu)劣的準(zhǔn)則的一種方法。

以上內(nèi)容給出了屬性權(quán)重未知和屬性權(quán)重部分已知的權(quán)重確定方法，但考慮到現(xiàn)實(shí)決策問題中屬性權(quán)重的較難確定的問題，本文的案例分析主要以屬性權(quán)重完全未知的情況為主。即運(yùn)用式（8）來計算案例分析中的屬性權(quán)重。

4 案例分析

新型農(nóng)村合作醫(yī)療制度[28]（以下簡稱“新農(nóng)合”）是由我國農(nóng)民自己創(chuàng)造的互助共濟(jì)的醫(yī)療保障制度，在保障農(nóng)民獲得基本衛(wèi)生服務(wù)、緩解農(nóng)民因病致貧和因病返貧方面發(fā)揮了重要的作用。由于新農(nóng)合監(jiān)管難度大、基金風(fēng)險大、管理成本高，因此其管理成為最突出的并且事關(guān)制度推行成敗的關(guān)鍵問題。新農(nóng)合的管理在于用標(biāo)準(zhǔn)的、科學(xué)的評價方法對不同模式新農(nóng)合進(jìn)行評價可達(dá)到審查工作、肯定成績、激勵先進(jìn)、修正錯誤的作用，從而使新農(nóng)合更加安全、穩(wěn)健地運(yùn)行。因此，為達(dá)到以上目的，選取合適的評價指標(biāo)至關(guān)重要。

現(xiàn)考慮一個關(guān)于新型農(nóng)村合作醫(yī)療管理水平的多屬性決策問題。選取四個試點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行評估，即xi(i=1,2,3,4)，現(xiàn)由第三方評估組織從下列四個準(zhǔn)則cj(j=1,2,3,4)出發(fā)，對四個試點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行評價：c1為醫(yī)療服務(wù)能力；c2為管理監(jiān)督水平；c3為參合者受益程度；c4為參合者滿意度。第三方評估組織給出的區(qū)間Pythagorean猶豫模糊矩陣如下：

5 算法分析

針對本文提出的區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊連續(xù)加權(quán)熵-灰色關(guān)聯(lián)度的多屬性決策方法，本文給出了基于態(tài)度參數(shù)λ的靈敏度分析和與其他論文的比較分析，據(jù)此，來驗(yàn)證本文算法的有效性和可行性。

5.1 靈敏度分析

當(dāng)采取不同的λ∈[0,1]值對矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，在經(jīng)以上步驟2～步驟6可以得到不同的屬性權(quán)重和加權(quán)關(guān)聯(lián)度，具體結(jié)果如圖1、圖2。

圖1 態(tài)度參數(shù)λ 對屬性權(quán)重的影響Fig.1 Influence of λ attitude parameters on attribute weight

從圖1 可以看出，隨著態(tài)度參數(shù)的變化，屬性權(quán)重為w1>w3>w4>w2，說明屬性權(quán)重的大小并沒有因?yàn)閼B(tài)度參數(shù)的選取不同，而產(chǎn)生較大差異。

從圖2 可以看出，當(dāng)態(tài)度參數(shù)0 ≤λ≤0.25 時，方案的排序結(jié)果為x1?x3?x4?x2；當(dāng)態(tài)度參數(shù)0.5 ≤λ≤1 時，方案的排序結(jié)果為x1?x3?x4?x2。以上分析說明，態(tài)度參數(shù)λ越大，最優(yōu)方案越傾向于方案一，即說明決策者越樂觀，越傾向于第一試點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的新農(nóng)合管理。

圖2 態(tài)度參數(shù)λ 對方案的加權(quán)關(guān)聯(lián)度的影響Fig.2 Influence of λ attitude parameters on weighted correlation degree of schemes

5.2 與現(xiàn)有方法的對比分析

利用CIPHFOWA算子將決策者給出的區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊決策矩陣進(jìn)行連續(xù)化處理后，稱為Pythagorean 猶豫模糊數(shù)，下面將本文的信息熵-灰色關(guān)聯(lián)度決策模型與文獻(xiàn)[29]中的新的TOPSIS拓展方法進(jìn)行比較，計算結(jié)果如表1。

表1 TOPSIS法計算結(jié)果Table 1 Calculation result of TOPSIS

表中ζ=0.5,α=2。而且，RC(x2)=0.527 9，RC(x1)=0.556 2,RC(x3)=0.500 5,RC(x4)=0.516 5，所以可得方案的排序結(jié)果為：x1?x2?x4?x3。這與本文方法所選最優(yōu)方案是一致的，說明第一個試點(diǎn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的新型農(nóng)村合作醫(yī)療管理水平較高，也說明本文提到的多屬性決策方法是可行且有效的。但由于本文提出的區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊數(shù)對決策者的評價信息的描述更加完整全面，使最終經(jīng)文獻(xiàn)[30]算得的其他三個方案的排序結(jié)果與本文結(jié)果不一致，這也說明了本文所提到的區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊集及其熵的公理化定義和計算公式比其更加適用于復(fù)雜的決策評價問題中。

5.3 算法復(fù)雜度說明

本文的算法復(fù)雜度從以下兩個方面來說明。時間復(fù)雜度：對于一個n×n的Pythagorean 猶豫模糊矩陣，根據(jù)CIPHFOWA算子，以及公式（6）、（8）、（10）計算可知，該算法的復(fù)雜程度是一個關(guān)于矩陣維數(shù)n的函數(shù)，即算法的復(fù)雜度為O(n2)。

空間復(fù)雜度：本文創(chuàng)建的是一個n×n的矩陣，在循環(huán)n2次后，可得其空間復(fù)雜度也為O(n2)。

6 結(jié)束語

本文針對模糊環(huán)境下的決策問題，提出了一種基于區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊熵多屬性決策方法。首先，基于之前學(xué)者提出了連續(xù)區(qū)間Pythagorean猶豫模糊有序加權(quán)平均（CIPHFOWA）算子，本文提出了一種區(qū)間Pythagorean猶豫模糊連續(xù)熵，不僅可以反映猶豫模糊集的模糊性和猶豫性的特征，而且還可以更加全面地反映專家所給評價值的不確定性。然后，給出了屬性權(quán)重完全未知和部分已知時的權(quán)重確定方法。最后，基于區(qū)間Pythagorean猶豫模糊連續(xù)熵和灰色關(guān)聯(lián)度矩陣，提出了一種新的區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊連續(xù)加權(quán)熵-灰色關(guān)聯(lián)度的多屬性決策方法，考慮到多數(shù)實(shí)際情況下，屬性權(quán)重基本上都是完全未知，本文以屬性權(quán)重未知的情況為例，將本文提到的新方法應(yīng)用到新型農(nóng)村合作醫(yī)療制度完善程度的評價體系中，驗(yàn)證其可行性和有效性。

未來，區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊連續(xù)加權(quán)熵也將被運(yùn)用到模糊模式識別、醫(yī)療診斷、不確定性決策問題中。對于區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊集的定義、區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊連續(xù)加權(quán)熵公理化定義的界定、計算公式的構(gòu)造仍有許多極具挑戰(zhàn)性的地方，如何合理地規(guī)范區(qū)間Pythagorean 猶豫模糊連續(xù)熵的公理化定義使之更符合實(shí)際意義，在此背景下如何構(gòu)造更加合理有效的計算公式將是未來繼續(xù)研究和發(fā)展的方向。