杜海洋
(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校 610100)
子題下面我們先目睹2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(數(shù)學(xué)17題)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.
(1)證明:數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;
母題在人教A版新課標(biāo)教材必修《數(shù)學(xué)5》中第二章《數(shù)列》復(fù)習(xí)參考題B組第69頁第6題:
已知數(shù)列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)對于這個數(shù)列的通項公式作一研究,能否寫出它的通項公式?
下面筆者在不同的視角下通過對此題的解答,進(jìn)一步對由數(shù)列的二階線性遞推公式求數(shù)列的通項公式的解法進(jìn)行歸納,以達(dá)到拋磚引玉的作用,也希望讀者仿照解法對模擬演練試題進(jìn)行多角度求解!.
解法一(教參提供解法)
解法二(利用累加法)
解法三(待定系數(shù)法1)
解法四(待定系數(shù)法2)
解法五(構(gòu)造輔助數(shù)列)
解法六(分類討論)
用逐項相消,再用奇偶討論
由an+an-1=7·3n-2,得n-1個等式
a2+a1=7×30,a3+a2=7×3,a4+a3=7×32,a5+a4=7×33,…,an+an-1=7×3n-2,
討論(1)當(dāng)n為偶數(shù)時,n-1為奇數(shù),將第2、4、6所有序號為偶數(shù)的式子乘以-1,再將這n-1個式子相加得:
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,n-1為偶數(shù),將第2、4、6所有序號為偶數(shù)的式子乘以-1,再將這n-1個式子相加得
解法七(特征根視角)
解法八(構(gòu)造函數(shù))
設(shè)a0,a1,…,an,…是給定的數(shù)列,作出以它為系數(shù)的多項式f(x)=a0+a1x+…+anxn+…,把f(x)稱為該數(shù)列的母函數(shù).
令f(x)=a1+a2x+a3x2+…anxn-1…①
-2xf(x)=-2a1x-2a2x2-2a3x3-…-2anxn…②
-3x2f(x)=-3a1x2-3a2x3-3a3x4-…-3anxn+1…③
①+②+③得
(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x+(a3-2a2-3a1)x2+…+(an-2an-1-3an-2)xn-1+…又an=2an-1+3an-2(n≥3),所以(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x=5-8x.
縱觀2021年新高考八省模擬演練數(shù)學(xué)試題,筆者發(fā)現(xiàn),試題體現(xiàn)了新高考的特點即:在秉承素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的原則下,突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力,彰顯了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展“四能”的意識.尤其是大量的試題創(chuàng)新設(shè)置豐富了試題的內(nèi)容和形式、優(yōu)化了試卷的結(jié)構(gòu).但細(xì)心發(fā)現(xiàn),大量試題的背景來源依然是學(xué)生“熟悉”的面孔,只是呈現(xiàn)的形式玩了“花樣”,實際上17題明顯在教材的難度上下了臺階,只要平時教學(xué)留意,學(xué)生順利完成不難.
波利亞曾說過:“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但不太負(fù)載的題目,幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面,把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”教材許多例題、習(xí)題看似平常,實際上卻有很大的教學(xué)價值和研究空間.縱觀近幾年全國各地高考題,模擬題均能找到課本習(xí)題、例題的影子,真正體現(xiàn)源于教材、活于教材、高于教材.高考中不變的是知識和思想方法,變化的無非是情景的呈現(xiàn)形式、問題的結(jié)構(gòu)方式.這就要求平時在教學(xué)中,尤其典型例題和習(xí)題不但要講,還要講深講透,同時還要進(jìn)行一題多解多變, 既可以開拓學(xué)生的視野,又可以最大限度的發(fā)揮習(xí)題的最大功效,使之知一題懂一類.