周巧靈 邱禮明

(廣東省惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 516008)

在人教A版必修第一冊(cè)的教材中,有這樣一道習(xí)題:

函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2，當(dāng)x∈(-2.5,3]時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式，并作出函數(shù)圖象.

習(xí)題中出現(xiàn)的函數(shù)f(x)=[x]即為取整函數(shù).在近幾年的各省市數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，經(jīng)常出現(xiàn)以取整函數(shù)為背景的試題.本文以此為出發(fā)點(diǎn)，探討取整函數(shù)的定義，基本性質(zhì)及其應(yīng)用，供廣大讀者參考.

一、定義

設(shè)x∈R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)=[x]稱(chēng)為取整函數(shù)，也叫高斯函數(shù).即[x]表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，x-[x]表示其小數(shù)部分，通常用符號(hào){x}表示，即{x}=x-[x].

二、性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)任意x∈R，均有x-1<[x]≤x<[x]+1；

性質(zhì)2取整函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2，若x1≤x2，則[x1]≤[x2]；

性質(zhì)3若n∈N，x∈R，則[n+x]=n+[x]；

性質(zhì)4若x∈R，y∈R，則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1；

性質(zhì)5若n∈N+，x∈R，則[nx]≥n[x]；

三、應(yīng)用舉例

例1 (2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)預(yù)賽第4題)記[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則集合{[x]+[2x]+[3x]|x∈R}∩{1,2,3,…,100}共有____個(gè)元素.

分析設(shè)f(x)=[x]+[2x]+[3x]，則f(x+1)=f(x)+6，當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)的所有可能值為0,1,2,3，因此，f(x)的值域?yàn)镾={6k,6k+1,6k+2,6k+3|k∈Z}

故S∩{1,2,3,…,100}共有4×17-1=67個(gè)元素.

所以，對(duì)任意正整數(shù)k均有

=7·49k-1-1=7·(50-1)k-1-1

≡7·(-1)k-1-1(mod50)

從而A≡7·1010(1-1)-1000≡40(mod50).故A除以50的余數(shù)為40.

例4(2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽試題第3題)用[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則方程x2-[x]-2=0共有( )個(gè)不同的實(shí)根.

A.1 B.2 C.3 D.4

A.4 B.6 C.8 D.12

=1×3+2×5+3×7+4×9=70=2×5×7

從而集合A的元素個(gè)數(shù)為{2,5,7}的子集個(gè)數(shù)，即23=8，選C.

分析注意到

所以

A.11 B.13 C.14 D.19

對(duì)于每個(gè)不同的q均確定了唯一的有序數(shù)對(duì)(p,q)，從而，x也互不相同，

當(dāng)且僅當(dāng)q=41時(shí)，p=-3，此時(shí)，x的最小的解為-85.

A.2 B.4 C.6 D.8

=7a2k-1-(a2k-1+a2k-3)

=6a2k-1-a2k-3

記bk=a2k-1，故bk+1=6bk-bk-1，

注意到，{bk(mod10)}為2,4,2,8,6,8,2,4,…是以6為周期的周期數(shù)列，而1009=6×168+1，于是b1009≡2(mod10)，因此，[a2017]的個(gè)位數(shù)是b1009除以10的余數(shù)2.

A.1 B.2 C.3 D.2018

從以上競(jìng)賽題(或者競(jìng)賽訓(xùn)練題)可以看出，與取整函數(shù)相關(guān)的賽題主要集中在函數(shù)與數(shù)列問(wèn)題，只要充分理解取整函數(shù)的概念，恰當(dāng)?shù)厥褂盟男再|(zhì)，綜合高中階段所學(xué)的知識(shí)方法與能力，就能很好地解決這類(lèi)問(wèn)題.