摘要：對數學知識的深度理解是數學學習的永恒追求。在“做數學”中獲得豐富的表征方式，可以幫助學生深度理解數及計數法;在“做數學”中經歷圖形的構造過程，可以幫助學生深度理解圖形性質;在“做數學”中明晰運算的原理，可以幫助學生深度理解運算法則;在“做數學” 中直觀感知數學概念的要義，可以幫助學生深度理解抽象的數學概念。

關鍵詞：“做數學”;計數法;圖形性質;運算法則;數學概念

就數學學習而言，是否理解數學知識以及理解到何種程度，無疑是至關重要的。在數學學習過程中，學生所運用的學習素材，所采用的學習方式，所經歷的學習過程，所進行的數學思考，都在一定程度上決定了其對數學知識的理解深度。“做數學”是學生運用材料和工具，在動手動腦相協(xié)同的過程中，通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動，理解數學知識、探究數學規(guī)律、解決問題的一種數學學習方式，是發(fā)展數學核心素養(yǎng)、實現數學學科育人的一種范式②?！白鰯祵W”的過程， 豐富了知識的表征方式，還原了知識的產生過程， 觸及了知識的基本原理，為抽象的數學知識直觀化、可視化創(chuàng)造了條件，成為促進學生深度理解數學知識的一條重要路徑。

一、在“做數學”中豐富表征方式，深度理解數及計數法

對數學知識的理解，需要避免簡單記憶和機械運用，重要的是通過多樣而準確的表征方式，豐富知識的外延，指向知識的內涵。“做數學”的過程必然伴隨著對數學材料或數學工具的操作，數學材料、工具的豐富性與典型性，以及操作過程中學生多樣化和個性化的操作結果，為豐富知識的表征方式提供了可能。

以認識自然數為例，基于小學生以動作和表象為主要特征的表征方式，緊扣抽象出數和掌握十進位值制計數法這兩個關鍵環(huán)節(jié)，讓學生經歷“做數學”的過程，幫助學生實現對數及計數法的深度理解。

認識自然數是學生學習數學的起點，也是數學知識體系基礎中的基礎：不僅是后續(xù)學習數學知識的基礎，其中抽象出數的過程所蘊含的數學思想方法以及由此所獲得的數學活動經驗，同樣構成了后續(xù)學習的基礎。

史寧中教授認為，數量是對現實生活中事物量的抽象，數是對數量的抽象，對應是實現這種抽象的方法之一，也是適合小學生認知水平的方法①。怎樣引導學生運用對應的方法逐步抽象出數？ 可以設計如下“做數學”的過程：第一步，從實際場景中分離出計數對象;第二步，用小棒一一對應地表達數數的過程;第三步，觀察擺出的小棒， 將同樣的情況歸類;第四步，判斷生活場景中還會有哪些物體也可以用同樣的小棒表示;第五步，對照小棒的多少，嘗試用同一數字符號表示。上述過程大致如圖1所示。

上述活動的關鍵在于，在符號化之前，通過“做”的過程對“對應”形成了真切而具體的體驗， 同時感知了數的豐富表征。這樣，學生對數概念的理解就不會停留在機械地數數，更不會只是抽象地讀數和寫數，而是賦予了數現實的意義，體會到數與現實之間的緊密聯(lián)系。進一步地，為了豐富學生對10 以內數的結構的認識，我們還可以讓學生運用如圖2所示的特定計數工具來表示數， 讓學生體會同一個數的不同表征方式，進而幫助學生形成良好的數感。

對于十進位值制計數法的理解，可以借助計數器的操作來實現。計數器作為半抽象的表征工具，可以很好地幫助學生由具體過渡到抽象，或解釋抽象的數所表示的具體含義。利用計數器實現對計數法的深度理解，其中具有典型意義的是以下兩個操作過程：

一是從方塊（小棒）的具體表征，過渡到計數器的半抽象表征。其價值在于，從方塊（小棒）計數過渡到計數器計數時，引入數位概念，并在對應數位上用幾粒算珠表示幾個十（百、千……）， 這就為學生搭建了一個半抽象的橋梁，從而在“做數學”的過程中直觀地感知位值計數。其過程如圖3所示。

二是利用計數器體會“滿十進一”。對于“滿十進一”的理解，較為典型的操作過程是：在計數器上表示出999 后，如果繼續(xù)添上1，如何從個位撥起，逐步向前一位進一，最后拓展出千位，并表示出1000 。其操作過程如圖4所示。

上述過程，一方面豐富了數的表征方式，另一方面通過計數器等具有半抽象特性的工具操作，?在“做數學”的過程中，讓靜態(tài)的數學知識得到動態(tài)的呈現。這樣的過程，有助于學生對數及計數法的深度理解。

二、在“做數學”中經歷構造過程，深度理解圖形性質

理解并掌握圖形的性質是認識圖形的核心內容。對圖形性質的認識并不是僅基于圖形的定義進行推理的結果，更重要的是從圖形本身出發(fā)所獲得的發(fā)現。這種發(fā)現的過程可以設計成“做數學”的過程，讓學生通過構造圖形發(fā)現有關圖形的特征。這種發(fā)現有助于學生對圖形性質的深度理解。例如，對于三角形而言，任“意兩邊之和大于第三邊”是其重要的特性。為了幫助學生在自主探索中獲得相關的發(fā)現，可以設計如下的“做數學”過程：

（1）提出數學問題：任意選取三根小棒，能圍成一個三角形嗎？

（2）通過對具體材料的操作， ?確定研究對象：嘗試從長度分別為8厘米、5厘米、4厘米、2厘米的四根小棒中，任選三根圍三角形。

（3）對操作產生的結果進行初步的觀察并分成兩類：不能圍成三角形的與能圍成三角形的。

（4）對比、歸納并獲得初步的發(fā)現，產生猜想： 從小棒長度的關系出發(fā)，分析研究不能圍成三角形的原因以及能圍成三角形的規(guī)律。

（5）重復實驗， 驗證猜想： 測畫任意的三角形， 量驗證其三條邊之間的關系。

（6）探究原理： 為什么三角形任意兩邊長度的和大于第三邊？

（7）得出結論。

顯然，上述過程是一個在“做”中發(fā)現的過程， “做”中產生的現象構成了直觀的分析對象，讓學生的數學思考有所依托，也為后續(xù)數學原理的探究奠定了基礎。有了上述過程，學生對三角形的抽象特性就有了具體而深刻的理解。

再如，對于四邊形與其對角線的關系，同樣可以通過構造圖形的過程，讓學生自主發(fā)現：第一步，通過實際操作，分析作為四邊形對角線的兩條線段相交的各種情況（如圖5）; 第二步，對是否平分、是否垂直、是否相等進行分類研究，提出初步的猜想;第三步，通過對材料的具體操作初步驗證猜想;第四步，嘗試給出嚴格的證明。

上述“做數學”的過程，實質是讓學生在“做” 中發(fā)現，“做”的素材與“做”的過程，成為學生進行數學思考的基礎。正是經歷了“做”后的猜想、驗證、發(fā)現的過程，學生實現了對圖形性質的深度理解。

三、在“做數學”中明晰運算原理，深度理解運算法則

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出：?在“基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。”①數學運算雖然最終表現為一個程序化的操作過程，但程序的形成及其選擇需要建立在對運算的理解基礎上。這種理解，不僅有助于學生在進一步運用算法的過程中進行自我監(jiān)控，從而提高算法形成的質量，也有助于學生在追問原理的過程中形成初步的理性精神。

以多位數除法的筆算為例。學生在列豎式計算時，從高位算起的運算順序，與先前學習整數加法、減法、乘法時從個位算起完全不同。是告知學生按規(guī)定必須如此去做，還是讓學生在理解除法運算基本原理的基礎上，自主作出從高位算起的選擇？ 顯然，無論是著眼于數學知識教育價值的實現，還是著眼于學生數學素養(yǎng)的培養(yǎng)，都應該選擇后者。通過操作表征具體數量的小棒（方塊）學具，探索平均分的具體方法，讓學生經歷“做數學” 的過程，幫助學生建立運算過程的表象，從而為進一步理解并掌握較為抽象的算法奠定基礎。

比如，對于非表內除法的兩位數除以一位數， 可以讓學生用分小棒（方塊）的方法分別探索"46÷2"“52÷2”“52÷4”的算法，逐步理解除法筆算算法的基本原理以及運算程序的合理性。探索“46÷2”的算法是第一層次。主要是讓學生體會將46 平均分成2份，要有步驟地將組成數的每一部分平均分：可以先分4個十，再分6個一;也可以先分6個一，再分4個十。探索“52÷2”的算法則構成了第二層次。在繼續(xù)嘗試應用前述兩種分法時，重點探索十位上平均分成2份后余下的1 個十如何處理：先分5個十，再將余下的1個十與2個一合并后再分;先分2個一，再分5個十，其中1個十需要打散再分。由此，學生初步體會到兩種分法的優(yōu)劣。探索“52÷4的”算法則進入第三層次。學生在操作時體會到，從個位上分起有時無法進行，從十位上分起適合各種類型的除法，從而在比較中自主得出：兩位數除以一位數一般從十位上除起。最后，讓學生用除法豎式表示每一步分的過程，除法筆算的程序由此自然產生。

上述過程的實質是讓抽象的思維過程變得清晰可見，歷經從實物操作到表象操作再到符號操作的過程，契合了學生的年齡心理特征，實現了學生對運算法則的深度理解。

再以隔位退位減為例。退位減法是整數、小數減法計算的難點之一，而隔位退位減又是難點中的難點。所謂“隔位退位減”，是指形如204-108 這樣的減法，列豎式筆算時，個位上不夠減，需從十位上借“1當”十，而十位上是0，則需從百位上借“1”至十位當十，再在其中借“1”至個位。這一過程對于學生而言，不僅理解有困難，實際計算時033也比較容易出錯。借助計數器，通過撥珠的過程， 可以幫助學生理解算理，也有利于學生從中提煉出具體的計算方法。

比如，對于204-108，具體相減時，從高位上借“”的過程如圖6所示。隨后豎式計算的過程，則可以視作這一過程的符號化操作。

正是有了前述直觀的操作過程，抽象的符號化過程就有了依托，學生在書寫豎式時，頭腦中如動畫般逐步閃過上述過程，實現了對算理的深度理解，有效化解了計算難點。

此外，分數乘分數的計算過程相對比較簡單， 但其算理理解卻并不容易。借助折紙表示相應分數乘法意義的過程，是幫助學生理解算理的有效辦法?？梢詮姆謹祮挝幌喑碎_始，逐步過渡到任意分數相乘。具體過程如圖7所示。這樣的過程，讓學生借助分數乘法計算過程的清晰表征，逐步理解分數與分數相乘為什么可以用分母相乘做分母、分子相乘做分子。

可見，“做數學”過程中的操作體驗，以及對操作材料的具體感知，為學生的數學思考提供了豐富的素材支撐：一方面，學生通過形象直觀的素材和具體清晰的操作過程，理解了運算的算理;另一方面，理解算理時所經歷的“做數學”過程，也為后續(xù)怎樣具體計算，即運算法則的形成提供了有效的支撐。這樣的過程，給原本枯燥的、按部就班的計算過程賦予了意義，讓學生既實現了對運算法則的深度理解，也體會到數學的嚴謹與理性。

四、在“做數學”中直觀感知要義，深度理解數學概念

早在20 世紀90 年代，陳重穆先生就提出“淡化形式，注重實質”的主張，并得到了數學教育界的廣泛響應。他指出：“概念要靠直觀演示、具體操作，使學生領悟。要通過學生實際去‘做，具體去‘用，形成實惠，加深領悟，才能逐步掌握。”① “做數學”的過程，往往就是這種“做”和“用”的過程，通過精心設計的實驗工具，幫助學生在操作活動中，直觀地感知數學概念的要義，從而觸及數學概念的本質。

以函數概念為例。學生從初中到高中學習了很多函數知識，高中教材也相應給出了由“非空集合、對應法則、定義域、值域”等要素組成的函數定義，但學生從中卻未必能深刻理解“對應”與“變化”的思想內涵。對此，可以專門設計實驗工具“函數發(fā)生器”，讓學生在操作活動中直觀感知“對應”與“變化”的要義。

“函數發(fā)生器”，可以是借助計算機技術設計的簡單程序，也可以是利用相關材料制作的有模擬輸入、輸出端口的實物工具。具體操作時，從輸入端口具體輸入一個數（數字卡片）， 在輸出端口就會產生一個對應的數（數字卡片）。如此反復， 學生進一步體會到輸入和輸出之間存在著對應關系，并且這種對應關系符合某一法則。與此同時， 隨著輸入的變化，輸出也在相應變化。具體如圖8 所示。

這樣，抽象的“對應”與“變化”便以直觀的形式呈現在學生面前。這種直觀，給學生留下的印象正是函數的實質。運用這樣的工具，即便是小學生，也可以通過“做數學”的過程，體驗到“對應” 與“變化”的思想，只不過暫時不必給出函數的概念。

與此相類似的是數學歸納法的學習?？梢越柚岸嗝字Z骨牌”來理解其要義：通過“第一張骨牌倒下”和“任意一張骨牌倒下都會導致其后續(xù)一張倒下”這兩個事件發(fā)生會導致“所有骨牌倒下”事件的發(fā)生，直觀理解由“n=1時命題成立”和“假設n=m時命題成立，可以推導出n=m+1 時命題成立”，獲得“命題對于所有正整數都成立”的結論。

抽象如函數與數學歸納法，可以通過“做數學”實現對概念要義的直觀感知。而小學數學中某些貌似簡單的概念，也可以借助“做數學”直觀理解其形式背后的實質。

例如，對于公倍數和公因數，雖說用“兩個數公有的倍數（因數）是它們的公倍數（公因數）即”可準確描述概念，但其實這并沒有反映出概念的實際意義及其背后的實質。

對此，可以設計一個用小長方形去鋪正方形的活動（過程如圖9所示）， 讓學生在操作活動中體會長方形的長和寬與能否正好鋪滿的正方形的邊長的關系，從而通過幾何直觀感知公倍數的現實意義。

與此類似，可以設計一個用小正方形去鋪長方形的活動（過程如圖10所示），讓學生在操作活動中體會正方形的邊長與能否正好鋪滿的長方形的長和寬的關系，從而通過幾何直觀感知公因數的現實意義。

用文字或符號來描述一個數學概念，是數學教學中的常見做法。但如果僅就此描述，只從字面上作出解釋，則難免停留于形式而不能觸及本質。通過“做數學”的方式展開學習過程，借助典型的數學材料以及對材料的有序操作，讓抽象的概念直觀化、隱形的思維可視化，可有效幫助學生直觀感知概念的要義，實現對數學概念的深度理解。

五、結語

數及計數法、圖形的性質、運算法則以及一些重要的數學概念，雖非數學的全部內容，但毫無疑問都是數學的核心內容。正是經由“做數學”的過程，實現了學生對這些數學核心內容的深度理解。由此，我們可以看到“做數學”的一般路徑及其在促進數學理解方面的獨特價值。我們還可以看到，無論是從指向數學知識實質的角度，還是從符合兒童認知發(fā)展特點的角度，乃至從學生數學素養(yǎng)發(fā)展的角度，“做數學”對數學教學實踐而言都具有重要的意義。

（郭慶松，江蘇省中小學教學研究室。江蘇省教育學會小學數學專業(yè)委員會秘書長。研究方向：小學數學課程、教學、評價等。）