宋萌萌 周前紅 孫強(qiáng) 張含天 楊薇 董燁

1) (北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所, 北京 100094)

2) (中國(guó)工程物理研究院研究生院, 北京 100088)

電子輸運(yùn)系數(shù)是確保低溫等離子體建模準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素, 通過模擬電子的輸運(yùn)過程可對(duì)其數(shù)值求解.在模擬電子輸運(yùn)時(shí), 電子和中性粒子碰撞后的散射和能量分配方式有多種處理方法.為了研究不同處理方法對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的影響, 本文基于蒙特卡羅碰撞方法, 建立了電子輸運(yùn)系數(shù)的計(jì)算模型, 模擬約化電場(chǎng)10—1000 Td (1 Td = 10–21 V·m2)氫原子氣中的電子輸運(yùn)過程.計(jì)算結(jié)果表明, 各向同性假設(shè)對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的影響隨電場(chǎng)強(qiáng)度增加而增加, 但即使對(duì)于較低的約化電場(chǎng)(10 Td), 各向異性散射假設(shè)下電子的平均能量、通量遷移率和通量擴(kuò)散系數(shù)也分別比各向同性假設(shè)下的值高38.34%, 17.38%和119.18%.不同的能量分配方式對(duì)中高電場(chǎng)強(qiáng)度下(> 200 Td)的電子輸運(yùn)系數(shù)影響較為顯著.在高電場(chǎng)時(shí), 均分法計(jì)算得出的電子平均能量、通量遷移率和通量擴(kuò)散系數(shù)均小于零分法對(duì)應(yīng)的值, 湯森電離系數(shù)則相反.Opal法得出的電子輸運(yùn)系數(shù)介于均分法和零分法之間.此外, 考慮各向異性散射時(shí), 不同能量分配方式對(duì)輸運(yùn)系數(shù)的影響高于各向同性.本研究表明, 在計(jì)算電子輸運(yùn)系數(shù)時(shí)需要考慮各向異性的電子散射, 高電場(chǎng)條件下尤其要注意能量分配方式的選擇.

1 引 言

外加電場(chǎng)作用下, 非平衡等離子體中的電子輸運(yùn)在低溫等離子體領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1].研究電子的輸運(yùn)特性對(duì)理解湯森、輝光以及流注等放電過程至關(guān)重要[2], 而精確的電子輸運(yùn)系數(shù)對(duì)控制等離子體刻蝕、離子源和電推進(jìn)中放電參數(shù)的設(shè)置及進(jìn)一步優(yōu)化有深遠(yuǎn)的意義[3], 同時(shí)也是保證低溫等離子體建模準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素[4].目前, 獲取電子輸運(yùn)系數(shù)的方式通常有三種: 一是實(shí)驗(yàn)測(cè)量法[5]; 二是基于球諧展開的兩項(xiàng)近似直接求解電子玻爾茲曼方程[6](兩項(xiàng)近似法); 三是跟蹤電子運(yùn)動(dòng)及其與中性粒子碰撞的蒙特卡羅法[7](MCC法).已有的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)主要在較低電場(chǎng)條件下獲得[8], 使用中有一定的局限性.兩項(xiàng)近似法具有計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn), 但需要假設(shè)電子速度分布滿足各向同性[6], 當(dāng)高電場(chǎng)導(dǎo)致電子速度分布呈各向異性時(shí), 該方法計(jì)算得到的電子輸運(yùn)系數(shù)有較大的誤差[9].MCC法由于需要模擬大量粒子, 計(jì)算效率相對(duì)較低, 但是無需對(duì)電子速度分布做限制, 能較為真實(shí)地反映電子的輸運(yùn)過程[10], 在高電場(chǎng)強(qiáng)度下求解電子輸運(yùn)系數(shù)時(shí)有精度高的優(yōu)勢(shì).

在研究低溫等離子體中的電子輸運(yùn)時(shí), 電子和中性粒子碰撞后的散射有各向同性和各向異性兩種計(jì)算方式.當(dāng)電子能量較低時(shí), 往往直接將其散射近似為各向同性[11?14], 但隨著電子能量增高, 各向異性散射的影響逐漸增強(qiáng).Phelps等[15]研究了氮?dú)庵须娮痈飨虍愋陨⑸鋵?duì)輸運(yùn)系數(shù)的影響, 發(fā)現(xiàn)當(dāng)約化電場(chǎng)大于500 Td (1 Td = 10–21V·m2)時(shí),各向異性散射會(huì)導(dǎo)致輸運(yùn)系數(shù)的值約有10%的差異.Janssen等[16]和Yang等[17]基于MCC法, 求解約化電場(chǎng)1000 Td時(shí)氬氣中的電子輸運(yùn)系數(shù),結(jié)果表明在電子-氬原子的彈性碰撞中考慮各向異性的電子散射會(huì)使電子輸運(yùn)系數(shù)高于各向同性條件下的值, 但他們的工作中均未涉及電離碰撞中電子各向異性散射影響的研究.

除了電子散射, 電離碰撞后二次電子和散射電子間的能量分配也會(huì)對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)帶來影響.能量分配方式主要有均分法、零分法(二次電子能量為0)[6,7]和Opal法[18].不同的分配方式不但決定了電子能量的大小, 而且當(dāng)電子散射為各向異性時(shí)也會(huì)改變其散射角[19].孫安邦等[14]在約化電場(chǎng)0.1—500 Td內(nèi), 使用均分法和Opal法計(jì)算氮?dú)庵械碾娮虞斶\(yùn)系數(shù), 發(fā)現(xiàn)兩種分配方式下的結(jié)果相差不大.然而Yoshida等[20]以及Tzeng和Kunhardt[21]在較高的約化電場(chǎng)內(nèi)(分別為100—3000 Td和300—1500 Td), 研究了能量分配方式對(duì)氮?dú)庵须娮虞斶\(yùn)系數(shù)的影響, 均表明不同能量分配方式下計(jì)算出的電子輸運(yùn)系數(shù)有較大的差異.

針對(duì)上述電子輸運(yùn)系數(shù)計(jì)算工作中的不足, 特別是考慮不同電子散射以及能量分配方式相關(guān)研究的缺失甚至矛盾, 本文基于MCC方法建立了電子輸運(yùn)系數(shù)的計(jì)算模型, 獲得了約化電場(chǎng)強(qiáng)度10—1000 Td條件下氫原子氣體中的電子能量分布函數(shù)(EEDF), 通量遷移率(μf)、通量擴(kuò)散系數(shù)(Df)和湯森電離系數(shù)(α).分別比較了電子散射和能量分配方式對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的影響.

2 計(jì)算模型

2.1 電子運(yùn)動(dòng)

電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)遵循牛頓方程, 在時(shí)間步長(zhǎng) ?t內(nèi), 其位置和速度變化滿足以下關(guān)系:

式中rk和vk分別代表電子運(yùn)動(dòng)k個(gè)時(shí)間步后的位置和速度,e為電子電荷,me為電子質(zhì)量,E為電場(chǎng).

2.2 電子和中性粒子的碰撞

在等離子體中, 電子和中性粒子間相互作用時(shí), 主要發(fā)生彈性、激發(fā)和電離三種類型的碰撞.根據(jù)蒙特卡羅碰撞模型[19], 兩粒子發(fā)生碰撞的概率P可表示為:

其中ν為碰撞頻率,σ為碰撞截面,n0為中性粒子的密度,u為電子和中性粒子的相對(duì)速度, 時(shí)間步長(zhǎng) ?t滿足ν?t<0.1.給定隨機(jī)數(shù)R1∈[0,1] , 當(dāng)R1

作為非守恒碰撞, 激發(fā)和電離過程中的能量損失有相似的特性, 這里忽略激發(fā)碰撞的因素, 只考慮電子和氫原子的彈性及電離兩種碰撞.

2.2.1 彈性碰撞

對(duì)于電子和中性粒子的彈性碰撞, 碰撞后電子的能量損失 ?ε可表示為[22]

式中M為中性粒子的質(zhì)量,ε為入射電子的能量.由于me?M, 計(jì)算時(shí)可以認(rèn)為電子是理想彈性碰撞, 即碰撞前后能量保持不變, 只是方向發(fā)生變化.

根據(jù)對(duì)稱性, 碰撞后電子的方位角?均勻分布于 [0,2π] , 可通過 [0,1] 內(nèi) 的隨機(jī)數(shù)R2表示:

而電子的散射角χ依賴于微分碰撞截面I(ε,χ)的大小.根據(jù)庫(kù)侖屏蔽勢(shì)形式的相似性,I(ε,χ) 近似滿足以下關(guān)系[23]:

式中ε的單位為eV.

電子散射角為χ時(shí)的碰撞截面σχ(ε) 通過以下公式表示:

該碰撞截面與總碰撞截面σ的關(guān)系可通過 [0,1] 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)R3表示[23]:

將(5)式代入(7)式中, 得到電子的散射角滿足以下關(guān)系[19]:

若假定電子散射為各向同性, (5)式變?yōu)镮(ε,χ)/σ=1/(4π), 將其代入(7)式中便得到各向同性時(shí)的散射角:

2.2.2 電離碰撞

電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)并獲得能量, 當(dāng)其能量大于中性粒子的電離能時(shí)有一定的概率發(fā)生電離碰撞,并產(chǎn)生二次電子:

電離碰撞中的能量滿足以下守恒關(guān)系:

式中εscat、εej和εinc分別代表散射電子、二次電子以及入射電子的能量,εn和εi分別代表中性粒子和電離所產(chǎn)生離子的能量,εion為電離能.

考慮到電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子和中性粒子, 電離碰撞中產(chǎn)生的離子與中性粒子的能量近似相等, 因此(11)式可以簡(jiǎn)化為

當(dāng)發(fā)生電離碰撞時(shí), 系統(tǒng)損失的能量等于中性粒子的電離能.電離后剩余的能量在二次電子和散射電子間的分配方式通常有三種方法, 第一種是散射電子能量和二次電子能量平均分配電離后剩余的能量(均分法):

第二種將電離后剩余的能量全部分配給散射電子,而二次電子的能量為0 (零分法).第三種根據(jù)Opal[18]中的計(jì)算關(guān)系求得(Opal法), 即二次電子能量滿足:

式 中B(εinc) 為能量分配系數(shù),R4為 [0,1] 內(nèi) 的 隨機(jī)數(shù).

電離碰撞后電子的散射角可通過(5)式進(jìn)行求解[23], 方位角仍用(4)式表示.

2.3 電子輸運(yùn)系數(shù)計(jì)算

EEDF決定了電子輸運(yùn)系數(shù)的值, 在研究電子輸運(yùn)特性中有重要作用[24], 其值可通過以下關(guān)系求得:

式中f(ε) 為EEDF,p(ε) 為電子能量概率函數(shù)(EEPF), 由 dε內(nèi)電子數(shù) dNe和總電子數(shù)Ne之比確定:

電子的平均能量、遷移率、擴(kuò)散系數(shù)以及湯森電離系數(shù)由穩(wěn)態(tài)后電子的位置、速度和電子個(gè)數(shù)共同決定.

電子的平均能量為

電子的體遷移率可通過電子群質(zhì)心位置隨時(shí)間的變化表示:

式中E為外加電場(chǎng)的大小, 其方向固定.

體擴(kuò)散系數(shù)為

類似地, 電子的通量遷移率及其擴(kuò)散系數(shù)分別為

式中r和v為電子沿電場(chǎng)方向的位置和速度.

電子的體遷移率表示在外部電場(chǎng)作用下, 電子群平均位置的變化.而通量遷移率則表示電子質(zhì)心位置隨時(shí)間的變化率, 二者滿足以下關(guān)系:

式中S1和S2為非守恒碰撞效應(yīng).在非守恒碰撞效應(yīng)比較弱時(shí), 體輸運(yùn)系數(shù)和通量輸運(yùn)系數(shù)具有相似的值.但在高電場(chǎng)下, 當(dāng)電離碰撞等其他非守恒碰撞占優(yōu)時(shí), 兩者有較大的區(qū)別[17].

湯森電離系數(shù)由空間電子個(gè)數(shù)隨時(shí)間的變化計(jì)算求得, 有非固定電子個(gè)數(shù)和固定電子數(shù)兩種方法[7].

對(duì)于非固定電子數(shù)的方法, 電離系數(shù)可直接由電子個(gè)數(shù)的增長(zhǎng)率得到:

式 中Ne(t1) 和Ne(t2) 分 別 代 表t1,t2時(shí)刻的電子數(shù)目.

固定電子數(shù)法以電離碰撞中隨機(jī)注入一個(gè)電子, 而吸附碰撞中隨機(jī)移除一個(gè)電子的方式來維持模擬中電子總數(shù)目的恒定.此時(shí)電離系數(shù)可通過平均電離頻率和吸附頻率計(jì)算求得:

式中和分別代表t時(shí)刻的電離頻率和吸附頻率.兩種方法對(duì)電離系數(shù)的計(jì)算結(jié)果影響不大[7].

MCC方法模擬中由于模擬粒子數(shù)有限等原因存在一定的噪聲, 穩(wěn)態(tài)后電子輸運(yùn)系數(shù)的值會(huì)在各自的平衡位置附近波動(dòng).本文系統(tǒng)達(dá)穩(wěn)態(tài)的判據(jù)是當(dāng)電子的平均能量梯度沒有明顯變化且小數(shù)點(diǎn)后兩位保持不變[7,25].

2.4 模擬參數(shù)設(shè)置

設(shè)置背景氫原子氣體的壓強(qiáng)為105Pa, 溫度為293.15 K.忽略空間電荷對(duì)場(chǎng)的影響, 約化電場(chǎng)(E/n0,n0為氫原子氣體密度)范圍為10—1000 Td.模擬時(shí)間步長(zhǎng) ?t=5×10?14s , 電子初始能量為1 eV, 速度滿足麥克斯韋分布.使用非固定電子個(gè)數(shù)的方法, 初始時(shí)刻模擬電子個(gè)數(shù)為50000.電子散射有各向同性和各向異性兩種, 能量分配有均分法、零分法和Opal法三種, 其中Opal法中的能量分配系數(shù)近似取B= 8 eV[26].電子和氫原子彈性和電離碰撞中電子散射采用相同方式, 碰撞的截面數(shù)據(jù)從IAEA數(shù)據(jù)庫(kù)[27]中獲得, 如圖1所示.

圖1 電子與氫原子彈性和電離碰撞的截面數(shù)據(jù)Fig.1.Elastic and ionization cross sections between electron and hydrogen atoms.

3 模擬結(jié)果分析

3.1 MCC模型和BOLSIG+軟件結(jié)果對(duì)比

BOLSIG+軟件[28]基于兩項(xiàng)近似法求解電子玻爾茲曼方程, 是一種廣泛使用的電子輸運(yùn)系數(shù)求解工具.在MCC模型中設(shè)置電子散射為各向同性, 并在BOLSIG+軟件使用與之相同的截面數(shù)據(jù)和能量分配方式(均分法).對(duì)比二者計(jì)算得出的電子能量分布函數(shù)及輸運(yùn)系數(shù), 來檢驗(yàn)本模型的準(zhǔn)確性.

本模型和BOLSIG+軟件在約化電場(chǎng)為10,100, 500和1000 Td時(shí)的電子能量分布函數(shù)如圖2所示.隨著電場(chǎng)增大, 高能電子的概率隨之增加,曲線整體向右平移.在約化電場(chǎng)為10和100 Td時(shí), 二者得到的電子能量分布函數(shù)整體符合, 當(dāng)約化電場(chǎng)增大到500 Td后, 則呈現(xiàn)出較大差異.在高能尾部, 本模型對(duì)應(yīng)的EEDF有一定的波動(dòng), 這是MCC方法模擬中粒子數(shù)目有限, 對(duì)高能電子取樣不足所致.由于波動(dòng)出現(xiàn)在EEDF量級(jí)很小的地方, 因此對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的計(jì)算影響不大.

圖2 MCC模型和BOLSIG+軟件在約化電場(chǎng)為10, 20,100和1000 Td計(jì)算出的EEDF對(duì)比(電子散射各向同性,能量均分).實(shí)線和虛線分別代表MCC模型和BOLSIG+軟件的計(jì)算結(jié)果Fig.2.Comparison of EEDF calculated by MCC model and BOLSIG+ software with isotropic scattering and equally energy partition under the reduced fields of 10, 20, 100 and 1000 Td.Dashed lines from MCC, and solid lines from BOLSIG+ software.

電子平均能量、電離系數(shù)、通量遷移率和通量擴(kuò)散系數(shù)如圖3所示.可以看出, 電子的平均能量、通量遷移率和通量擴(kuò)散系數(shù)與電場(chǎng)正相關(guān), 而電離系數(shù)隨著電場(chǎng)增加, 呈先增后減的變化趨勢(shì).原因是當(dāng)電場(chǎng)增強(qiáng)時(shí), 電子獲得更多能量, 沿電場(chǎng)方向速度增加, 遷移率和擴(kuò)散系數(shù)變大.而當(dāng)電子能量很大時(shí), 電離碰撞截面變小(如圖1), 導(dǎo)致電離碰撞概率降低, 因此在高電場(chǎng)下電離系數(shù)減小.對(duì)比圖2在約化電場(chǎng)小于200 Td時(shí), 兩種方法的計(jì)算結(jié)果相符合.隨著電場(chǎng)增加, 二者差距逐漸增大.當(dāng)約化電場(chǎng)為1000 Td時(shí), 本模型計(jì)算的湯森電離系數(shù)比BOLSIG+軟件計(jì)算的結(jié)果低12.83%,而通量遷移率、電子平均能量和擴(kuò)散系數(shù)則分別高7.57%, 12.28%和86.04%.高電場(chǎng)下的差異是由于電子速度分布呈強(qiáng)烈的各向異性, 兩項(xiàng)近似的有效性不再滿足, 導(dǎo)致BOLSIG+軟件的計(jì)算結(jié)果有很大誤差[9].文獻(xiàn)[4]中, 當(dāng)約化電場(chǎng)大于200 Td后, 也表明兩項(xiàng)近似計(jì)算得到的電子通量遷移率和通量擴(kuò)散系數(shù)偏小, 與圖3(b)和圖3(d)顯示的結(jié)果一致.

圖3 MCC模型和BOLSIG+軟件計(jì)算出的電子輸運(yùn)系數(shù)對(duì)比(電子散射各向同性, 均分法) (a)電子平均能量; (b)電離系數(shù);(c)橫向擴(kuò)散系數(shù); (d)遷移系數(shù).橙色實(shí)線和綠色虛線分別為使用BOLSIG+軟件和MCC法計(jì)算的結(jié)果Fig.3.Comparison of electron transport coefficients calculated by MCC model and BOLSIG+ software with isotropic scattering and equally energy partition: (a) Mean energy; (b)Townsend ionization coefficients; (c) flux diffusion coefficients; (d) flux mobility.Dashed-orange lines from MCC, and solid-green lines from BOLSIG+ software.

3.2 電子散射對(duì)輸運(yùn)系數(shù)的影響

當(dāng)電子能量很高時(shí)其散射呈強(qiáng)烈的各向異性,隨著電子能量降低逐漸趨于各向同性[23].為了研究不同電子散射對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的影響, 根據(jù)2.4節(jié)的模擬參數(shù), 采用Opal分配方式, 依次設(shè)置電子散射為各向同性和各向異性, 模擬電子的輸運(yùn)過程.

統(tǒng)計(jì)約化電場(chǎng)10, 20和100 Td時(shí)的EEDF和電子沿電場(chǎng)方向速度(vz)的概率函數(shù)(EVPF,由 dvz內(nèi)的電子個(gè)數(shù) dNz和總電子數(shù)Ne之比dNz/(Nedvz) 來確定), 如圖4所示.圖4(a)是兩種散射方式下的EEDF, 對(duì)高能量區(qū)域的電子, 在10, 20和100 Td時(shí), 各向異性散射條件下的EEDF均高于各向同性.圖4(b)是電子沿電場(chǎng)方向速度的概率分布函數(shù), 近似滿足高斯分布.對(duì)比同電場(chǎng)下不同散射方式的EVPF, 可以發(fā)現(xiàn)考慮各向異性散射在高電子速度的概率更大.在約化電場(chǎng)為100 Td時(shí), EVPF已開始偏離高斯分布, 因而此時(shí)的電子速度分布函數(shù)不再滿足各向同性, 這也說明了兩項(xiàng)近似法僅適用低電場(chǎng)的求解.

由圖4可知, 即使在低電場(chǎng)下, 不同電子散射方式對(duì)電子能量分布函數(shù)和速度概率函數(shù)均有一定的影響, 因此各向同性的假設(shè)會(huì)造成電子輸運(yùn)系數(shù)的計(jì)算誤差.

圖4 不同散射條件下電子能量分布函數(shù)和沿電場(chǎng)方向的速度概率函數(shù)在約化電場(chǎng)為10, 20和100 Td時(shí)的值 (a)電子能量分布函數(shù); (b)沿電場(chǎng)方向電子速度概率函數(shù).圖中實(shí)線為各向異性散射, 虛線為各向同性散射Fig.4.(a) Electron energy distribution function and (b) the probability function of velocity along the electric field direction with different scattering for reduced fields 10, 20 and 100 Td.Dashed lines from isotropic scattering, and solid lines from anisotropic scattering.

不同散射下的電子平均能量、通量擴(kuò)散系數(shù)、電離系數(shù)和通量遷移率隨約化電場(chǎng)變化的關(guān)系如圖5所示.圖5(a), 和圖5(c)分別為電子的平均能量和通量擴(kuò)散系數(shù), 二者具有相似的變化趨勢(shì).在各向異性散射下, 電子以前向散射為主[23],相比各向同性可以從電場(chǎng)中獲得更多的能量, 即〈ε〉ani>〈ε〉iso.由于電子通量擴(kuò)散系數(shù)的值隨電子平均能量的增加而增大[25], 因此電子散射各向異性時(shí)擴(kuò)散系數(shù)比各向同性時(shí)大.根據(jù)圖4(a)中兩種散射方式在10 和20 Td的EEDF, 各向異性散射的高能電子更多, 所以低電場(chǎng)時(shí), 各向異性散射仍有較大的平均電子能量和通量擴(kuò)散系數(shù).

圖5 電子散射各向同性和各向異性條件下電子輸運(yùn)系數(shù)和平均能量的計(jì)算結(jié)果對(duì)比 (a)電子平均能量; (b)電離系數(shù); (c)橫向擴(kuò)散系數(shù); (d)遷移系數(shù).圖中方塊代表各向異性, 圓點(diǎn)代表各向同性Fig.5.Comparison of electron transport coefficients calculated assuming isotropic and anisotropic scattering: (a) Mean energy;(b) townsend ionization coefficients; (c) flux diffusion coefficients; (d) flux mobility.The orange rectangle and green circle represent the results assuming the anisotropic and isotropic scattering, respectively.

圖5(b)是電離系數(shù), 可以看出, 不同電子散射下的電離系數(shù)值的高低隨電場(chǎng)呈交替變化.當(dāng)約化電場(chǎng)小于100 Td時(shí), 各向異性散射的電離系數(shù)大于各向同性, 在高電場(chǎng)時(shí)則相反.對(duì)于100 Td內(nèi)的約化電場(chǎng), 平均電子能量較小, 此時(shí)電子以彈性碰撞為主.根據(jù)圖5(a)中約化電場(chǎng)20 Td時(shí)的EEDF, 當(dāng)電子能量大于電離能時(shí), 有EEDFani>EEDFiso, 因此電子各向異性散射時(shí)發(fā)生電離碰撞的概率更大, 從而αani>αiso.隨著電場(chǎng)增強(qiáng), 不同散射條件下的電子均從電場(chǎng)獲得了較多能量, 高能電子增多, 導(dǎo)致電離碰撞的概率大大增加.與各向異性散射的電子相比, 各向同性散射導(dǎo)致電子有更劇烈的無規(guī)行走, 從而增加了電子總的路徑長(zhǎng)度,與背景氣體發(fā)生電離碰撞的幾率增多[29], 所以在高電場(chǎng)時(shí)各向同性有更大的電離系數(shù).

圖5(d)為電子通量遷移率, 各向異性散射的值整體上高于各向同性.在約化電場(chǎng)為10 Td時(shí),各向異性散射條件下得到的通量遷移率比各向同性高17.51%, 到1000 Td時(shí), 則高81.67%.考慮到電子散射角各向同性時(shí), 僅有半數(shù)的電子會(huì)沿電場(chǎng)方向加速運(yùn)動(dòng), 而其余的則會(huì)逆著電場(chǎng)方向減速運(yùn)動(dòng).在各向異性條件下, 電子呈前向散射, 碰撞后大多數(shù)會(huì)沿電場(chǎng)方向加速運(yùn)動(dòng), 因此電子各向異性散射帶來更大的遷移率.根據(jù)(20)式通量遷移率的計(jì)算方法,μf由沿電場(chǎng)方向的電子速度確定.根據(jù)圖4(b)中的EVPF, 各向異性散射在電子速度高時(shí)有更大的概率, 所在低電場(chǎng)時(shí), 各向異性散射也有較大的通量遷移率.

因此不同的電子散射會(huì)影響電子的輸運(yùn)過程,即使低電場(chǎng)時(shí)也會(huì)造成電子輸運(yùn)系數(shù)的計(jì)算差異.

3.3 能量分配對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的影響

修改2.4節(jié)模擬參數(shù)中電子能量為25 eV, 速度沿電場(chǎng)方向.在模型中僅執(zhí)行一次電離碰撞.由于垂直電場(chǎng)方向速度均勻分布((4)式), 這里僅給出電子的二維速度, 用 (vz,vx) 表示, 其中vx為電子沿x方向的速度, 得到如圖6所示的速度相圖.圖6(a)為均分法, 此時(shí)二次電子與散射電子具有相同的能量, 在相空間上分布相似.圖6(b)對(duì)應(yīng)Opal法, 二次電子能量較小, 其分布近似趨于各向同性, 而散射電子保留了碰撞后的大部分能量, 因此比均分法的散射電子有更強(qiáng)的各向異性.圖6(c)代表零分法, 散射電子獲得電離碰撞后的全部能量, 速度分布呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的各向異性.相比均分法和零分法兩種能量分配的極端情況, Opal法中的二次電子分得的能量更適中, 三者滿足εej,equal>εej,Opal>εej,zero.考慮到電子的散射角可通過tanχ=vx/vz表示, 因此不同分配方式間電子速度相圖的差異說明了能量分配方式不僅決定了電離碰撞后電子的能量, 而且對(duì)其散射角的大小也有影響.

圖6 不同能量分配下電子的速度相圖 (a)均分法; (b)Opal法; (c)零分法.圖中圓點(diǎn)代表散射電子, 三角形代表二次電子Fig.6.The velocity phase diagram of electrons using different energy partition methods: (a) Equal-division method; (b) opal method;(c) zero-division method.Blue dots represent the primary electrons, and orange triangles represent secondary electrons.

根據(jù)2.4節(jié)的模擬參數(shù), 計(jì)算不同能量分配模式下的電子輸運(yùn)系數(shù), 得到如圖7所示的結(jié)果.可以看出, 不同的能量分配關(guān)系對(duì)電子平均能量、電離系數(shù)、通量遷移率和通量擴(kuò)散系數(shù)的影響主要體現(xiàn)在中高電場(chǎng)區(qū)域.

圖7 不同散射和能量分配方式下電子輸運(yùn)系數(shù)和平均能量的計(jì)算結(jié)果對(duì)比 (a)電子平均能量; (b)電離系數(shù); (c)橫向擴(kuò)散系數(shù); (d)遷移系數(shù).圖中方塊、圓點(diǎn)和三角依次代表均分、Opal和零分法.實(shí)線和虛線分別代表各向異性和各向同性散射Fig.7.Comparison of electron transport coefficients calculated with different scattering and energy partition methods: (a) Mean energy; (b) Townsend ionization coefficients; (c) flux diffusion coefficients; (d) flux mobility.The rectangle, circle, and triangles represent the calculation results using the equal-division, Opal and zero-division method, respectively.Dashed/solid lines are the results assuming the isotropic/anisotropic scattering.

圖7 (a)為電子平均能量.在高電場(chǎng)時(shí), 能量均分的模式對(duì)應(yīng)較低平均能量.而在中間部分電場(chǎng),不同分配模式下的電子平均能量值的高低呈交替變化.這主要是電子的碰撞類型由彈性碰撞向電離碰撞轉(zhuǎn)變?cè)斐傻腫14].以各向異性散射為例, 在約化電場(chǎng)為1000 Td時(shí), 零分法計(jì)算出的電子平均能量比均分法高45.76%.這是因?yàn)榫址ńo了二次電子最大的能量值[20], 在高電場(chǎng)下碰撞后的兩個(gè)電子均可繼續(xù)發(fā)生電離碰撞, 導(dǎo)致系統(tǒng)有 2εion的能量損失, 而零分法中只有散射電子能發(fā)生電離碰撞, 其能量損失為εion.對(duì)于Opal法, 僅部分二次電子滿足電離碰撞的條件, 系統(tǒng)的能量損失位于零分法和均分法之間, 因此〈ε〉z(mì)ero>〈ε〉Opal>〈ε〉equal.在電場(chǎng)50—200 Td, 由于電子能量比較低, 均分法中二次電子和散射電子的能量均較小, 而零分法中的散射電子由于保留了電離后的全部能量, 發(fā)生電離碰撞的概率大于均分法和Opal法, 導(dǎo)致其能量損失最大, 因而〈ε〉equal>〈ε〉Opal>〈ε〉z(mì)ero.圖7(c)為通量擴(kuò)散系數(shù), 與電子平均能量變化趨勢(shì)相似[25].

圖7(b)為電離系數(shù), 能量分配對(duì)高電場(chǎng)的電離系數(shù)影響更顯著.由圖7(a)可知高電場(chǎng)下的電子平均能量高于100 eV.采用均分法時(shí), 散射電子和二次電子的能量仍大于電離閾值, 兩電子均可發(fā)生電離碰撞.而Opal法中的二次電子, 只有部分能發(fā)生電離碰撞, 導(dǎo)致其電離系數(shù)小于均分法.至于零分法, 僅有散射電子能發(fā)生電離碰撞, 導(dǎo)致電離系數(shù)最小.因此高電場(chǎng)下電離系數(shù)滿足αequal>αOpal>αzero.

圖7(d)為通量遷移率.在約化電場(chǎng)為1000 Td時(shí), 零分法和Opal法的通量遷移率近似相等, 比均分法高20.75%左右, 而200 Td時(shí), 三種模式的通量遷移率之差最大, 其中均分法比零分法高49.58%.這是因?yàn)殡娮拥乃俣扰c能量的均方根成正比,對(duì)于相同的電子能量, 均分法對(duì)應(yīng)的電子速度大約是零分法的倍.當(dāng)電場(chǎng)小于200Td時(shí),由圖7(a)中兩種分配方式的平均電子能量近似相等, 且與電場(chǎng)正相關(guān), 因此通量遷移率之間的差值也隨電場(chǎng)的增加而逐漸變大.當(dāng)大于200 Td后,零分法的平均電子能量逐漸高于均分法, 二者的通量遷移率之差變小.最后在高電場(chǎng)強(qiáng)度下, 零分法的平均電子能量最高, 因此通量遷移率也最大.

對(duì)比圖7中電子散射各向同性和各向異性的曲線, 可以發(fā)現(xiàn)電子散射為各向異性時(shí), 能量分配對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的影響比各向同性更大.表1給出了電場(chǎng)為1000 Td時(shí), 均分法和零分法在不同電子散射下電子輸運(yùn)系數(shù)的差值.可以看出, 兩種分配方式在各向異性散射下對(duì)電離系數(shù)和通量遷移率的影響更為顯著.根據(jù)3.2節(jié)的模擬結(jié)果和上文電子速度相圖的分析, 能量分配導(dǎo)致電離碰撞后電子散射角有一定的差異, 進(jìn)而影響了電子輸運(yùn)系數(shù)的值.

表1 約化電場(chǎng)為1000 Td時(shí), 均分法和零分法在不同電子散射下電子輸運(yùn)系數(shù)的差異Table 1.Difference between the electron transport coefficients using the equal and zero-division method,assuming anisotropic and isotropic scattering, respectively.

4 結(jié) 論

本文建立了基于 MCC 方法的電子輸運(yùn)系數(shù)計(jì)算模型, 研究了不同電子散射和能量分配方式對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)的影響.結(jié)果表明, 不同的電子散射和能量分配方式對(duì)電子輸運(yùn)系數(shù)有較大的影響, 對(duì)不同的電子散射, 即使在低電場(chǎng)條件下, 電子通量遷移率和通量擴(kuò)散系數(shù)在各向異性散射下的值也高于各向同性.在約化電場(chǎng) 10—100 Td內(nèi), 電子各向異性散射的電離系數(shù)大于各向異性, 而當(dāng)約化電場(chǎng)大于 100 Td 時(shí)則相反.在不同的能量分配方式下, 電子平均能量和擴(kuò)散系數(shù)的相對(duì)大小隨電場(chǎng)交替變化.在高電場(chǎng)時(shí), 均分法有最大的電離系數(shù)和最小的通量遷移率, 而中等電場(chǎng)時(shí)情況則相反.另外, 各向異性散射下能量分配對(duì)輸運(yùn)系數(shù)的影響高于各向同性.因此模擬中需要考慮各向異性電子散射的影響, 而且在計(jì)算較高電場(chǎng)條件下的電子輸運(yùn)系數(shù)時(shí)尤其要注意能量分配方式的選擇.