盧會(huì)玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

在直線與圓的綜合考查中，有時(shí)題設(shè)條件并沒(méi)有直接給出相關(guān)圓的信息，而是隱含在題目中，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓的方程或圓的定義，從而可以利用圓的知識(shí)來(lái)求解，這類問(wèn)題常被稱為“隱圓”問(wèn)題.此類問(wèn)題在高考中出現(xiàn)的頻率比較高，通過(guò)對(duì)以往考題的分析與研究，可以總結(jié)為如下的幾種題型.

一、利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡)可確定隱圓

題目中若已知到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)或者能求出到定點(diǎn)的距離為定常數(shù)，則可以得到點(diǎn)的軌跡為圓.

例已知圓O：x2+y2=1，圓M：(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得∠APB=60°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____．

解析由題意得,圓心M(a，a-4)在直線x-y-4=0上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)圓M是圓心在直線x-y-4=0上，半徑為1的圓.

又因?yàn)閳AM上存在點(diǎn)P，使經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使∠APB=60°，所以O(shè)P=2，即點(diǎn)P也在x2+y2=4上，記為圓E，則圓E與圓O一定由公共點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)本題由∠APB=60°，得到OP=2，可推出點(diǎn)P在x2+y2=4上，即發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在一個(gè)圓上，于是順利將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，進(jìn)而輕松求解.

二、利用圓的性質(zhì)(動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為直角)可確定隱圓

題目中若動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為直角，則可以得到點(diǎn)的軌跡為圓.

例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kx-y+2=0與直線l2：x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為____．

解法一直線l1，l2分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,2)，B(2,0)，且l1⊥l2，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上．

點(diǎn)評(píng)直接求出l1，l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)(用k表示)雖然也能做，但計(jì)算量較大．找出點(diǎn)P變化的規(guī)律性比較好．本題的解法一明顯好于解法二，可見發(fā)現(xiàn)“隱圓”的優(yōu)勢(shì)還是非常明顯的.

三、已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn) P 滿足為定值可確定隱圓

又因?yàn)閤2+y2=50，所以2x-y+5≤0.

點(diǎn)評(píng)利用坐標(biāo)法求點(diǎn)滿足的方程是解決這類問(wèn)題的常用方法．

四、已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn) P 滿足PA2+PB2為定值可確定隱圓

已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2為定值的軌跡是圓.

例如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A(-1,0)，B(1,2)．在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由.

圖1

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4，所以圓心C(2,0)，半徑為2.

假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P(x，y)，

則(x-2)2+y2=4，

又PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12，即x2+(y-1)2=4，是圓心為(0，1)，半徑為2的圓.

變式在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x+1)2+y2=2，點(diǎn)A(2,0)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2≤10，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是____．

點(diǎn)評(píng)利用坐標(biāo)法求點(diǎn)滿足的方程也是解決這類問(wèn)題的常用方法．

五、給定兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P 滿足AP=λBP(λ>0，λ≠1)的關(guān)系可確定隱圓

若給定兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=λBP(λ>0，λ≠1)的關(guān)系，則P點(diǎn)的軌跡為隱圓,我們稱為阿波羅尼斯圓.

圖2

解析設(shè)AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，則OM⊥PM，所以

點(diǎn)評(píng)阿波羅尼斯圓是常見考點(diǎn)，能對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力進(jìn)行深度考查，同時(shí)也應(yīng)用了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合、歸納類比、轉(zhuǎn)化化歸等思想．

六、利用軌跡法確定圓

所謂軌跡法就是通過(guò)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題目中所給的條件得到軌跡方程．常見求軌跡的方法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法．

例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1，0)，B(5，0)．若圓M：(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一點(diǎn)P，使得直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，則實(shí)數(shù)m的值為____．

由題意P的軌跡應(yīng)與圓M恰有一個(gè)適合題意的點(diǎn)，則：

例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為____．

圖3

點(diǎn)評(píng)求軌跡問(wèn)題要注意特殊點(diǎn)的判斷.

“隱圓”問(wèn)題的難點(diǎn)是通過(guò)對(duì)題目已知條件的分析，將問(wèn)題合理的轉(zhuǎn)化為圓，然后再利用圓的知識(shí)順理成章的解決.解題過(guò)程中要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)或一些簡(jiǎn)單的軌跡知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓或圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求解范圍等常見問(wèn)題.