陳燁懿,王小保,董國香

(湖州師范學院 理學院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

微波屬于電磁波,其頻率為300 MHz～3 000 GHz.在使用微波輸能的太空電站設(shè)計構(gòu)想中，大多采取將其建設(shè)在地球同步軌道的策略[1-2]，這種設(shè)計方案可以使空間太陽能電站與地面接收站保持相對靜止，從而避免兩者之間因相對位移而使微波波形因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的影響.但當使用微波向航天器進行輸電時，若想使能量輸送具有連續(xù)性，兩者之間將會產(chǎn)生相對移動，此時航天器接收到的微波頻率將會因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生偏移.不同于機械波，微波存在縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng).關(guān)于縱向多普勒效應(yīng)，1842年克里斯琴·約翰·多普勒提出，在運動的波源前面，波被壓縮，波長會變得較短，頻率會變得較高；在運動的波源后面，則會產(chǎn)生相反的效應(yīng).關(guān)于橫向多普勒效應(yīng)，根據(jù)相對論可知，在高速運動的情況下由于存在鐘慢效應(yīng)，在垂直波矢的方向會產(chǎn)生一種不同于縱向多普勒效應(yīng)的頻移影響.兩種多普勒效應(yīng)的成因不同，因此產(chǎn)生的影響也有一定區(qū)別.文獻[3]～[8]以及其他關(guān)于光波、電磁波多普勒效應(yīng)的研究給出了多種多普勒效應(yīng)頻移公式的推導與結(jié)論，并從波源運動的角度進行了討論.雖然上述文獻在縱向多普勒效應(yīng)的影響上得出的結(jié)論大致相同，但沒有考慮在高速運動的情況下相對論效應(yīng)對運動系中波源角度變化的影響.在橫向多普勒效應(yīng)的影響上，上述文獻得出了多種不同的結(jié)論.綜合考慮縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng)后，發(fā)現(xiàn)上述文獻得出的結(jié)論在高速運動的情況下存在差異或完全相反.

1 微波的多普勒效應(yīng)表達式

1.1 微波的縱向多普勒效應(yīng)表達式

(1)

(2)

根據(jù)光速不變性原理，此時接收器接收到的微波波速仍為c.而隨著接收器的運動，其接收到的微波波長將產(chǎn)生變化，此時接收器接收到的微波波長為:

(3)

在已知λ′和v0=c的情況下，得到固定在運動系S′中的接收器所接收到的微波，其在縱向多普勒效應(yīng)影響下的頻率為:

(4)

1.2 微波的橫向多普勒效應(yīng)表達式

關(guān)于微波的橫向多普勒效應(yīng)，有文獻進行了討論，但得出了幾種不同的結(jié)果.文獻[3]～[7]對橫向多普勒效應(yīng)中關(guān)于藍移、紅移的結(jié)論并不相同.文獻[3]、[5]得出，在波源運動接收器靜止與波源靜止接收器運動兩種情況下，橫向多普勒效應(yīng)會產(chǎn)生紅移或藍移兩種不同的結(jié)果；文獻[6]得出橫向多普勒效應(yīng)只產(chǎn)生藍移；文獻[4]、[7]得出橫向多普勒效應(yīng)只產(chǎn)生紅移.這說明有關(guān)橫向多普勒效應(yīng)的公式推導可能存在問題.參考上文中對微波縱向多普勒效應(yīng)的推導方法與文獻[11]對橫向多普勒效應(yīng)的研究，下面對微波的橫向多普勒效應(yīng)表達式進行推導.

(5)

(6)

(7)

根據(jù)普遍多普勒效應(yīng)表達式[3]與上述條件，有:

us=0，θs=0，ud=vb， cosθd=cosβα.

將式(7)與上述條件代入普遍多普勒效應(yīng)表達式，得：

(8)

式(8)為接收器相對微波源以va的速度運動時，橫向多普勒效應(yīng)對接收器接收到的微波頻率影響的表達式.

1.3 微波的多普勒效應(yīng)表達式

在1.2的計算中已分別給出了當波源靜止而接收器運動時微波的縱向多普勒效應(yīng)表達式(4)和橫向多普勒效應(yīng)表達式(8).當波源靜止而接收器運動具有一般性時，在同時考慮縱向與橫向多普勒效應(yīng)后可進一步得到接收器接收到的微波頻率表達式.

因橫向多普勒效應(yīng)總是使得接收到的頻率小于波源實際頻率，所以在式(4)縱向多普勒效應(yīng)對頻率的影響中疊加式(8)橫向多普勒效應(yīng)對頻率的影響時，可以將式(4)用式(8)的結(jié)果處理后減去，即可得到接收器在一般運動中橫向多普勒效應(yīng)對接收器接收頻率的影響f′：

(9)

式(9)即為當波源靜止而接收器運動具有一般性時，多普勒效應(yīng)對接收器接收到的微波頻率影響的表達式.

1.4 多普勒效應(yīng)對接收端微波頻率的影響

為更具體地闡述微波無線輸能中多普勒效應(yīng)帶來的頻率影響，就要進一步控制式(9)中的待定量.微波涵蓋的頻率范圍很廣，300 MHz～3 000 GHz均屬于微波.而在速度的控制上，表征接收器運動方向的變量θα具有任意性，這為討論一般情況下多普勒效應(yīng)對微波無線輸能的影響帶來了困難.在討論其影響時，將選取變量θα為0°、30°、45°、60°、90°五種情況來展示多普勒效應(yīng)對微波輸電的影響.

將式(9)多普勒效應(yīng)對微波無線輸能的影響分為式(4)縱向多普勒效應(yīng)對頻率的影響和式(8)橫向多普勒效應(yīng)對頻率的影響.根據(jù)式(1)和式(4)，可得到因縱向多普勒效應(yīng)的影響f0′隨接收器速度變化的關(guān)系，如圖1所示.

圖1 微波源頻率恒為f0時縱向多普勒效應(yīng)對的影響Fig.1 The influence of longitudinal Doppler effect on f0′ when the frequency of microwave source is constant to f0

由圖1可以看出，在達到一定速度后，縱向多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的頻移影響開始發(fā)生變化.當θα=0°時，接收器接收到的頻率單調(diào)遞減；當θα增加時，接收器接收到的頻率不再隨速度的增加而單調(diào)變化.這是因為接收器運動方向與靜止系中的波矢方向存在夾角，當速度到達一定程度時，其波行差使得運動系中接收器相對波矢k′的運動方向發(fā)生改變.當接收器沿著波矢k的方向運動或接收器運動速度較低時，將呈現(xiàn)紅移或藍移中的一種(與二者相互接近或遠離有關(guān))；隨著角度增大，f′0/f0的極值將更早到來.

圖2 微波源頻率恒為f0時橫向多普勒效應(yīng)對的影響Fig.2 The influence of transverse Doppler effect on when the frequency of microwave source is constant to f0

由圖2可以看出，當波源與接收器相對遠離時，θα=0°時不存在橫向多普勒效應(yīng).隨著波源與接收器運動方向夾角的增大，橫向多普勒效應(yīng)帶來的影響也隨之減小，達到最大影響時的速度亦隨之減小.

根據(jù)式(9)的推導方式，綜合考慮微波的縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng)，將圖1與圖2合并為圖3.

圖3 微波源頻率恒為f0時多普勒效應(yīng)對f′的影響Fig.3 The influence of Doppler effect on f′ when the frequency of microwave source is constant to f0

圖3表示當波源頻率f0為恒定常量時，接收器收到的微波頻率f′與接收器速度va的關(guān)系.由圖3可知，此時頻率、速度、角度三者之間的關(guān)系在趨勢上與圖1大致相同.

根據(jù)圖3和式(9)可得，當接收器遠離波源時，接收器收到的微波頻率小于微波源的發(fā)射頻率，若接收到的微波頻率處于整流電路中二極管的工作頻率范圍內(nèi)，接收到的微波經(jīng)過整流電路后輸出的等效電壓降低；當接收器接近波源時，接收器收到的微波頻率大于微波源的發(fā)射頻率，若接收到的微波頻率仍處于整流電路中二極管的工作頻率范圍內(nèi)，接收到的微波經(jīng)過整流電路后輸出的等效電壓升高.

以θα=π/6為例，當接收器遠離微波源時，速度va達到約300 000 m/s，接收器接收到的微波頻率會產(chǎn)生約1‰的偏移；當接收器接近微波源時，接收到的微波頻率達到約1‰的偏移，此時va將略高于接收器遠離微波源時的va.需要注意的是，由于微波本身具有較高的頻率，即使根據(jù)當前大部分實驗設(shè)計中采取的f0=2.45 GHz[13]，1‰的頻率偏移也將達到2.45 MHz.

從圖3和式(9)可以看出，當vacosθα的絕對值相同時，在高速運動的情況下多普勒效應(yīng)對遠離微波源的接收器接收到的微波產(chǎn)生的影響明顯大于接近微波源的接收器接收到的微波.

2 發(fā)射端的微波頻率修正

微波頻率的變化對接收端整流器的工作也會產(chǎn)生一定影響，考慮到微波本身具有較高的頻率，即使接收器做低速運動，也能產(chǎn)生一定的頻率偏差，這對二極管與負載提出了更高的要求.當接收器可以實現(xiàn)高速運動時，接收到的微波因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的頻率變化可能將難以通過整流電路與負載的設(shè)計冗余來消除，這對運動路徑相對固定或可預(yù)測的接收端來說，從波源端進行修正也將是一種可行的辦法.

式(9)表示的是一個波源恒為f0的情況，若要使接收器接收到的微波頻率f′恒定，可將f′作為常量、va與θα作為自變量、f0作為因變量構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，則

(10)

式(10)即為當接收器所接收到的微波頻率f′恒定時，微波發(fā)射端發(fā)射頻率的表達式.

圖4表示當接收器收到的微波頻率恒定時，θα、va與f0三者之間的關(guān)系除不存在橫向多普勒效應(yīng)的θα=0°外，其他圖線的極小值隨角度的增加而增大，對應(yīng)的速度隨角度的增加而減小.

圖4 微波源發(fā)射頻率隨接收器速度的修正Fig.4 Correction of transmitting frequency of microwave source with receiver speed

3 結(jié) 論

本文綜合考慮微波的縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng)，得出了在微波輸電中因接收器的運動使接收到的微波頻率因多普勒效應(yīng)產(chǎn)生偏移的表達式，其結(jié)果可由式(9)表示.其中，縱向多普勒效應(yīng)會使接收器接收到的微波頻率隨著接收器的遠離而減小(紅移)，隨著接收器的遠離而增大(藍移).但根據(jù)圖像還可以發(fā)現(xiàn)，當接收器的速度增加到一定程度時，縱向多普勒效應(yīng)會產(chǎn)生相反的效果.而橫向多普勒效應(yīng)總是使接收器接收到的微波頻率減小(紅移).在特殊條件θα=π/6下，當接收器遠離微波源時，接收器速度va達到約300 000 m/s，接收器接收到的微波頻率會產(chǎn)生約1‰偏移；當接收器接近微波源時，接收到的微波頻率要達到約1‰的偏移，接收器速度va將高于接收器遠離微波源時的va；當接收器的運動接近光速時，接收到的微波頻率偏移將快速減小并向反向偏移.為使接收器所接收到的微波頻率恒定，可以通過改變微波源的發(fā)射頻率來實現(xiàn)，其發(fā)射頻率與接收器運動速度的關(guān)系可由式(10)表示.