陳海東
(江蘇省啟東中學(xué) 226200)
借助一元二次函數(shù)的判別式來解決恒成立問題的主要方式是,對(duì)于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,其中(x∈R),若f(x)>0恒成立,那么此函數(shù)中一定有兩個(gè)式子成立:a>0;Δ<0;若f(x)<0恒成立,那么:a<0;Δ<0.當(dāng)然,不同的題目有不同的要求,同學(xué)們要靈活處理.
例1若有方程y=(m-1)x2+(m-1)x+2,在x∈R上y>0恒成立,求m的取值范圍.
解∵ 當(dāng)x∈R上y=(m-1)x2+(m-1)x+2>0恒成立
∴根據(jù)函數(shù)的判別式可得:
聯(lián)立上式可解得:1 ∴m的取值范圍為:[1,9) 借助函數(shù)的性質(zhì)來解決恒成立問題,主要指的是對(duì)于函數(shù)f(x)而言,如果函數(shù)f(x)>0恒成立,那么在x的區(qū)間范圍內(nèi),當(dāng)x為任意一個(gè)數(shù)值時(shí),f(x)的值均大于零.例如:一次函數(shù)f(x)=kx+b,其中x∈[m,n],若f(x)>0,那么f(m)>0,且f(n)>0. 例2已知|P|<2,且P∈R,若要使不等式(log2x)2+(P-2)log2x+1-P>0恒成立,求x的取值范圍. 分析仔細(xì)觀察這道題目,我們可以發(fā)現(xiàn)如果先解對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式,得到P的取值范圍之后,再去求x的取值范圍,那么解題過程就會(huì)十分的繁瑣.因此,我們可以首先將對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于P的一次不等式,然后在P∈[-2,2]的取值范圍內(nèi),靈活使用關(guān)于P的一次函數(shù)的性質(zhì),得到兩個(gè)關(guān)于x的不等式,然后求出x的取值范圍. 解∵|P|<2,且P∈R ∴-2≤P≤2,即P∈[-2,2] 設(shè)f(P)=(log2x)2+(P-2)log2x+1-P ∵不等式(log2x)2+(P-2)log2x+1-P>0恒成立 在恒成立問題中利用函數(shù)的最值,其含義是在定義域內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x),如果f(x)≥g(x)恒成立,那么一定有f(x)min≥g(x)max,反之亦然.同樣,如果a≥f(x)恒成立,那么一定有a≥f(x)max.我們?cè)谟龅胶愠闪栴}的時(shí)候,可以靈活地運(yùn)用函數(shù)的最值幫助我們求解. 解若:當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f(x)恒有意義 那么:當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),1+2x+4x·a>0恒成立 ∴當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g(x)為增函數(shù) 除了以上提到的幾點(diǎn),還有其他關(guān)于恒成立問題的解法,如特值代入法等.雖然恒成立問題理解起來不是十分容易,但我們可以針對(duì)題目,具體問題具體分析,尋找合適的解法,因此,希望同學(xué)們及時(shí)的歸納總結(jié),并熟練的掌握這些思路和方法.二、借助一次函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題
三、借助函數(shù)的最值解決恒成立問題