倪仕全,田大鵬*

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林 長(zhǎng)春 130033;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

0 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高精度、良好的動(dòng)態(tài)性能、易于實(shí)現(xiàn)高速度等優(yōu)點(diǎn),在天線支撐、輪轂打磨、醫(yī)療器械等方面得到了廣泛應(yīng)用[1-5]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一個(gè)多入多出非線性系統(tǒng),目前,對(duì)其研究主要集中于運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)等方面。然而機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)支鏈存在動(dòng)力學(xué)慣量耦合現(xiàn)象,這種現(xiàn)象在機(jī)構(gòu)高速、高加速運(yùn)動(dòng)中更加明顯,嚴(yán)重影響了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能[6]44[7]604。研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)的慣量耦合特性對(duì)提升機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能具有重要意義。

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合方面的研究主要集中于運(yùn)動(dòng)耦合、剛?cè)狁詈系?對(duì)于剛度大、高速運(yùn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu),慣量耦合引起的動(dòng)力學(xué)耦合現(xiàn)象更嚴(yán)重[8-10]。文獻(xiàn)[11]對(duì)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了慣量耦合特性的分析方法。文獻(xiàn)[12,13]分析了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)慣量矩陣具有對(duì)角占優(yōu)及機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)間具有慣量耦合的特性。文獻(xiàn)[14]研究了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)空間中負(fù)載與電機(jī)慣量配比關(guān)系。文獻(xiàn)[15]提出了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)慣量耦合特性的分析方法,但沒(méi)有針對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿耦合的關(guān)系進(jìn)行解耦。文獻(xiàn)[16]提出了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合慣量特性評(píng)價(jià)指標(biāo)，并給出了指標(biāo)在工作空間的分布規(guī)律。文獻(xiàn)[17]針對(duì)CrossⅣ并聯(lián)機(jī)構(gòu),提出了支鏈間耦合作用的等效慣量參數(shù)計(jì)算方法。

上述研究中缺乏統(tǒng)一描述慣量耦合特性的標(biāo)度。文獻(xiàn)[7]605研究了2(3HUS+S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)空間中的慣量耦合特性,并提出了降低主動(dòng)支鏈間動(dòng)力學(xué)耦合強(qiáng)度的措施;文獻(xiàn)[6]50針對(duì)5 PSS/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了慣量耦合特性指標(biāo),并給出了指標(biāo)在機(jī)構(gòu)工作空間中的分布規(guī)律。

筆者在已有研究的基礎(chǔ)上,在充分考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)慣量矩陣為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣、慣量耦合特性統(tǒng)一標(biāo)度的情況下,定義慣量耦合特性;首先,對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,針對(duì)動(dòng)平臺(tái)廣義位姿、速度、加速度存在耦合的問(wèn)題,進(jìn)行解耦;采用虛功原理建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,基于此,建立機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)模型,最后對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行慣量耦合特性分析。

1 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)描述

3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)Bi(i=1,2,3)—包括沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)副、連接滑塊與從動(dòng)件的轉(zhuǎn)動(dòng)副;Pi—球面副;θi—導(dǎo)軌與從動(dòng)件的夾角

該機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)及3條相同支鏈構(gòu)成。每條支鏈按移動(dòng)副—轉(zhuǎn)動(dòng)副—球面副的順序依次連接靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái),移動(dòng)副處滑塊的導(dǎo)軌垂直固定于靜平臺(tái)。3條支鏈限制了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征,使動(dòng)平臺(tái)具有3個(gè)自由度:兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)、一個(gè)移動(dòng)。

機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù):靜平臺(tái)外接圓半徑為R,動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑為r,從動(dòng)件長(zhǎng)度為l。

1.2 機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

圖1中,筆者在靜平臺(tái)上建立靜坐標(biāo)系O-XYZ,原點(diǎn)位于平臺(tái)幾何中心;Y軸沿OA1方向并與之共線,Y軸與OAi之間夾角為αi;Z軸垂直于靜平臺(tái)方向向上,根據(jù)右手定則確定X軸;OAi垂直于對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線。

動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz的建立過(guò)程與坐標(biāo)系O-XYZ相同,其中:

(1)

動(dòng)平臺(tái)繞O-XYZ的X軸、Y軸、Z軸分別轉(zhuǎn)動(dòng)角度為α、β、γ,則動(dòng)平臺(tái)相對(duì)靜平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣為:

(2)

式中:sαi—sinαi;cαi—cosαi。

由文獻(xiàn)[18]可得機(jī)構(gòu)伴隨運(yùn)動(dòng)為:

(3)

聯(lián)立式(1～3),并根據(jù)桿長(zhǎng)l不變的條件,可得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解為:

(4)

式中:PiX—點(diǎn)Pi在靜坐標(biāo)系X軸坐標(biāo);PiY—點(diǎn)Pi在靜坐標(biāo)系Y軸坐標(biāo);PiZ—點(diǎn)Pi在靜坐標(biāo)系Z軸坐標(biāo)。

1.3 移動(dòng)副速度、加速度映射分析

動(dòng)平臺(tái)各球面副中心點(diǎn)Pi的速度為:

vpi=v+w×pi=JpiV

(5)

動(dòng)平臺(tái)各球面副中心點(diǎn)Pi的速度還可以表示為:

vpi=vbie+wli×li

(6)

式中:vbi—移動(dòng)副速度;wli—從動(dòng)件角速度。

由式(5,6)可得移動(dòng)副速度:

vbi=JbiV

(7)

式(7)可改寫(xiě)成矩陣形式為:

vb=JbV

(8)

(9)

α、β、γ對(duì)α、β、z求偏導(dǎo),即:

(10)

聯(lián)立式(9,10)可得:

(11)

由式(8,11)可得機(jī)構(gòu)的解耦速度雅可比矩陣為:

(12)

(13)

式中:εli—從動(dòng)件角加速度。

式(13)可改寫(xiě)成:

abi=JbiA+VTJiV

(14)

(15)

(16)

由式(15,16)可得:

(17)

式(14)可表示為:

(18)

1.4 從動(dòng)件速度、加速度分析

1.4.1 從動(dòng)件速度分析

(19)

從動(dòng)件質(zhì)心處速度為:

(20)

1.4.2 從動(dòng)件加速度分析

(21)

對(duì)式(20)求導(dǎo),可得:

(22)

1.5 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

驗(yàn)證機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性,需將仿真結(jié)果與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比[20]。

機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)如下:R=0.055 m;r=0.035 36 m;l=0.040 m。

令動(dòng)平臺(tái)的中點(diǎn)軌跡如下式:

(23)

由式(4,7,18)可得到機(jī)構(gòu)3個(gè)滑塊理論位移、速度、加速度,如圖2所示。

圖2 滑塊理論位移、速度、加速度

筆者在運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真軟件Simulink/SimMechanics工具箱中,建立機(jī)構(gòu)的三維模型,得到機(jī)構(gòu)3個(gè)滑塊的位移、速度、加速度,如圖3所示。

圖3 滑塊的仿真位移、速度、加速度

在圖3(c)中,初始時(shí)刻,滑塊的加速度出現(xiàn)跳變,這是由于動(dòng)平臺(tái)在式(23)的初始位姿與機(jī)構(gòu)初始位姿不同造成的。從圖2和圖3可看出:該結(jié)果驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模、動(dòng)平臺(tái)位姿(速度、加速度)解耦的正確性。

2 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 受力分析

在不考慮運(yùn)動(dòng)副存在摩擦力的情況下,筆者對(duì)各個(gè)構(gòu)件的受力進(jìn)行分析,建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。

滑塊受力為:

(24)

式中:τi—驅(qū)動(dòng)力;mb—滑塊質(zhì)量;g—重力加速度向量。

從動(dòng)件受力為:

(25)

式中:ml—從動(dòng)件質(zhì)量;Ili—從動(dòng)件在靜坐標(biāo)系的慣量矩陣。

動(dòng)平臺(tái)受力為:

(26)

式中:fe—外力;ne—外力矩;mp—?jiǎng)悠脚_(tái)質(zhì)量;Ip—?jiǎng)悠脚_(tái)在靜坐標(biāo)系的慣量矩陣。

2.2 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體動(dòng)力學(xué)建模

對(duì)于3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言,主動(dòng)力為各桿件的慣性力(矩)、重力、驅(qū)動(dòng)力、外力(矩)。根據(jù)虛功原理,機(jī)構(gòu)主動(dòng)力做的虛功之和為零,即:

Wh+Wl+Wp+Wf=0

(27)

式中:Wh—滑塊主動(dòng)力所做虛功;Wl—從動(dòng)件主動(dòng)力所做虛功;Wp—?jiǎng)悠脚_(tái)主動(dòng)力所做虛功;Wf—外力(矩)所做虛功。

由式(24～27)可得機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程:

(28)

式中:M—慣量矩陣項(xiàng);C—向心力及科氏力項(xiàng);G—重力項(xiàng)。

2.3 動(dòng)力學(xué)數(shù)值算例

2.3.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)定義

機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)及從動(dòng)件的尺寸參數(shù)值同1.5部分,并聯(lián)結(jié)構(gòu)的其他參數(shù)值如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.3.2 算例計(jì)算

在不考慮動(dòng)平臺(tái)受到外力(矩)擾動(dòng)的情況下,此處令動(dòng)平臺(tái)的位姿變化軌跡為:

(29)

3個(gè)支鏈的理論驅(qū)動(dòng)力及仿真驅(qū)動(dòng)力如圖4所示。

圖4 支鏈的理論驅(qū)動(dòng)力及仿真驅(qū)動(dòng)力

從圖4可知:理論驅(qū)動(dòng)力、仿真驅(qū)動(dòng)力曲線完全吻合,驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)建模的正確性。

3 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)慣量耦合特性分析

3.1 關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)模型的建立

根據(jù)機(jī)構(gòu)在廣義坐標(biāo)和關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)下動(dòng)能相等的原理,可得:

(30)

式中:Mg—關(guān)節(jié)空間下的慣量矩陣。

當(dāng)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)奇異情況時(shí):

Mg=(J-1)TMJ-1

(31)

對(duì)式(12)求導(dǎo)可得:

(32)

則并聯(lián)機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程為:

Mgab+Cgvb+Gg=τ

(33)

式中:Cg—關(guān)節(jié)空間下的向心力及科氏力項(xiàng),Cg=(J-1)T(-MJ-1H+CJ-1);Gg—關(guān)節(jié)空間下的重力項(xiàng),Gg=(J-1)TG。

3.2 慣量耦合特性評(píng)價(jià)指標(biāo)

由式(33)可知,各通道的力和運(yùn)動(dòng)矢量存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系,即一個(gè)輸入影響多個(gè)輸出,同時(shí)一個(gè)輸出受多個(gè)輸入的影響。

則本研究將評(píng)價(jià)指標(biāo)值定義在(0,1)之間,這便于直接反應(yīng)機(jī)構(gòu)慣量耦合強(qiáng)度;指標(biāo)值越大,耦合越大,反之越小。

此處定義慣量耦合特性ICIi為:

(34)

且需滿足下式的條件:

(35)

同時(shí),需求雅可比矩陣行列式值來(lái)判斷機(jī)構(gòu)是否存在奇異位姿。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

根據(jù)慣量耦合特性評(píng)價(jià)指標(biāo),筆者對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合特性進(jìn)行數(shù)值仿真分析。根據(jù)機(jī)構(gòu)的各條件約束及其可工作空間,選取機(jī)構(gòu)位姿運(yùn)動(dòng)范圍為:α∈[-10°,10°]、β∈[-10°,10°]、z∈[-24 mm,24 mm]。

當(dāng)α=0,β=0時(shí),動(dòng)平臺(tái)沿Z軸在運(yùn)動(dòng)范圍移動(dòng)時(shí),0.025

圖5 慣量耦合特性隨z方向分布規(guī)律

圖5中:3個(gè)支鏈的慣量耦合特性強(qiáng)度隨z變化一致,且變化范圍較大;隨著z值的增大,慣量耦合強(qiáng)度先減小后增大;在-7.2 mm處,慣量耦合強(qiáng)度最小;各ICI最小值分別為:ICI1=9.964×10-4;ICI2=1.005×10-3;ICI3=1.004×10-3;在z軸運(yùn)動(dòng)范圍最大數(shù)值處,支鏈間的慣量耦合強(qiáng)度最大。

當(dāng)β=0,動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)z值處于初始狀態(tài)時(shí),動(dòng)平臺(tái)繞O-XYZ轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),0.031

圖6 慣量耦合特性隨α方向分布規(guī)律

圖6中:支鏈2、3的耦合慣量隨α的變化一致,且變化范圍較小;支鏈1的耦合慣量隨著α數(shù)值增大先小后增大且變化范圍較大。

當(dāng)α=0,動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)z值處于初始狀態(tài)時(shí),動(dòng)平臺(tái)繞O-XYZ轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),0.031

圖7 慣量耦合特性隨β方向分布規(guī)律

圖7中:支鏈2、3的耦合慣量隨β的變化相反,這是因?yàn)橹ф?、3關(guān)于Y軸對(duì)稱,且耦合慣量變化范圍較大;支鏈1的耦合慣量隨著α數(shù)值增大先小后增大且變化范圍較小。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)動(dòng)平臺(tái)廣義位姿、速度、速度存在耦合的問(wèn)題,筆者通過(guò)機(jī)構(gòu)約束方程、影響系數(shù)矩陣對(duì)其進(jìn)行了解耦,建立了支鏈與動(dòng)平臺(tái)末端的映射關(guān)系,驗(yàn)證了解耦及解耦后運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性;基于虛功原理,筆者建立了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)仿真軟件驗(yàn)證了模型的正確性;在關(guān)節(jié)空間中建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,分析了機(jī)構(gòu)支鏈間的慣量耦合特性。

研究結(jié)果表明:在并聯(lián)機(jī)構(gòu)可工作空間內(nèi),通過(guò)合理規(guī)劃?rùn)C(jī)構(gòu)各個(gè)參數(shù)的運(yùn)動(dòng)范圍,可在一定程度上減小主動(dòng)支鏈間的耦合慣量,來(lái)提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能,但是不能從根本上消除。

在以后研究中,筆者將會(huì)基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)慣量耦合特性的特點(diǎn),將其應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的具體設(shè)計(jì)研究當(dāng)中。