宦銘里 李紹平 洪燕君

【摘? ?要】基于相關(guān)數(shù)學(xué)史料的研究，對“長方形和正方形的認(rèn)識”的教學(xué)按照“長方形→正方形→四邊形”的探究順序進行重構(gòu)。實踐證明，在研究史料以及重構(gòu)教學(xué)的過程中，教師的知識儲存和教學(xué)方法得到了豐富，教學(xué)中知識鏈的呈現(xiàn)更加和諧，學(xué)生探究的趣味性增強了。史料及其蘊含的數(shù)學(xué)思想成為教學(xué)實施的有力支撐。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;長方形;正方形;微視頻

“長方形和正方形”是人教版教材三年級上冊的內(nèi)容，教材中知識的呈現(xiàn)順序是“四邊形→長方形→正方形”。根據(jù)教材中知識的呈現(xiàn)順序進行教學(xué)，過程一般是：（1）通過“認(rèn)一認(rèn)、畫一畫”，介紹四邊形的概念;（2）給出長方形、正方形的“長、寬、邊”的概念;（3）基于學(xué)生對長方形和正方形的感性認(rèn)識，通過操作等方式引導(dǎo)學(xué)生了解長方形和正方形的特征，要求學(xué)生從邊和角兩個維度對長方形、正方形的屬性進行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述;（4）通過“畫一畫”“剪一剪”，進一步強化學(xué)生對長方形、正方形特征的理解。

筆者對某地區(qū)209名小學(xué)數(shù)學(xué)教師進行了問卷調(diào)查，結(jié)果顯示，83.2%的教師會遵循教材順序設(shè)計教學(xué)程序。個案訪談中，有教師提到，教學(xué)中往往會急于讓學(xué)生通過實際度量去發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質(zhì)，對如何將學(xué)生的注意力由單純的“動手”引向“動腦”，以有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念存在困惑。

美國數(shù)學(xué)史家卡約黎（F. Cajori）認(rèn)為“學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索和探討后所克服的實際困難”，即知識在發(fā)生、發(fā)展過程中具有“歷史相似性”。他指出：數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的有效工具。由此，借鑒歷史，我們擬定了“長方形→正方形→四邊形”的知識探究順序進行教學(xué)重構(gòu)。實踐證明，數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)解決了教師的思想困惑，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，促進教學(xué)目標(biāo)的達成。

下面，筆者從“史料梳理→古今聯(lián)系→擬定目標(biāo)→設(shè)計實施→反饋與反思”的實踐程序來介紹“長方形和正方形的認(rèn)識”的教學(xué)過程。

一、史料梳理

上古時期的中國，人們對平面圖形已有一定的認(rèn)識，在西安半坡遺址出土的制作于約公元前4000年的各種陶器上就有諸如矩形、三角形等圖形。成稿于約公元前100年的古籍《周髀算經(jīng)》里提到“方出于矩”，趙爽有注：“矩，廣袤也?！睆V與袤是矩的兩條直角邊，矩是用作畫方的工具。“依矩畫方”與紅山遺址的考古研究成果吻合。趙爽的“句股圓方圖說”以及劉徽在《九章算術(shù)注》里提到的計算面積時有“勾實之矩，以股弦差為廣，股弦并為袤”之說，都是指將曲尺形化為長方形，由此學(xué)者曲安京認(rèn)為“矩”本意就是指“長方形”?！毒耪滤阈g(shù)》“方田章”里，正方形被稱為“方田”，長方形被稱為“直田”。公元前300年左右歐幾里得的《幾何原本》中給出了“正方形→長方形→菱形→斜方形→任意四邊形”的概念順序，且長方形和正方形的定義與我們現(xiàn)在使用的教材一致。《數(shù)學(xué)手冊》一書中對圖形面積計算給出了“矩形→菱形→平行四邊形→梯形→任意四邊形”的出場順序。

綜上所述，經(jīng)咨詢史學(xué)研究專家，再結(jié)合對農(nóng)耕文化的了解，遵循“特殊到一般”的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們得到古人對長方形、正方形的認(rèn)識早于四邊形，又考慮到“正方形是特殊的長方形”，從學(xué)生的心理認(rèn)知序列特點出發(fā)，經(jīng)訪談一線教學(xué)名師，擬定教學(xué)活動的探究順序為“長方形→正方形→四邊形”。

二、古今聯(lián)系

“古今聯(lián)系”的目的是促進歷史與現(xiàn)實的溝通，使知識的歷史發(fā)展順序、教材的知識邏輯順序與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序融合起來，讓知識的發(fā)生、發(fā)展自然而然。

根據(jù)波利亞（G. Pólya）“主動學(xué)習(xí)、最佳動機、階段序進”以及克萊因（M. Kline）“興趣、動機、直觀、文化”等教學(xué)原理，本著教學(xué)必須建立在學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)之上，且符合學(xué)生的生活經(jīng)驗和認(rèn)知規(guī)律的理念，我們著眼于知識的銜接順序和知識的探究順序，采用附加式、重構(gòu)式把數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中。

先把梳理過的關(guān)于長方形和正方形的史料制成約2分鐘的微視頻作為教學(xué)引入，再回到現(xiàn)實生活中，按照“長方形→正方形→四邊形”的順序引領(lǐng)學(xué)生進行探究，根據(jù)課堂生成，注重知識的內(nèi)部關(guān)聯(lián)和外部現(xiàn)實的拓展，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，獲得數(shù)學(xué)家那樣成功的體驗，汲古潤今，讓知識的生成和拓展一脈相承。

三、擬定目標(biāo)

基于上述分析，教學(xué)時先教學(xué)“長方形和正方形的認(rèn)識”，并將教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為：（1）通過觀看數(shù)學(xué)史微視頻了解長方形和正方形的由來和發(fā)展，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心;（2）對于由生活實例抽象出來的數(shù)學(xué)圖形，知道圖形的邊、對邊、長和寬等概念，能初步感受長方形與正方形的聯(lián)系和區(qū)別;（3）經(jīng)歷“量、比、折”等探究活動，積累圖形學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，體會“方出于矩”的數(shù)學(xué)思想，并能解釋長方形和正方形的特征，發(fā)展空間觀念;（4）體會圖形與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，能根據(jù)圖形特征判斷長方形、正方形，并能從邊和角的維度對圖形屬性進行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述。

四、設(shè)計實施

依據(jù)現(xiàn)實原則，我們選取某區(qū)二年級學(xué)生作為研究對象，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過測量長度，具有接受新知識的相關(guān)儲備。經(jīng)驗豐富的L老師分別在兩個平行班進行授課，講課思路一致，兩次課的教學(xué)都達到了預(yù)期的效果。現(xiàn)將第一次教學(xué)過程呈現(xiàn)如下。

（一）微視頻引趣

教師播放數(shù)學(xué)史微動畫視頻。視頻先介紹基于中國農(nóng)耕文化產(chǎn)生的《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》等數(shù)學(xué)典籍;然后提到《幾何原本》這一幾何學(xué)的奠基之作如何深遠地影響著我們的生活，介紹幾何學(xué)在現(xiàn)代生活中的用途;最后將《九章算術(shù)》中的“直田、方田”與現(xiàn)在的“長方形、正方形”進行比較，借助設(shè)問引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生觀察思考。

（設(shè)計意圖：微動畫視頻的引入能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，且教師對視頻內(nèi)容進行設(shè)問，引領(lǐng)學(xué)生鞏固知識，并啟發(fā)學(xué)生對接下來的知識學(xué)習(xí)進行思考，承上啟下非常自然。）

（二）探究知趣

1.第一項活動：找長方形

教師在每張課桌上提前放置一個裝著幾何圖形紙片的信封。要求學(xué)生4人一組，每組找出1個長方形、1個正方形紙片，貼到黑板上。教師提問：“大家找出來的這些圖形，大小不一樣，樣子也不一樣，為什么都叫長方形？”引導(dǎo)學(xué)生觀察“邊”和“角”。當(dāng)學(xué)生回答“上邊和下邊比較長，左邊和右邊比較短”時，教師把圖形依次旋轉(zhuǎn)90度、60度，讓學(xué)生明白用“上下左右”這樣的語言不能準(zhǔn)確描述圖形的屬性，順勢給出“邊”和“對邊”的概念，并鼓勵學(xué)生對他們提出的“對邊相等、4個角是直角”的猜想進行驗證。

（設(shè)計意圖：教學(xué)始終圍繞學(xué)生的課堂生成來展開，這中間既有學(xué)生的理解又有知識的聚焦。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從猜想到驗證的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和科學(xué)精神。）

2.第二項活動：探究長方形的特點

對長方形特點的探究從角和邊兩個維度展開。

（1）探究角的特點。學(xué)生對“長方形4個角都是直角”有直觀的認(rèn)識。學(xué)生可以通過比和折的方法介紹自己的探究過程。在比的時候多數(shù)學(xué)生用三角板中的直角把長方形的每一個角都進行了比對，個別學(xué)生通過1次折疊發(fā)現(xiàn)角能重合，于是用三角板進行了2次比對，經(jīng)教師啟發(fā)引導(dǎo)，有2個學(xué)生一橫一豎折疊了2次使得4個角重合，用三角板只進行了1次比對。

（2）探究邊的特點。與角的直觀性相比，如何說明對邊相等對學(xué)生來說略顯抽象。多數(shù)學(xué)生先用尺子測量、比較4條邊的長度;受之前折疊的啟發(fā)，部分學(xué)生又通過上下邊對折重合，左右邊對折重合，得到“對邊相等”的結(jié)論。隨后，教師給出“長、寬”的概念，并再次轉(zhuǎn)換圖形的方向讓學(xué)生進行判別，以強化學(xué)生對“長、寬”概念的理解。

（設(shè)計意圖：“折”是探究活動中的一個難點，尤其是一開始學(xué)生在認(rèn)知上不太容易想到“折2次”，教師需要循循善誘。教師變換圖形方向，利用變式加強學(xué)生對概念的理解，對發(fā)展學(xué)生的空間觀念大有裨益。）

3.第三項活動：探究長、正方形關(guān)系

教師在白板上展示方格紙上的一個長方形，并水平拖動其中的一條邊使得長方形長和寬的長度慢慢相等，于是長方形變成了正方形（如圖1）。教學(xué)實踐表明，動態(tài)演示活動使得學(xué)生更容易理解和掌握長方形與正方形的聯(lián)系和區(qū)別。

教師引導(dǎo)：視頻里，我國古老的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中提到“方出于矩”，是說用有直角的尺子可以畫出長方形、正方形，不過用我們現(xiàn)在的語言來看， “方”就是指正方形，“矩”就是指長方形，看看剛才演示的這個動態(tài)圖，“方出于矩”可理解成正方形從長方形中來，因此我們說正方形是特殊的長方形（畫包含關(guān)系圖）。我們再來看看長方形具有的特點，正方形是不是也都有呢？

（設(shè)計意圖：動態(tài)演示讓學(xué)生對長方形與正方形的聯(lián)系和區(qū)別更容易理解，教師把課堂生成與古籍進行關(guān)聯(lián)解讀，拓寬了學(xué)生的文化視角，使整個教學(xué)脈絡(luò)更為流暢，搭建起了歷史和現(xiàn)實的橋梁。）

4.第四項活動：探究正方形特點

基于對長方形“邊、角”的探究經(jīng)驗，學(xué)生通過“比、折”，驗證了“正方形有4個直角”;對于“4條邊都相等”，大多數(shù)學(xué)生通過直尺測量也很快得到了驗證。

師：除了直尺測量，大家還有不同想法嗎？

生：用折的方法。上下對折重合，上下邊相等;左右對折重合，左右邊相等。

師：上下邊重合，說明上下邊相等，那么相鄰的邊要怎么折才能重合？看來還缺這關(guān)鍵一折，怎么折？

生：斜著折。

師（演示對角線對折）：這樣相鄰的兩邊也重合了，說明這兩邊也相等，所以——（教師停頓）

生（眾）：所以正方形的4條邊都相等。

師：還可不可以再折？之前長方形折了幾次，想一想？

生（激動）：斜著折，再折一下，4條邊都重合，都相等。（演示：對角線對折再對折）

師：對。剛才同學(xué)們利用不同的方法得到正方形確實是4條邊相等。既然正方形的4條邊都相等，我們就把每條邊的長叫作正方形的邊。（板書：邊）

（設(shè)計意圖：教師圍繞“折”不斷設(shè)疑，牽引學(xué)生在不同角度的“折”的過程中充分感知圖形的具象，把握長方形和正方形的特點，促進學(xué)生對知識的內(nèi)化，幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念。）

（三）活動展趣

教師請兩個學(xué)生拿著長方形和正方形模型，上講臺向大家展示并描述這兩個圖形的特征，之后教師指出，“直田、方田”作為長方形和正方形的古代稱謂，就是突出考慮了“邊、角”的特點得來的。

（設(shè)計意圖：這個活動考查學(xué)生能否準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言從邊和角的維度認(rèn)識和刻畫圖形屬性。當(dāng)學(xué)生對圖形的特點非常了解后，再來理解“直田、方田”就順理成章了。）

（四）練習(xí)激趣

教師首先出示—個大信封，里面裝了不同形態(tài)的幾何圖形紙片，要求學(xué)生通過慢慢露出的部分來猜測是長方形還是正方形，并說明判斷理由;然后，教師從生活物品中抽象出圖形讓學(xué)生進行識別;最后，教師布置課后作業(yè)：動手在一個長方形里畫出一個最大的正方形。

（設(shè)計意圖：“猜信封”活動既檢驗了學(xué)生對長方形和正方形特征的掌握情況，又幫助學(xué)生厘清了判斷圖形的步驟，使學(xué)生對知識的理解從直觀感覺上升到了理性分析，完成了由“動手”到“動腦”的提升。接下來的聯(lián)系實物進行判別，拉近了實際生活與數(shù)學(xué)問題的距離，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)的理解。最后的課外作業(yè)，進一步幫助學(xué)生內(nèi)化長方形與正方形的關(guān)系。）

（五）總結(jié)升趣

師生一起，從看微視頻環(huán)節(jié)開始，回顧和梳理整個學(xué)習(xí)過程，并歸納了“量、比、折、畫”等認(rèn)識圖形的方法。之后，教師從信封里拿出1個平行四邊形，把它和黑板上的長方形、正方形放在一起，請學(xué)生給這些圖形取個統(tǒng)一的名字。有學(xué)生說“平行四邊形”，教師馬上又拿出1個梯形放到黑板上，一學(xué)生說“有4條邊，叫四邊形”，教師說：“這節(jié)課我們就是在研究邊、研究角，既然這些圖形都有4條邊、4個角，那為什么不叫‘四角形？同學(xué)們，這個問題大家回去再想一想，我們下節(jié)課再來討論。”

（設(shè)計意圖：這節(jié)課雖然探究活動多，但環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)主線明晰，最后的問題為下節(jié)課的演繹和歸納教學(xué)埋下了伏筆。）

五、反饋與反思

（一）問卷反饋

課后筆者對學(xué)生進行了問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，有69%的學(xué)生對數(shù)學(xué)微視頻的內(nèi)容“完全理解”，26%的學(xué)生“基本理解”，5%的學(xué)生“一般理解”;所有學(xué)生都表示“很喜歡”這樣的上課方式，因為它“生動有趣”;最喜歡“猜信封”活動，對穿插數(shù)學(xué)歷史故事的環(huán)節(jié)印象深刻;能分清長方形、正方形的特點和區(qū)別;對最后提出的“四邊形”概念感興趣。

（二）結(jié)論與反思

本節(jié)課在講“四邊形”的內(nèi)容前，先進行“長方形和正方形的認(rèn)識”教學(xué)，調(diào)整了教材上知識的呈現(xiàn)順序。雖然面對的是低年級學(xué)生，但學(xué)生對知識的理解從直觀感覺上升到理性分析的過程非常和諧，完成了由“動手”到“動腦”的提升，教學(xué)目標(biāo)順利達成。

課后，筆者在對授課教師的訪談中了解到，數(shù)學(xué)史的融入為教師提供了新知引入的話題，為學(xué)生提供了探究活動的素材，對史料及其蘊含的思想、方法等進行重構(gòu)后應(yīng)用于課堂教學(xué)，能有效解決教學(xué)中的困惑;同時微視頻是一種比較便捷的運用數(shù)學(xué)史的方法，有助于促進數(shù)學(xué)史從歷史形態(tài)走向教育形態(tài)，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻：

[1]洪燕君. HPM教學(xué)實踐驅(qū)動下初中數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展研究：MKT的視角[D].上海：華東師范大學(xué)，2017.

[2]李兆華.中國數(shù)學(xué)史基礎(chǔ)[M].天津：天津教育出版社，2010：2-3.

[3]趙瑞民.說矩[J].文物季刊，1992（2）：65-68.

[4]黃大路.規(guī)矩與方圓 規(guī)矩的始祖是大禹 圓出于方？[J].中國科學(xué)探險，2013（7）：40-41.

[5]曲安京.商高、趙爽與劉徽關(guān)于勾股定理的證明[J].數(shù)學(xué)傳播，1996，20（3）：20-27.

[6]李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].北京：高等教育出版社，2002：76.

（1.石河子大學(xué)師范學(xué)院? ?832003

2.山東省臨沂第八實驗小學(xué)? ?276017）