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        再談“兩邊夾 夾出美麗的答案來”

        2021-08-05 08:31:08甘超一
        數(shù)理化解題研究 2021年16期
        關鍵詞:題設所求混合物

        甘超一

        (華南農業(yè)大學資源環(huán)境學院2019級環(huán)境科學2班 510642))

        可以證明冰、水混合物(假設它們之間已經沒有熱傳遞,即兩者溫度已經達到一致)的溫度是0℃:因為冰、水混合物的溫度≤冰的溫度≤0℃;冰、水混合物的溫度≥水的溫度≥0℃,即

        0℃≤冰、水混合物的溫度≤0℃

        所以冰、水混合物的溫度=0℃

        這就是文[1]介紹的一種解題方法——“兩邊夾(即式①),夾出美麗的答案(即式②)來”.本文再用例題介紹這種巧妙的解題方法.

        一、函數(shù)問題

        題1 (2016年福建省高一數(shù)學競賽試題第6題)f(x)是定義在R上的函數(shù),若f(0)=1,且對于任意的x∈R,滿足f(x+2)-f(x)≤2,f(x+6)-f(x)≥6,則f(2016)=( ).

        A.2013 B.2015 C.2017 D.2019

        解C.可得6≤f(x+6)-f(x)=[f(x+6)-f(x+4)]+[f(x+4)-f(x+2)]+[f(x+2)-f(x)]≤2+2+2=6,所以f(x+2)-f(x)=2,f(x+2)=f(x)+2.

        再用數(shù)學歸納法可證得f(x+2k)=f(x)+2k(k∈N),所以f(2016)=f(0+2016)=f(0)+2016=2017.

        題2若函數(shù)cf(x)=x2+bx+c(b,c是常數(shù))同時滿足:f(1)=0;?x∈[1,3],f(x)≤0;f(x)在(2,+∞)上是單調遞增函數(shù),則f(x)的解析式是____.

        解f(x)=x2-4x+3.由f(1)=0,可得b=-c-1.

        再由f(3)=9+3b+c=6-2c≤0,可得c≥3.

        還可檢驗:當f(x)=x2-4x+3時,?x∈[1,3],f(x)≤0,所以所求答案是f(x)=x2-4x+3.

        (2)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b(a,b,c均為常數(shù)).若當|x|≤1時,|f(x)|≤1恒成立且g(x)的最大值為2,則函數(shù)f(x)的解析式是____;

        (2)f(x)=2x2-1.可得g(x)=ax+b(a>0)在x∈[-1,1]時是增函數(shù),所以g(x)max=g(1)=a+b=2.

        還可得|f(1)|=|a+b+c|=|2+c|≤1,2+c≤1,c≤-1及|f(0)|=|c|≤1,c≥-1,所以c=-1.

        再由a+b=2,可得a=2,所以函數(shù)f(x)的解析式是f(x)=2x2-1.

        解法1 9.可得題設即?x∈[1,5],-x2-2≤px+q≤-x2+2.如圖1所示,可得線段y=px+q(1≤x≤5)夾在另兩條曲線段y=-x2-2(1≤x≤5),y=-x2+2(1≤x≤5)之間.

        圖1

        可得曲線段y=-x2+2(1≤x≤5)的兩個端點分別為A(1,1),B(5,-23),還可證得線段AB:y=-6x+7(1≤x≤5)與曲線段y=-x2-2(1≤x≤5)切于點C(3,-11),再由數(shù)形結合思想可得p,q的值分別是-6,7.

        但還需要作嚴格證明:

        也可這樣證明:

        分別令x=1,3,5,可得p+q≤1,3p+q≥-11,5p+q≤-23,所以

        -23≥5p+q=2(3p+q)-(p+q)

        ≥2·(-11)-1=-23

        解法2 9.令x=1,3,分別得

        -2≤1+p+q≤2

        -2≤9+3p+q≤2

        ④-③,④-③×3,分別得

        -6≤p≤-2,-1≤q≤7

        解法3 9.分別令x=1,3,5,可得

        p+q≤1

        -3p-q≤11

        5p+q≤-23

        ⑤+⑥×2+⑦,得0≤0,所以⑤⑥⑦均是等式,進而可求得p=-6,q=7.

        同解法2,還可驗證p=-6,q=7滿足題設,所以滿足題設的p,q的值分別是-6,7.

        但還需要作嚴格證明:

        也可這樣證明:

        注同題4或題5的解法還可證得下面的結論:

        由題4或題5的解法還可解答這道小題:

        A.實數(shù)a有唯一取值 B.實數(shù)a的取值不唯一

        C.實數(shù)b有唯一取值 D.實數(shù)b的取值不唯一

        因而選項A,C均正確,B,D均錯誤.

        二、方程問題

        題6 若自然數(shù)a,b,c滿足29a+30b+31c=336,則a+b+c=____.

        解11.由題設,可得

        29(a+b+c)≤336≤31(a+b+c)

        a+b+c=11

        (2)若實數(shù)x,y滿足x+y+4=ex+ey+2,則x+y=____.

        用導數(shù)可證得不等式1+lnt≤t(當且僅當t=1時取等號),所以

        (2)-2.由題設及均值不等式,可得

        用導數(shù)知識,可證得

        (2)-2.可得題設即x-ex+4=ey+2-y.

        用導數(shù)知識,可證得

        x-ex+4≤3(當且僅當x=0時取等號)

        ey+2-y≥3(當且僅當y=-2時取等號)

        所以題設即x=0,y=-2,因而x+y=-2.

        用導數(shù)知識,可證得

        t-lnt-1≥0(當且僅當t=1時取等號)

        所以

        (2)-2.可得題設即(ex-x-1)+[ey+2-(y+2)-1]=0.

        用導數(shù)知識,可證得

        et-t-1≥0(當且僅當t=0時取等號)

        所以

        ex-x-1≥0(當且僅當x=0時取等號)

        ey+2-(y+2)-1≥0(當且僅當y=-2時取等號)

        進而可得題設即x=0,y=-2,所以x+y=-2.

        三、三角函數(shù)與解三角形問題

        進而可得答案是C.

        注用以上“兩邊夾”的方法還可求解2020年高考北京卷第14題:若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個取值為____.(筆者注:建議把題中的“取值”(動詞)改為“值”(名詞),或把“φ的一個取值”改為“φ可取的一個值”.)

        題9 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

        把此等式與題設中的等式相加后,可得

        再由不等式a2+b2≥2ab,

        再由余弦定理,可得

        從而可得答案.

        四、平面向量問題

        五、求取值范圍問題

        把得到的兩個不等式相加,并由題設可得

        還可得

        進而可得答案.

        六、恒成立問題

        題12 (2012年高考浙江卷理科第17題)設a∈R,若x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=____.

        圖2

        注在解法3中,為什么會想到令x=2呢?

        題13(1)若x∈[-1,1]時,ax3-3x+1≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

        (2)若x∈[-1,1]時,f(x)=ax5-20x3+5x-1≤0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

        (3)若x∈[-1,1]時,f(x)=ax5-20x3+5x+1≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

        解(1)可設x=sinα,由公式sin3α=3sinα-4sin3α,得(4-α)sin3α≤1-sin3α恒成立.

        還可驗證當a=4時(4-a)sin3α≤1-sin3α恒成立,所以所求答案是“4”.

        還可驗證當a=16時(a-16)sin5α≤1-sin5α恒成立,所以所求答案是“16”.

        (3)在(2)的結論中,令x=-t后可得答案是“16”.

        圖3

        但以下解答更嚴謹:

        在sinx≤ax+b≤tanx中令x=0,可得b=0.

        所以a=1.得所求常數(shù)a,b的取值范圍分別是{1},{0}.

        (2)同(1)的解答可得c=0.

        所以a=0.得所求常數(shù)a,b,c的取值范圍分別是{0},{1},{0}.

        (3)同(2)的解答可得d=0,c=1.

        再由⑨,可得b=0.

        注有興趣的讀者,還可研究題15的一般情形.

        七、其他問題

        文獻[1]的題1(第 54 屆羅馬尼亞數(shù)學奧林匹克決賽試題),題2(2008年北京市中學生數(shù)學競賽高一年級初賽試題第一題第4題),題10(2007年全國高中生數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷第15題)及題13(2012年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學試題第12題),題11(2012年第24屆亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽第1題),題14用“兩邊夾”分別解決了求值問題、存在性問題、數(shù)列問題、平面幾何問題、求極限問題,讀者可自行瀏覽.

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