王詠芳 陸宗斌

(江蘇省蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院 215411)

數(shù)學(xué)問(wèn)題一般都有發(fā)現(xiàn)(提出)問(wèn)題、分析(討論、猜測(cè)、推演)問(wèn)題、解決(論證)問(wèn)題的過(guò)程，其中的分析過(guò)程是重要的核心步驟，因?yàn)檫@其中包括了：?jiǎn)栴}的存在性、問(wèn)題的可解性、簡(jiǎn)化解決方案等等，本文就利用冪數(shù)列求和公式的求解問(wèn)題，來(lái)說(shuō)明這一觀點(diǎn).

一、問(wèn)題的產(chǎn)生

二、分析討論

1.由定積分的定義

2.設(shè)求和公式為

4.公式的正確性可以通過(guò)具體數(shù)值計(jì)算進(jìn)行初步驗(yàn)證，也可以通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)密證明.

三、具體舉例

2.可以仿照上面的方法得出s(n，4)、s(n，5)等公式.當(dāng)k更大的時(shí)候，可以在網(wǎng)上查到，這里不一一列出.

3.計(jì)算說(shuō)明：

(1)待定系數(shù)的k元線性方程組計(jì)算是利用電子表格中矩陣計(jì)算而獲得；

(2)s(n,k)有公共因子：k≥0時(shí)，有公因子n；k≥1時(shí)，有n(n+1)；k≥2時(shí)的偶數(shù)時(shí)，有n(n+1)(2n+1)；k≥3時(shí)的奇數(shù)時(shí)，有n2(n+1)2.

四、過(guò)程分析與結(jié)論

1.“猜想”是數(shù)學(xué)的靈魂和動(dòng)力，s(n,k)是k+1次多項(xiàng)式就是一個(gè)假設(shè)、猜想，是依據(jù)s(n,1)、s(n,2)作出的猜想，上述s(n,3)的計(jì)算就是證明了這一假設(shè)在k=3時(shí)成立.

2.定積分的定義與計(jì)算，解決了s(n,k)的最高次項(xiàng)的次數(shù)及系數(shù)；線性代數(shù)知識(shí)可以保證k元線性方程組有唯一解組.有著高等數(shù)學(xué)“反哺”初等數(shù)學(xué)的作用.

3.計(jì)算機(jī)的運(yùn)用是必須的，由于s(n,k)中有k+2個(gè)待定系數(shù)，利用定積分概念等解決了二個(gè)系數(shù)，但仍需計(jì)算k階矩陣，且其中元素?cái)?shù)值最大的達(dá)kk，計(jì)算量隨k的增長(zhǎng)呈級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，必須使用計(jì)算機(jī).

5.k>10時(shí)，沒(méi)有得到論證，也無(wú)法用這個(gè)逐一解決的方法來(lái)論證.真正解決這個(gè)問(wèn)題有完備的遞推公式，解決了k為正整數(shù)時(shí)的所有公式.

五、展望與拓展

2.當(dāng)k<0時(shí)，可以證明P-級(jí)數(shù)的斂散性.同樣不在此進(jìn)行展開(kāi)討論.

3.初等數(shù)學(xué)常常用一題多解以拓展思路，高等數(shù)學(xué)往往用的是最佳最簡(jiǎn)解法，因此高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中思考的余地比較大，上述問(wèn)題求解過(guò)程中涉及的知識(shí)點(diǎn)也比較多，甚至使用了計(jì)算機(jī)，但也僅僅是部分解決了問(wèn)題，并沒(méi)有完備解決問(wèn)題：k為任意正整數(shù)時(shí).身為高等數(shù)學(xué)教師，不單單教授高等數(shù)學(xué)知識(shí)，還要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)方法，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，切實(shí)擔(dān)當(dāng)起教書(shū)育人的職責(zé).