潘 影

(江蘇省徐州市西苑中學(xué) 221000)

幾何證明入門難，證明題難做，是許多初一學(xué)生在學(xué)習(xí)中的共識(shí).俗話說(shuō)：“萬(wàn)事開頭難.”這里面有很多因素，有主觀的，也有客觀的，學(xué)不得法，沒有形成系統(tǒng)的幾何語(yǔ)言是其中的一個(gè)重要原因.那么如何才能形成自己的幾何語(yǔ)言？如何運(yùn)用幾何語(yǔ)言進(jìn)行推理？如何規(guī)范書寫幾何推理過(guò)程？在這里筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了幾條幾何證明入門法則，與大家一起分享.

一、幾何語(yǔ)句的積累

初一學(xué)生在小學(xué)雖然已經(jīng)學(xué)過(guò)一部分幾何知識(shí)，但沒有書寫格式上的要求，只需能看懂圖形，根據(jù)圖形回答問題即可，基本沒有接觸過(guò)嚴(yán)密的幾何推理，自身的幾何語(yǔ)言也可謂是零起點(diǎn)，所以積累一定的幾何語(yǔ)句，是初一學(xué)生邁進(jìn)幾何世界的第一步.

七上第6章 平面圖形的認(rèn)識(shí)(一)中，就有很多需要理解并掌握的幾何語(yǔ)句.

1.“連接AB”就是“畫線段AB” (P147 做一做)

2.“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B”就是“畫直線l或直線AB” (P150 習(xí)題1(1))

3.“點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)B在直線l上” (P150 習(xí)題1(2))

4.“點(diǎn)A、O、E在一條直線上”就是“點(diǎn)A、O、E三點(diǎn)共線”(P157 習(xí)題4)

5.“直線A、B相交于點(diǎn)O”就是“直線A、B的交點(diǎn)為點(diǎn)O” (P150 習(xí)題1(3))

6.“反向延長(zhǎng)線段AB”就是“延長(zhǎng)線段BA” (P150 習(xí)題3(2))

7.“延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC=AB” (P149 做一做；P151 習(xí)題5(1))

8.“反向延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)D，使AD=AB” (P151 習(xí)題5(2))

9.“以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D”(P155 做一做)

10.“過(guò)點(diǎn)A畫與直線l平行的直線”就是“過(guò)點(diǎn)A畫直線l的平行線”(P166 做一做)

11.“過(guò)點(diǎn)A畫BC的垂線，垂足為D”就是“過(guò)點(diǎn)A畫AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D”(P170 練一練2(1))

如此等等，積累這些常用的幾何語(yǔ)句，目的是使學(xué)生能讀懂幾何題的題意，為生成幾何語(yǔ)言模塊做好鋪墊.

二、幾何語(yǔ)言模塊的生成

有了一定的幾何語(yǔ)句的積累，下面我們?cè)賮?lái)生成一些常用的幾何語(yǔ)言模塊，有了這些模塊，在以后的幾何題證明中，只要見到相關(guān)條件，直接套用模塊的幾何語(yǔ)言就可以了.

模塊一中點(diǎn)的定義(七上P149 議一議)

模塊二角平分線的定義(七上P156 議一議)

模塊三余角、補(bǔ)角的定義(七上P159 議一議)

幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?與∠2互為余角,所以∠1+∠2=90°(余角的定義).

幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?與∠2互為補(bǔ)角,所以 ∠1+∠2=180°(補(bǔ)角的定義).

模塊四余角、補(bǔ)角的性質(zhì)(七上P160 議一議)

同角(或等角)的余角相等.

幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?與∠2互為余角，∠1與∠3互為余角，所以 ∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ,所以 ∠2=∠3(同角的余角相等).

幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?與∠2互為余角，∠3與∠4互為余角，所以∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°

且∠1=∠3,所以 ∠2=∠4(等角的余角相等).

同角(或等角)的補(bǔ)角相等.

幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?與∠2互為補(bǔ)角，∠1與∠3互為補(bǔ)角,所以∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ,所以 ∠2=∠3(同角的補(bǔ)角相等).

幾何語(yǔ)言：因?yàn)椤?與∠2互為補(bǔ)角，∠3與∠4互為補(bǔ)角,所以∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°且∠1=∠3所以∠2=∠4(等角的補(bǔ)角相等).

如此等等，有了生成這些點(diǎn)、角、直線等基本圖形知識(shí)板塊的幾何語(yǔ)言模塊的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)提供了探究的方向.我們可以如法炮制出三角形、四邊形等幾何圖形知識(shí)板塊的幾何語(yǔ)言模塊，為幾何題的推理證明和規(guī)范書寫奠定了基礎(chǔ).

三、幾何語(yǔ)言模塊的應(yīng)用

利用上面的幾大幾何語(yǔ)言模塊，我們完成七年級(jí)的一些簡(jiǎn)單的幾何題證明，就易如反掌了.只要把題目中涉及的幾何條件找到，舉一反三地套用相應(yīng)的幾何語(yǔ)言模塊，一道幾何題的推理過(guò)程就可以輕松、規(guī)范地書寫出來(lái)了.

例1 如圖，點(diǎn)D、E在BC上，F(xiàn)D⊥BC，垂足為D，AE⊥EG，且∠1=∠2.請(qǐng)問∠3與∠4有什么關(guān)系？說(shuō)明理由.

解∠3=∠4

因?yàn)镕D⊥BC，AE⊥EG所以∠FDE=∠AEG=90°(垂直的定義)

所以∠1+∠3=90°

又因?yàn)椤螦EG+∠2+∠4=180°(平角的定義)

所以∠2+∠4=90°

又因?yàn)椤?+∠3=90°，∠2+∠4=90°

且∠1=∠2

所以∠3=∠4(等角的余角相等)

例2 如圖，AB∥CD，∠DCB的平分線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，∠B與∠DAB互為補(bǔ)角，試探索∠E與∠AFE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解∠E=∠AFE

因?yàn)镃E是∠DCB的平分線

所以∠BCF=∠DCF(角平分線的定義)

又因?yàn)锳B∥CD所以∠BFC=∠DCF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

又因?yàn)椤螧與∠DAB互為補(bǔ)角

所以 ∠B+∠DAB=180°(補(bǔ)角的定義)

所以AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.)

所以∠E=∠BCF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

又因?yàn)椤螦FE與∠BFC是對(duì)頂角

所以∠AFE=∠BFC(對(duì)頂角的相等)

所以∠E=∠AFE(等量代換)

由此可見，只要理解并掌握了幾何語(yǔ)言模塊，在充分審題確定條件后，就能通過(guò)模塊的適當(dāng)疊加，規(guī)范地證明出相應(yīng)的題目了.當(dāng)然，這些模塊的靈活運(yùn)用，需要在平時(shí)的解題中不斷地熟練，俗話說(shuō)得好“熟能生巧”，我們只要鼓勵(lì)學(xué)生勇于嘗試，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，相信在不久的將來(lái)，他們一定能形成自己的幾何語(yǔ)言，任何難度的幾何題都能迎刃而解，學(xué)生們將會(huì)在數(shù)學(xué)知識(shí)的海洋里盡情地遨游！