劉海濤
(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)
(2021年1月23日全國(guó)高三“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)第7題)已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC是⊙I:(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( ).
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
分析該題綜合性強(qiáng)、解法靈活,考查了拋物線與圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),方程的思想,直線與圓、拋物線的位置關(guān)系等知識(shí),考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題看似簡(jiǎn)單、明了,但內(nèi)涵豐富,本文嘗試對(duì)該題從不同的角度予以思考,給出不同的解法,并揭示出問(wèn)題的命題背景,最后總結(jié)出該類問(wèn)題的通解通法,以發(fā)揮該題的最大價(jià)值.
評(píng)注考慮到直線BC的方程受到直線AB,AC的制約,于是考慮將AB,AC兩條直線的方程同時(shí)和拋物線聯(lián)立,得到三個(gè)公共點(diǎn)A,B,C縱坐標(biāo)同時(shí)滿足的方程,通過(guò)提取公因式舍去點(diǎn)A,得到關(guān)于B,C的方程3y2+12y+8=0,結(jié)合y2=2x,得到直線BC的方程.該法過(guò)程簡(jiǎn)潔,運(yùn)算量小,不失為一種巧妙解法.
數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō):“解題就像采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈.”解答完本題后,筆者有如下變式探究:
探究1 已知⊙I:(x-2p)2+y2=r2(r>0)與拋物線y2=2px無(wú)公共點(diǎn),拋物線上三點(diǎn)A(2p,2p),B,C,滿足直線AB,AC是⊙I的兩條切線,求證直線BC的斜率為定值.
既然圓的半徑可以一般化,條件可簡(jiǎn)化為kAB+kAC=0,由此,得到如下結(jié)論:
若點(diǎn)A為拋物線y2=2px任意一點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O),結(jié)論變不變呢?
由此,得到如下結(jié)論:
說(shuō)明特別地,結(jié)論2中的y0=2p,即為結(jié)論1.
橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線,三者之間有很多可類比的性質(zhì),體現(xiàn)了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一,于是筆者對(duì)橢圓與雙曲線進(jìn)行了探究.
證明設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則lAB:y-y0=k(x-x0),lAC:y-y0=-k(x-x0).
由此,得到如下結(jié)論:
類比可得雙曲線中的如下結(jié)論:
由于橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換,可以得到以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓,類比可得如下結(jié)論:
說(shuō)明限于篇幅,結(jié)論4,5的證明可參照結(jié)論3的證明.
考慮平移變換,對(duì)于圓心不為坐標(biāo)原點(diǎn)的圓,容易得到如下結(jié)論:
基于上述討論,筆者猜想:若直線AB與AC無(wú)限靠近直至重合,則B,C兩點(diǎn)可以視做點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性,此時(shí)直線BC的斜率與曲線在點(diǎn)A處切線斜率互為相反數(shù).筆者利用幾何畫(huà)板分別在圓、橢圓、雙曲線、拋物線上探究,發(fā)現(xiàn)猜想正確,考慮將圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一為二次曲線方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,得到如下結(jié)論:
說(shuō)明限于篇幅,結(jié)論7的證明留給讀者思考.
通過(guò)上述研究發(fā)現(xiàn),我們可以將問(wèn)題概括為斜率和為定值的相交弦問(wèn)題,解法3(雙直線方程法)為我們提供了一種解決該類問(wèn)題的新思路,下面我們通過(guò)一道高考真題及其變式來(lái)理解這種解題方法.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn),且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1,證明:直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
變式將(2)中的“若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1”改為“若直線P2A與直線P2B的斜率積為-1”.
評(píng)注例1及其變式,沒(méi)有采用傳統(tǒng)的聯(lián)立直線l與橢圓方程,消元得到一元二次方程后利用韋達(dá)定理解題,而是利用直線P2A與P2B的雙直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得到關(guān)于P2,A,B三點(diǎn)的曲線系方程,利用分解因式的辦法舍去點(diǎn)P2,得到直線l的方程,相較于傳統(tǒng)法,解答過(guò)程過(guò)程簡(jiǎn)潔,運(yùn)算量小.
通過(guò)上述討論,不難發(fā)現(xiàn),若題中條件符合兩條相交弦所在直線的斜率和(或積)為定值,則利用雙直線方程與曲線方程聯(lián)立,利用斜率和(或積)的定值,可以巧妙解題,具體步驟總結(jié)如下:
雙直線方程法步驟:
(1)寫(xiě)出兩相交弦所在直線的點(diǎn)斜式方程y-y0=k1(x-x0),y-y0=k2(x-x0)(其中(x0,y0)為相交弦的交點(diǎn)坐標(biāo),k1,k2為兩相交弦所在直線的斜率);
(2)寫(xiě)出雙直線方程[y-y0-k1(x-x0)][y-y0-k2(x-x0)]=0,利用斜率k1,k2的定值關(guān)系將其化簡(jiǎn);
(3)將(2)中所得雙直線方程與曲線方程聯(lián)立,得到兩相交弦的端點(diǎn)(共三點(diǎn))坐標(biāo)滿足的曲線系方程,通過(guò)因式分解舍去點(diǎn)(x0,y0),得到含有參數(shù)k1,k2的直線方程.
例2(2019年北京卷·第18題)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1).
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)O為原點(diǎn),過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
解析(1)C:x2=-4y,準(zhǔn)線:y=1(過(guò)程略);
評(píng)注注意到直線OM與ON為相交弦,考慮直線OM與ON的雙直線方程與拋物線聯(lián)立,通過(guò)因式分解舍去點(diǎn)O,得到直線MN的方程,利用直線MN經(jīng)過(guò)焦點(diǎn),得到斜率積為定值,接著將斜率積轉(zhuǎn)化為A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系,接下來(lái)問(wèn)題迎刃而解.
(1)求E的方程;
(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).
1.一題多解,提高解題能力
數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題,數(shù)學(xué)研究的過(guò)程就是解決問(wèn)題的過(guò)程,掌握數(shù)學(xué)的一個(gè)重要標(biāo)志就是善于解題.可見(jiàn),解題是一名教者的必備技能,技能的形成并非一朝一夕,而在于日積月累.數(shù)學(xué)解題是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動(dòng),所以對(duì)一道典型問(wèn)題進(jìn)行多角度的分析與解答是非常必要的.筆者從三個(gè)角度分析“八省聯(lián)考”的解幾小題,得到三種不同解法,第一種解法屬于最常用解法,先設(shè)線再求點(diǎn),計(jì)算量大,過(guò)程復(fù)雜,第二種方法根據(jù)題目特點(diǎn),先設(shè)點(diǎn)再求線,優(yōu)化了解題過(guò)程,簡(jiǎn)化了計(jì)算,第三種解法抓住題目斜率和為定值的兩條相交弦的命題背景,采用雙直線法,巧妙自然,富有創(chuàng)意.
2.變式推廣,尋求多解歸一
“八省聯(lián)考”的數(shù)學(xué)試卷由教育部組織命制,每一道試題凝聚著命題人的心血與智慧,是命題者反復(fù)考量與打磨才成型的,對(duì)新高考的教學(xué)具有導(dǎo)向性與啟示性.對(duì)典型試題進(jìn)行逆向探究、引申探究、類比探究等,往往可以得到很多有價(jià)值的東西,筆者將試題一般化處理,得到結(jié)論1和2,運(yùn)用類比的思想方法,探究橢圓、雙曲線、圓,依次得到結(jié)論3、4、5和6,最后將四種曲線統(tǒng)一為二次曲線,得到結(jié)論7,體現(xiàn)了二次曲線內(nèi)在統(tǒng)一.教學(xué)中,教師若能合理運(yùn)用上述方式,定能教會(huì)學(xué)生處理同類問(wèn)題的通解通法,避免題海戰(zhàn)術(shù),減輕學(xué)生負(fù)擔(dān),提高學(xué)習(xí)效率,達(dá)到多解歸一的目的.
3.總結(jié)通法,形成模式化解題策略
通過(guò)分析、對(duì)比、歸納,概括出一類問(wèn)題的公同特點(diǎn),依此特點(diǎn)制定規(guī)范的解題步驟,形成模式化解題策略,這樣就可以教會(huì)學(xué)生處理同類問(wèn)題的通解通法,避免題海戰(zhàn)術(shù),減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),提高學(xué)習(xí)效率.這樣,我們?cè)趯W(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí),掌握基本技能的同時(shí),就可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性,達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的解題水平和能力,提高自身的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).