羅 輯 王繼博 姚 璐

（重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074）

齒輪作為傳動(dòng)系統(tǒng)中的主要零部件，其工作性能與力學(xué)行為對(duì)整個(gè)機(jī)械設(shè)備都有重大影響。齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)與其他構(gòu)件的振動(dòng)有著明顯差別，所受動(dòng)態(tài)激勵(lì)復(fù)雜，需要深入研究各類因素對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。王峰等[1-2]提出了一種基于接觸分析與齒輪軸扭轉(zhuǎn)變形的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法，基于力與振動(dòng)位移分解的方法建立了斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型。尹樁等[3]發(fā)現(xiàn)齒側(cè)間隙與嚙合頻率的改變會(huì)對(duì)斜齒輪副的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生較大影響。康博強(qiáng)等[4]發(fā)現(xiàn)齒輪系統(tǒng)在特定的參數(shù)下會(huì)產(chǎn)生劇烈的共振響應(yīng)與幅值跳躍現(xiàn)象。

本文提出基于時(shí)變接觸線長(zhǎng)度的斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法，對(duì)比了不同螺旋角下斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度，建立了基于時(shí)變嚙合剛度與齒側(cè)間隙的斜齒輪副彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)單對(duì)斜齒輪副進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，有助于斜齒輪副的故障診斷與減振設(shè)計(jì)。

1 齒輪副內(nèi)部激勵(lì)

1.1 時(shí)變嚙合剛度

斜齒輪在嚙合時(shí)先由一端嚙入，再逐漸從另一端嚙出。嚙合接觸線由短變長(zhǎng)，再又長(zhǎng)變短。本文通過計(jì)算斜齒輪時(shí)變嚙合接觸線的長(zhǎng)度，求得齒輪的彈性變形，進(jìn)而求得斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度。由于實(shí)際嚙合接觸線的計(jì)算過程復(fù)雜，因此在MAATAR等對(duì)齒輪瞬時(shí)接觸線研究的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出斜齒輪時(shí)變嚙合剛度k(t)的計(jì)算方法，即[5-7]：

式中：k0為單位接觸線長(zhǎng)度的斜齒輪平均嚙合剛度；L(γ)為斜齒輪副瞬時(shí)接觸線長(zhǎng)度；t為時(shí)間歷程；Tm為嚙合周期。

1.2 齒側(cè)間隙

由于齒輪副正常嚙合時(shí)需要潤(rùn)滑油來防止齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)齒面溫度升高引起齒面膨脹導(dǎo)致齒輪副卡死的現(xiàn)象，以及齒輪副在制造、安裝過程中存在誤差，因此需要在輪齒嚙合面之間保留一定的齒側(cè)間隙。

目前，在齒輪動(dòng)力學(xué)中為了便于計(jì)算動(dòng)態(tài)嚙合力，通常采用非線性間隙函數(shù)f(x)[8]：

式中，D為齒側(cè)間隙的一半。

2 斜齒輪副彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型

斜齒輪副運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于斜齒輪副存在螺旋角，會(huì)產(chǎn)生較大的軸向力，使得斜齒輪副傳遞不僅存在橫向振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，還會(huì)產(chǎn)生軸向振動(dòng)。本文使用集中參數(shù)法建立了單對(duì)斜齒輪副的6自由度彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 單對(duì)斜齒輪副6自由度彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型

在綜合考慮時(shí)變嚙合剛度與齒側(cè)間隙的基礎(chǔ)上，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)方程，得到斜齒輪副的動(dòng)力學(xué)微分方程為[9-10]：

式中：mp、mg、Ip、Ig分別為主、從動(dòng)輪的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；yp、yg、zp、zg、θp、θg分別為主、從動(dòng)輪中心點(diǎn)的切向、軸向與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移；cpy、cgy、kpy、kgy分別為主、從動(dòng)輪在中心點(diǎn)處的等效支撐阻尼與等效支撐剛度；Fy、Fz分別為齒輪端面嚙合線方向和軸向動(dòng)態(tài)嚙合力；Rp、Rg分別為主、從動(dòng)輪的節(jié)圓半徑；Tp、Tg分別為作用在主、從動(dòng)輪上的扭矩。

斜齒輪副的法向動(dòng)態(tài)嚙合力Fn可分解為沿齒輪端面嚙合線方向的動(dòng)態(tài)嚙合力Fy與沿齒輪的軸向動(dòng)態(tài)嚙合力Fz，則有：

式中：β為斜齒輪副螺旋角；cm、k(t)分別為斜齒輪副法向嚙合阻尼、法向嚙合剛度；f(x)為齒側(cè)間隙函數(shù)。

3 實(shí)例分析

為進(jìn)一步研究齒輪系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)對(duì)斜齒輪副動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，本文以表1斜齒輪副基本參數(shù)為基礎(chǔ)，采用4階龍格庫(kù)塔數(shù)值積分法[7]在Matlab中進(jìn)行編程求解，獲取斜齒輪副振動(dòng)響應(yīng)。

表1 斜齒輪副基本參數(shù)

3.1 螺旋角對(duì)斜齒輪副動(dòng)力學(xué)特性的影響

斜齒輪在嚙合過程中，斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度的幅值波動(dòng)較為平緩，且隨著螺旋角變化，斜齒輪重合度發(fā)生改變，對(duì)其時(shí)變嚙合剛度也會(huì)產(chǎn)生影響。由圖2的不同螺旋角下斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度曲線可以看出，隨著螺旋角β的增大，斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)幅值逐漸減小，波形也發(fā)生了明顯變化。

圖2 不同螺旋角下斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度

通過研究不同螺旋角下主動(dòng)輪的軸向z振動(dòng)位移曲線與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移可以發(fā)現(xiàn)，主動(dòng)輪的軸向振動(dòng)位移存在明顯的周期性，且隨著螺旋角β的增大，主動(dòng)輪軸向振動(dòng)位移的分布趨勢(shì)大致相同，但其軸向振動(dòng)位移逐漸增大，振動(dòng)幅值也逐步上升。如圖3所示，隨著螺旋角β的增大，主動(dòng)輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移的波形發(fā)生了明顯變化，其振動(dòng)幅值逐漸減小。

圖3 不同螺旋角下主動(dòng)輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移

由不同螺旋角下斜齒輪副的軸向動(dòng)態(tài)嚙合力Fz可以發(fā)現(xiàn)，斜齒輪副的軸向動(dòng)態(tài)嚙合力是隨著螺旋角β的增大而增大的。也就是說，螺旋角越大的斜齒輪副越容易發(fā)生軸向竄動(dòng)。

3.2 不同工況下的斜齒輪副動(dòng)力學(xué)特性

為了研究不同工況對(duì)斜齒輪副振動(dòng)響應(yīng)的影響，在不改變除斜齒輪副驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩外其他參數(shù)的情況下，對(duì)斜齒輪副在不同驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩下進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。

通過對(duì)不同工況下主動(dòng)輪的切向y振動(dòng)位移與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移進(jìn)行研究可以發(fā)現(xiàn)，不同工況下主動(dòng)輪的切向振動(dòng)位移曲線與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移曲線分布趨勢(shì)相同，但其數(shù)值與波動(dòng)幅值隨著驅(qū)動(dòng)扭矩的增大而增大。圖4為不同工況下的主動(dòng)輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移。

圖4 不同工況下的主動(dòng)輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移

將不同工況下的斜齒輪副沿齒輪端面嚙合線方向的動(dòng)態(tài)嚙合力Fy進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)y的數(shù)值隨著所施加的驅(qū)動(dòng)扭矩的增大明顯上升，但是其波動(dòng)趨勢(shì)保持不變。

4 結(jié)論

（1）對(duì)斜齒輪副時(shí)變接觸線長(zhǎng)度進(jìn)行推導(dǎo)后，提出了一種基于時(shí)變接觸線長(zhǎng)度的斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法，可以快速有效地求出斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度。

（2）基于力、位移分解法建立了綜合考慮時(shí)變嚙合剛度與齒側(cè)間隙的單對(duì)斜齒輪副6自由度彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，并采用4階龍格庫(kù)塔數(shù)值積分法運(yùn)用Matlab進(jìn)行編程求解，獲取了斜齒輪副振動(dòng)響應(yīng)。

（3）研究了不同螺旋角與不同工況下的斜齒輪副振動(dòng)響應(yīng)之間的變化規(guī)律。隨著螺旋角β的增大，時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)幅值逐漸減小，主動(dòng)輪的軸向振動(dòng)位移逐漸增大，振動(dòng)幅值逐步上升，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移振動(dòng)幅值逐漸減小；斜齒輪副軸向動(dòng)態(tài)嚙合力Fz隨著螺旋角β的增大而增大。隨著驅(qū)動(dòng)扭矩的增大，主動(dòng)輪的切向振動(dòng)位移與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移分布趨勢(shì)相同，但其數(shù)值與波動(dòng)幅值隨著驅(qū)動(dòng)扭矩的增大而增大；斜齒輪副端面嚙合線方向的動(dòng)態(tài)嚙合力Fy隨著所施加的驅(qū)動(dòng)扭矩的增大明顯上升。