李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值，求參數(shù)的值或取值范圍，這類問題高考常考的問題，其一般解法是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性，解法較為復(fù)雜.根據(jù)函數(shù)最值的定義(以最大值為例)：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的最大值為M，即對(duì)任意的x∈[a,b]，f(x)≤M，且存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=M.因此函數(shù)的最值問題其本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)恒成立問題，我們可以按照函數(shù)恒成立問題的思路對(duì)函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解.經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)，此類問題有如下求解策略.

一、分類討論函數(shù)的單調(diào)性

(1)若x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a的值；

(2)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0，求a的取值范圍.

①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，由f(0)=0，知不合題意.

當(dāng)0

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-1,+∞).

當(dāng)a>1時(shí)，-1

當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0，符合題意.

所以f(x)在[0,+∞)上的最大值是0時(shí)，a的取值范圍是[1,+∞).

點(diǎn)評(píng)分類討論是解決已知最值求參數(shù)或參數(shù)范圍問題的基本方法，但是這種解法相對(duì)比較繁瑣.

二、利用必要條件縮小參數(shù)范圍，減少分類討論

例2設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx+x2-2ax，若f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為0，求實(shí)數(shù)a的值.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)x∈[a,b]時(shí)，fmin(x)=m，我們可以取特殊值x0∈[a,b]，則f(x0)≥m，充分利用這一必要條件來縮小參數(shù)a的取值范圍，從而可以減少討論的情況，當(dāng)然這種解法極大的依賴參數(shù)a的取值范圍能縮小到什么程度.

點(diǎn)評(píng)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值(最大值)為m(M)，若通過觀察發(fā)現(xiàn)x0∈[a,b]，使得f(x0)=m(f(x0)=M)成立，則必有f′(x0)=0，然后驗(yàn)證充分性即可.

解注意到f(0)=1，從而x=0應(yīng)為f(x)的極值點(diǎn)，由于f′(x)=ex-kx-1，可知f′(0)=0顯然成立.要使當(dāng)x≥0時(shí)f(x)的最小值為1，則必存在x0>0，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，也即當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)有：f′(x)≥0，由于f′(0)=0，同理必存在x1>0，當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，f′(x)單調(diào)遞增，也即當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)有：f″(x)≥0，從而f″(0)=1-k≥0，得k≤1,而當(dāng)k≤1時(shí)，f′(x)=ex-kx-1≥ex-x-1≥0，即f(x)在[0,+∞)上遞增，故fmin(x)=f(0)=1.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于?x∈[a,b],f(x)≥m，若f(a)=m，利用端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值滿足f′(m)≥0這一必要條件得出參數(shù)的范圍，然后說明這一范圍的充分性.這是端點(diǎn)效應(yīng).

三、分離參數(shù)

例5已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx(a≠0)在x=1處取得極值.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在(0,e]上的最大值為1，求a的值.

解(1)略

點(diǎn)評(píng)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值(最大值)為m(M)，即對(duì)于任意的x∈[a,b]，有f(x)≥m(f(x)≤M)成立，且存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=m(f(x0)=M)成立.將不等式f(x)≥m(f(x)≤M)分離參數(shù)得a≤g(x)(≥g(x))，則a=gmin(x)(gmax(x))，這樣可以完全避免分類討論，這是解決這類問題的一個(gè)很好的辦法.

具體解題中對(duì)于以上方法的選擇，我們可以先通過觀察函數(shù)f(x)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，看看是否滿足策略2中的一些條件，如果不滿足，則我們可以嘗試采用策略3的方法，當(dāng)然如果策略3中不容易分離參數(shù)或者分離后得到的函數(shù)很復(fù)雜，則我們也可以考慮直接求導(dǎo)分類討論來求解.