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        三角恒等變換入手破解三角方程問(wèn)題

        2021-08-05 08:29:56
        數(shù)理化解題研究 2021年16期
        關(guān)鍵詞:利用思維方法

        曹 兵

        (江蘇省南通市海門(mén)第一中學(xué) 226100)

        歷年高考過(guò)后,數(shù)學(xué)真題眾說(shuō)風(fēng)云,評(píng)說(shuō)不一.高考真題創(chuàng)新無(wú)限,名題如云,美不勝收.特別對(duì)于2019年高考上海卷第16題,背景簡(jiǎn)單,融合自然,難度較大,立意新穎,思想豐富,實(shí)屬難得,是眾多名題中的一個(gè)閃閃亮點(diǎn),具有非常好的學(xué)習(xí)、觀摩、研究、拓展的價(jià)值.

        一、真題在線

        高考真題(2019·上海卷·16)已知tanα·tanβ=tan(α+β),有下列兩個(gè)結(jié)論:

        ①存在α在第一象限,角β在第三象限;

        ②存在α在第二象限,角β在第四象限;則( ).

        A.①②均正確 B.①②均錯(cuò)誤

        C.①對(duì),②錯(cuò) D.①錯(cuò),②對(duì)

        本題綜合三角函數(shù)與命題的真假判斷問(wèn)題,從三角恒等變換入手,三角方程的應(yīng)用來(lái)處理對(duì)應(yīng)的命題的真假確定,從而確定正確的選項(xiàng).問(wèn)題背景新穎,創(chuàng)新性強(qiáng).破解方法主要通過(guò)二次方程思維與特殊值思維等角度加以切入,利用方程思想、不等式思想等加以突破,從而得以正確判斷.

        二、一題多解

        1.二次方程思維

        方法1(主元轉(zhuǎn)化+二次方程法)

        故選擇答案:D.

        點(diǎn)評(píng)通過(guò)引入?yún)?shù),設(shè)定其中一個(gè)為主元加以解決相應(yīng)的二次方程,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合方程的根的情況加以分類(lèi)討論,進(jìn)而得以確定兩角所對(duì)應(yīng)的正切值的正負(fù)取值情況,進(jìn)而確定兩角所可能存在的象限問(wèn)題.

        方法2(換元+二次方程法)

        綜上分析,可以判斷①錯(cuò),②對(duì),故選擇答案:D.

        點(diǎn)評(píng)結(jié)合tanα,tanβ的和與積同時(shí)出現(xiàn)的情況,引入?yún)?shù),得到一個(gè)相應(yīng)的二次方程x2-(t-t2)x+t=0,并結(jié)合條件中角所在的象限確定tanα,tanβ的正負(fù)取值情況加以分類(lèi)討論,利用根的取值的存在性加以分析與判斷.

        2.特殊值思維

        方法3(特殊值驗(yàn)證法)

        解析取特殊值加以檢驗(yàn),

        點(diǎn)評(píng)利用特殊值加以檢驗(yàn)時(shí),正確選取特殊值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.特別在考試當(dāng)中,針對(duì)特殊值驗(yàn)證法,若有解時(shí)則認(rèn)為存在,取多組解時(shí)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有解,則可認(rèn)為不存在.

        方法4(特殊值+均值不等式法)

        若角α,β分別在第一象限、第三象限時(shí),則有tanα>0,tanβ>0,

        綜上分析,可以判斷①錯(cuò),②對(duì),故選擇答案:D.

        點(diǎn)評(píng)利用特殊值直接判斷②正確,對(duì)于滿足關(guān)系式成立的角比較困難一次性確定,可以通過(guò)先給其中一個(gè)角賦一個(gè)確定的值,再求解另一個(gè)角的值;而在判斷①時(shí),利用兩個(gè)角所對(duì)應(yīng)的正切值均為正數(shù)的情況,結(jié)合均值不等式得到矛盾的結(jié)論,可以非常巧妙加以判斷與應(yīng)用.

        方法5(特殊值+不等式性質(zhì)法)

        綜上分析,可以判斷①錯(cuò),②對(duì),故選擇答案:D.

        點(diǎn)評(píng)利用特殊值直接判斷②正確,對(duì)于滿足關(guān)系式成立的角比較困難一次性確定,可以通過(guò)先給其中一個(gè)角賦一個(gè)確定的值,再求解另一個(gè)角的值;而在判斷①時(shí),利用兩個(gè)角所對(duì)應(yīng)的正切值均為正數(shù)的情況,結(jié)合不等式的性質(zhì)得到矛盾的結(jié)論,可以非常巧妙加以判斷與應(yīng)用.

        三、真題反思

        涉及三角方程的解問(wèn)題,要求我們熟練使用相應(yīng)的三角恒等變換公式.破解時(shí)往往沒(méi)有固定的模式可循,且一般難度較大,可以有效考查學(xué)生的發(fā)散性思維以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.特別在破解過(guò)程中借助特殊值法加以處理,可以有效降低思維量和運(yùn)算量,但不能夠作為通解通法,只能是一種輔助性方法.因而要求我們從各個(gè)角度展開(kāi)豐富的思考,展示精彩的思維過(guò)程與解題過(guò)程.從而站在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的角度,不拘泥于模式,而是自然而然地由相關(guān)知識(shí)引入與之對(duì)應(yīng)的解題思路、方法與技巧,這才是真正高考命題中核心素養(yǎng)立意的充分體現(xiàn)與魅力所在.

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