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        解鎖 “隱圓”問(wèn)題

        2021-08-05 08:28:44盧會(huì)玉
        數(shù)理化解題研究 2021年16期

        盧會(huì)玉

        (甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

        在直線與圓的綜合考查中,有時(shí)題設(shè)條件并沒(méi)有直接給出相關(guān)圓的信息,而是隱含在題目中,要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)圓的方程或圓的定義,從而可以利用圓的知識(shí)來(lái)求解,這類問(wèn)題常被稱為“隱圓”問(wèn)題.此類問(wèn)題在高考中出現(xiàn)的頻率比較高,通過(guò)對(duì)以往考題的分析與研究,可以總結(jié)為如下的幾種題型.

        一、利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡)可確定隱圓

        題目中若已知到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)或者能求出到定點(diǎn)的距離為定常數(shù),則可以得到點(diǎn)的軌跡為圓.

        例已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,使得∠APB=60°,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____.

        解析由題意得,圓心M(a,a-4)在直線x-y-4=0上運(yùn)動(dòng),則動(dòng)圓M是圓心在直線x-y-4=0上,半徑為1的圓.

        又因?yàn)閳AM上存在點(diǎn)P,使經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,使∠APB=60°,所以O(shè)P=2,即點(diǎn)P也在x2+y2=4上,記為圓E,則圓E與圓O一定由公共點(diǎn).

        點(diǎn)評(píng)本題由∠APB=60°,得到OP=2,可推出點(diǎn)P在x2+y2=4上,即發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在一個(gè)圓上,于是順利將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,進(jìn)而輕松求解.

        二、利用圓的性質(zhì)(動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為直角)可確定隱圓

        題目中若動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為直角,則可以得到點(diǎn)的軌跡為圓.

        例在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí),點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為____.

        解法一直線l1,l2分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,2),B(2,0),且l1⊥l2,所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上.

        點(diǎn)評(píng)直接求出l1,l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)(用k表示)雖然也能做,但計(jì)算量較大.找出點(diǎn)P變化的規(guī)律性比較好.本題的解法一明顯好于解法二,可見發(fā)現(xiàn)“隱圓”的優(yōu)勢(shì)還是非常明顯的.

        三、已知兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn) P 滿足為定值可確定隱圓

        又因?yàn)閤2+y2=50,所以2x-y+5≤0.

        點(diǎn)評(píng)利用坐標(biāo)法求點(diǎn)滿足的方程是解決這類問(wèn)題的常用方法.

        四、已知兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn) P 滿足PA2+PB2為定值可確定隱圓

        已知兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2為定值的軌跡是圓.

        例如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點(diǎn)A(-1,0),B(1,2).在圓C上是否存在點(diǎn)P,使得PA2+PB2=12?若存在,求點(diǎn)P的個(gè)數(shù),若不存在,說(shuō)明理由.

        圖1

        解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4,所以圓心C(2,0),半徑為2.

        假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P,設(shè)P(x,y),

        則(x-2)2+y2=4,

        又PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+(y-1)2=4,是圓心為(0,1),半徑為2的圓.

        變式在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x+1)2+y2=2,點(diǎn)A(2,0),若圓C上存在點(diǎn)M,滿足MA2+MO2≤10,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是____.

        點(diǎn)評(píng)利用坐標(biāo)法求點(diǎn)滿足的方程也是解決這類問(wèn)題的常用方法.

        五、給定兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P 滿足AP=λBP(λ>0,λ≠1)的關(guān)系可確定隱圓

        若給定兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=λBP(λ>0,λ≠1)的關(guān)系,則P點(diǎn)的軌跡為隱圓,我們稱為阿波羅尼斯圓.

        圖2

        解析設(shè)AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則OM⊥PM,所以

        點(diǎn)評(píng)阿波羅尼斯圓是常見考點(diǎn),能對(duì)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力進(jìn)行深度考查,同時(shí)也應(yīng)用了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合、歸納類比、轉(zhuǎn)化化歸等思想.

        六、利用軌跡法確定圓

        所謂軌跡法就是通過(guò)設(shè)點(diǎn),根據(jù)題目中所給的條件得到軌跡方程.常見求軌跡的方法有:直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法.

        例在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(5,0).若圓M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一點(diǎn)P,使得直線PA,PB在y軸上的截距之積為5,則實(shí)數(shù)m的值為____.

        由題意P的軌跡應(yīng)與圓M恰有一個(gè)適合題意的點(diǎn),則:

        例在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),且AB⊥AC,則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為____.

        圖3

        點(diǎn)評(píng)求軌跡問(wèn)題要注意特殊點(diǎn)的判斷.

        “隱圓”問(wèn)題的難點(diǎn)是通過(guò)對(duì)題目已知條件的分析,將問(wèn)題合理的轉(zhuǎn)化為圓,然后再利用圓的知識(shí)順理成章的解決.解題過(guò)程中要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)或一些簡(jiǎn)單的軌跡知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓或圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求解范圍等常見問(wèn)題.

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