☉廣東省廣州市從化中學(xué) 楊仁寬（特級教師）

在新課程人教A版數(shù)學(xué)必修1的第35頁，有這樣1道例題：

初看此題，平淡無奇，學(xué)后常會(huì)置之不理！若從多方面進(jìn)行思考，以多角度進(jìn)行探究，適當(dāng)變式并推廣，就既能發(fā)掘此例題潛藏的重要性質(zhì)，又能發(fā)揮其廣泛的應(yīng)用價(jià)值.

一、課本題的變式

新課程教材以此題為例，示范出了判斷函數(shù)奇偶性的方法與步驟.從研究此函數(shù)的性質(zhì)考慮，就有下列變式題.

（1）求出它的定義域；

（2）判斷它的奇偶性；

（3）探討它的單調(diào)性；

（4）如何畫出它的圖像？

（5）此函數(shù)的圖像有何性質(zhì)？

（6）你會(huì)用幾種方法求出它的值域？

解：（1）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）.

圖1

（2）?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），由f（-x）=-f（x），知f（x）是奇函數(shù).

（3）用函數(shù)單調(diào)性的定義或求導(dǎo)數(shù)的方法，可得其單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，0）和（0，1］，單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞）.

（4）先用描點(diǎn)法，畫出y=f（x）在（0，+∞）上的圖像，由奇函數(shù)

圖像的對稱性，可畫出y=f（x）的圖像（如圖1所示）.

（5）此函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

（6）求此函數(shù)的值域，主要有以下方法.

解法1（圖像法）：由畫y=f（x）的圖像可知此函數(shù)的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

解法2（判別式法）：設(shè)y=f（x），則在函數(shù)的定義域內(nèi)，原式化為：x2-yx+1=0，由x∈R+∪R-，得Δ=y2-4≥0，解得y≥2或y≤-2，

原函數(shù)的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

解法3（單調(diào)性法）：當(dāng)x>0時(shí)，［f（x）］min=f（1）=2；當(dāng)x<0時(shí)，［f（x）］max=f（-1）=-2.

原函數(shù)的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

二、課本題的推廣

利用坐標(biāo)平移或分類討論等方法，可以對原課本中的題作進(jìn)一步的推廣，除了研究其單調(diào)性之外，還可以研究推廣命題的對稱性、值域等.

三、應(yīng)用舉例

原課本中的題及其推廣，在各類考試中，有著廣泛的應(yīng)用，限于篇幅，僅舉近年的3道高考題為例.

（1）用a表示出b、c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；

評注：此題以雙鉤函數(shù)為背景，將函數(shù)、不等式、數(shù)列及其求和等有機(jī)地融為一體，證明的關(guān)鍵在于利用雙鉤函數(shù)的性質(zhì)，觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，賦以變量之值，借助對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)裂項(xiàng)求和，后續(xù)的適度放縮，已是水到渠成了！

例3（2008年寧夏、海南理科壓軸題）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+1 x+b（a、b∈Z）的圖像在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y－3=0.

（1）求y=f（x）的表達(dá)式；

（2）證明：函數(shù)y=f（x）的圖像是一個(gè)中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（3）證明：曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成圖形的面積是定值，并求出此定值.

若考慮例3的一般情形，可以得到如下結(jié)論.

（1）曲線y=f（x）是以直線x=0和y=ax為漸近線、以原點(diǎn)為中心的對稱圖形；

（2）曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩漸近線所圍成的三角形的面積是定值，其值為2|b|；

（3）若曲線上任意一點(diǎn)D處的切線與兩漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，則D為線段AB的中點(diǎn)；

（4）若直線l與兩漸近線分別相交于M、N兩點(diǎn)，與曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則|MP|=|NQ|.

（1）曲線y=f（x）是以直線x=c和x=a（x－c）+d為漸近線、以（c，d）為中心的對稱圖形；

（2）曲線上任意一點(diǎn)的切線與兩漸近線所圍成三角形的面積是定值，其值為2|b|；

（3）若曲線上任意一點(diǎn)D處的切線與兩漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，則D為線段AB的中點(diǎn)；

（4）若直線l與兩漸近線分別相交于M、N兩點(diǎn)，與曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則|MP|=|NQ|.

結(jié)論1與結(jié)論2的證明，詳見參考文獻(xiàn)3，此處從略.

1.楊仁寬.深挖例題的潛能，踐行探究式學(xué)習(xí).中學(xué)數(shù)學(xué)［J］，2010（6）.

2.楊仁寬.繼承優(yōu)良傳統(tǒng)，探索命題創(chuàng)新——2011年廣東高考數(shù)學(xué)試卷分析.高中數(shù)理化［J］，2011（7下）.

3.鄒生書.兩道高考壓軸題的統(tǒng)一引申與推廣.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊［J］，2011（9）.