曹 兵

(江蘇省南通市海門(mén)第一中學(xué) 226100)

歷年高考過(guò)后，數(shù)學(xué)真題眾說(shuō)風(fēng)云，評(píng)說(shuō)不一．高考真題創(chuàng)新無(wú)限，名題如云，美不勝收．特別對(duì)于2019年高考上海卷第16題，背景簡(jiǎn)單，融合自然，難度較大，立意新穎，思想豐富，實(shí)屬難得，是眾多名題中的一個(gè)閃閃亮點(diǎn)，具有非常好的學(xué)習(xí)、觀摩、研究、拓展的價(jià)值．

一、真題在線

高考真題(2019·上海卷·16)已知tanα·tanβ=tan(α+β)，有下列兩個(gè)結(jié)論：

①存在α在第一象限，角β在第三象限；

②存在α在第二象限，角β在第四象限；則( ).

A．①②均正確 B．①②均錯(cuò)誤

C．①對(duì)，②錯(cuò) D．①錯(cuò)，②對(duì)

本題綜合三角函數(shù)與命題的真假判斷問(wèn)題，從三角恒等變換入手，三角方程的應(yīng)用來(lái)處理對(duì)應(yīng)的命題的真假確定，從而確定正確的選項(xiàng)．問(wèn)題背景新穎，創(chuàng)新性強(qiáng)．破解方法主要通過(guò)二次方程思維與特殊值思維等角度加以切入，利用方程思想、不等式思想等加以突破，從而得以正確判斷．

二、一題多解

1．二次方程思維

方法1(主元轉(zhuǎn)化+二次方程法)

故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)通過(guò)引入?yún)?shù)，設(shè)定其中一個(gè)為主元加以解決相應(yīng)的二次方程，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合方程的根的情況加以分類(lèi)討論，進(jìn)而得以確定兩角所對(duì)應(yīng)的正切值的正負(fù)取值情況，進(jìn)而確定兩角所可能存在的象限問(wèn)題．

方法2(換元+二次方程法)

綜上分析，可以判斷①錯(cuò)，②對(duì)，故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)結(jié)合tanα，tanβ的和與積同時(shí)出現(xiàn)的情況，引入?yún)?shù)，得到一個(gè)相應(yīng)的二次方程x2-(t-t2)x+t=0，并結(jié)合條件中角所在的象限確定tanα，tanβ的正負(fù)取值情況加以分類(lèi)討論，利用根的取值的存在性加以分析與判斷．

2．特殊值思維

方法3(特殊值驗(yàn)證法)

解析取特殊值加以檢驗(yàn)，

點(diǎn)評(píng)利用特殊值加以檢驗(yàn)時(shí)，正確選取特殊值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．特別在考試當(dāng)中，針對(duì)特殊值驗(yàn)證法，若有解時(shí)則認(rèn)為存在，取多組解時(shí)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有解，則可認(rèn)為不存在．

方法4(特殊值+均值不等式法)

若角α，β分別在第一象限、第三象限時(shí)，則有tanα>0，tanβ>0，

綜上分析，可以判斷①錯(cuò)，②對(duì)，故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)利用特殊值直接判斷②正確，對(duì)于滿足關(guān)系式成立的角比較困難一次性確定，可以通過(guò)先給其中一個(gè)角賦一個(gè)確定的值，再求解另一個(gè)角的值；而在判斷①時(shí)，利用兩個(gè)角所對(duì)應(yīng)的正切值均為正數(shù)的情況，結(jié)合均值不等式得到矛盾的結(jié)論，可以非常巧妙加以判斷與應(yīng)用．

方法5(特殊值+不等式性質(zhì)法)

綜上分析，可以判斷①錯(cuò)，②對(duì)，故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)利用特殊值直接判斷②正確，對(duì)于滿足關(guān)系式成立的角比較困難一次性確定，可以通過(guò)先給其中一個(gè)角賦一個(gè)確定的值，再求解另一個(gè)角的值；而在判斷①時(shí)，利用兩個(gè)角所對(duì)應(yīng)的正切值均為正數(shù)的情況，結(jié)合不等式的性質(zhì)得到矛盾的結(jié)論，可以非常巧妙加以判斷與應(yīng)用．

三、真題反思

涉及三角方程的解問(wèn)題，要求我們熟練使用相應(yīng)的三角恒等變換公式．破解時(shí)往往沒(méi)有固定的模式可循，且一般難度較大，可以有效考查學(xué)生的發(fā)散性思維以及化歸與轉(zhuǎn)化思想．特別在破解過(guò)程中借助特殊值法加以處理，可以有效降低思維量和運(yùn)算量，但不能夠作為通解通法，只能是一種輔助性方法．因而要求我們從各個(gè)角度展開(kāi)豐富的思考，展示精彩的思維過(guò)程與解題過(guò)程．從而站在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的角度，不拘泥于模式，而是自然而然地由相關(guān)知識(shí)引入與之對(duì)應(yīng)的解題思路、方法與技巧，這才是真正高考命題中核心素養(yǎng)立意的充分體現(xiàn)與魅力所在．